第11章弯曲应力

1、第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学11111 1 引言引言11112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力11113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理11114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力11115 5 梁的强度条件梁的强度条件11116 6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计11117 7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲11118 8 弯拉弯拉( (压压) )组合组合11111 1 引言引言第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力MFS MSF 11 111 1 引言引言AxB对称面对称面FqMeFAyFByyyyy对称轴对称轴对称弯曲对称弯曲平面弯曲平面

2、弯曲11112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力一、纯弯曲一、纯弯曲二、纯弯曲时梁横截面上的正应力二、纯弯曲时梁横截面上的正应力三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力FFaa一、纯弯曲一、纯弯曲FFFsFaM横力弯曲横力弯曲FF纯弯曲纯弯曲11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力FF纯弯曲实验纯弯曲实验 2PPPaaaabbPaPP主梁垫梁(辅助梁)QMPPFsPaM一、纯弯曲一、纯弯曲2PPPaaaabbPaPP主梁垫梁(辅助梁)QMFF11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验二、纯弯曲时梁横截面上的正应力二、纯

3、弯曲时梁横截面上的正应力11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验2. 纵向线纵向线：1. 横向线横向线：3. 上层纤维缩短，下层纤维伸长上层纤维缩短，下层纤维伸长直线直线,相对旋转了一个角度相对旋转了一个角度平行的弧线，平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线距离没有改变，垂直于横向线11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验梁内梁内横截面横截面变形后仍保持为变形后仍保持为平面平面，只是绕着某只是绕着某个轴个轴转动一个角度转动一个角度, , 仍然仍然与轴线垂直与轴线垂直弯曲弯曲平面假设平面假设纵向纤维之间纵向纤维之间没有挤压没有挤

4、压2. 纵向线：纵向线：1. 横向线：横向线：3. 上层纤维缩短，下层纤维伸长上层纤维缩短，下层纤维伸长直线直线相对旋转了一个角度相对旋转了一个角度平行的弧线，平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线距离没有改变，垂直于横向线11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力单向受力假设单向受力假设既不伸长、也不缩短的纤维层既不伸长、也不缩短的纤维层 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线 对称面对称面中性层中性层横截面横截面横截面对称轴横截面对称轴轴线轴线中性层中性层1.1.纯弯曲试验纯弯曲试验中性轴中性轴中性轴中性轴11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力变形几何关系变形几何关系l l

5、y 中性层的曲率半径中性层的曲率半径mmxnndxybboo ddd y对于指定的横截面对于指定的横截面=常量常量(a)dbbooMMmnnmaaxzyyb bbbbbb （ oo oooo oo （2 2、公式推导、公式推导11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力物理关系物理关系 y (a) E yE (b)横截面上一点的正应力与该点到横截面上一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比中性轴的距离成正比b. 沿沿横截面的高度，按线性规律变化；横截面的高度，按线性规律变化； a. 在在中性轴上为零中性轴上为零比例极限范围内比例极限范围内:Myzx11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力

6、静力关系静力关系 yE (b)MyzdAxyzM横截面上的应力构成横截面上的应力构成空间平行力系空间平行力系xF(d)(c)d0 xAEFy AZM中性轴必须通过横截面的形心中性轴必须通过横截面的形心 zEIM 1d0Ay AA Ad0Ay AdM AAyEMd2 zIE dAcy AyAMyzx11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力02dzAIyA为截面对为截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩 1梁的中性层变形后的曲率，梁的中性层变形后的曲率，zEI梁的弯曲刚度梁的弯曲刚度反映了梁抵抗反映了梁抵抗弯曲弯曲变形的能力变形的能力在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成静力关系静力

7、关系 zEIM 1梁的轴线变形后的曲率梁的轴线变形后的曲率圆弧圆弧11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力 zIMy 静力关系静力关系 zEIM 111 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力静力关系静力关系 zIMy M该截面的弯矩该截面的弯矩所求点到该截面所求点到该截面中性轴中性轴的距离的距离y该截面对该截面对中性轴中性轴的惯性矩的惯性矩zI11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力符号判断法：符号判断法：1.直接代入直接代入M和和 y代数代数值值 2. 代入代入M和和 y绝对绝对值，再根据梁段的变形情况判断符号值，再根据梁段的变形情况判断符号 公式讨论公式讨论 zIMy 11

8、 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力上下上下边缘同时达到最大值边缘同时达到最大值：A.两个对称轴的横截面两个对称轴的横截面(如如矩形矩形、圆形圆形等等)zIMymaxmax maxyIWzz maxmaxct 最大应力最大应力 zIMy 抗弯截面系数抗弯截面系数 11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力最大应力最大应力 zWM max 其中：其中： maxyIWzz 反映了梁抵抗反映了梁抵抗弯曲弯曲破坏的能力破坏的能力11 112 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力A.两个对称轴的横截面两个对称轴的横截面: zWM max B.一个对称轴（纵向对称轴）的横截面一个对称轴（纵向对称轴）

9、的横截面maxmaxct 最大应力最大应力y2003030zC170cz13961zIMymaxmax 5.6 纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力三、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力可按可按纯弯曲纯弯曲的正应力公式计算的正应力公式计算横力弯曲横力弯曲时的正应力时的正应力横力弯曲横力弯曲A.A.变形后，变形后，横截面将发生翘曲横截面将发生翘曲，不再保持为平面，不再保持为平面B.B.纵向纤维之间还可能会发生纵向纤维之间还可能会发生挤压挤压精确的分析表明精确的分析表明当梁的跨长当梁的跨长l l与横截面的高度与横截面的高度h h之比大于之比大于5 5时时5.6 纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力三

10、、横力弯曲时的正应力三、横力弯曲时的正应力最大正应力：最大正应力：弯曲正应力：弯曲正应力： zIMy zWM max 5.6 纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力11113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理一、一、简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩二、组合公式二、组合公式三、三、平行轴定理平行轴定理第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力b/2b/2h/2h/2zyC例例2 求图示矩形对通过其形心且与边平行的求图示矩形对通过其形心且与边平行的z、y轴的惯性矩轴的惯性矩Iz、IydydAy解：平行于解：平行于z轴取微面积：轴取微面积：同理：同理：ybAdd 2dzAIy A 2/2/2)d(hhyb

11、y312zbhI 123hbIy 2dzAIy AmaxyIWzz 62bh 123bh 2h11 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理一、一、简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩2dyAIzA例例3 求图示圆对过圆心的任意正交直径轴的惯性矩求图示圆对过圆心的任意正交直径轴的惯性矩Iz、Iy 。zydO解：解：324dI p2dAAzyII4p264zyIdII 222d ,d ,dzPyAAAIy A IA IzA323D 2DmaxyIWzz 644D 11 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理zyII22(+)dAzyA二、二、组合公式组合公式2 dyAIzA2 dz

12、AIyA122yyyIII 1z12zzIIIzyO11 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理1222 d dyAAIzAzAczcycO三、三、平行轴定理平行轴定理OzyCdAzCyCabyzzCyC2dzAIyA ACCAyayad)2(22 ACACAAyAyaAadd2d222CzzIIa A2CyyIIb A同理：20CCCzAAAAAyAyAIddd，已知：已知： ，形心在形心在zOy坐标系下的坐标坐标系下的坐标(a，b)，求求Iz、IyCCzyII、 ACAyad)(211 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理czzIIcyyII 在在平面图形对所有相互平

13、面图形对所有相互平行平行的坐标轴的惯性矩中，的坐标轴的惯性矩中，以对以对形心轴形心轴的惯性矩为的惯性矩为最小最小。2 CyyIIb A2 CzzIIa AOzyCdAzCyCabyzzCyC三、三、平行轴定理平行轴定理11 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理例例1 试求图示矩形截面梁试求图示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D与与E点的正应力点的正应力yz6010030DEmkN 811M464123310512101006012m m bhIzkN8RA FkN12 RBF1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理zDDIy

14、M11 zEEIyM11 MPa 801051050108633 63105108 31030 MPa 48 例例1 试求图示矩形截面梁试求图示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D与与E点的正应力点的正应力mkN 811Myz6010030DEkN8RA FkN12RB F1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理例例1 试求图示矩形截面梁试求图示矩形截面梁1-1截面上的截面上的D与与E点的正应力点的正应力zDDIyM11 zEEIyM11 MPa 801051050108633 MPa481051030108633 （压）（压）（拉）（拉

15、）mkN 811Myz6010030DEkN8RA FkN12 RBF1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理 q=10kN/m B A F=20kN D C 200 200 30 30 2m3m1m30kN10kN10 20 M(kNm) yzcyC mm 5157 30200302001003020021530200.Cy462323mm 10160 557302001220030 557302001230200.zCI 24.1MPaMPa 57210206tzCBBI.上.4MPa25MPa515710206czCBBI.下26

16、.2MPaMPa515710106tzCCCI.下12.1MPaMPa57210106czCCCI.上B截面：截面： C截面：截面：例例 4 求求 M+max , M-min, 并求各自的最大拉应力和最大压应力并求各自的最大拉应力和最大压应力mkN10maxMmkN20maxM11 113 3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理11114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力横力弯曲横力弯曲另一些梁则是因另一些梁则是因切应力切应力达到剪切强度极限而破坏达到剪切强度极限而破坏横截面上既有横截面上既有正应力正应力、又有、又有切应力切应力实践表明实践表明有些梁是因有些梁是因正应力正应力达到拉伸或压缩强

17、度极限而破坏达到拉伸或压缩强度极限而破坏跨度小、截面高的木梁跨度小、截面高的木梁第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力z1 1对横截面对横截面中性轴平行线上中性轴平行线上的切应力作以下假设的切应力作以下假设1)各点切应力的作用线各点切应力的作用线平行平行或或交于一点交于一点2)各点切应力沿剪力各点切应力沿剪力FS的分量的分量 y均相等均相等 m y f m yfmmf fyFSO y y11 114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力z1 1对横截面对横截面中性轴平行线上中性轴平行

18、线上的切应力作以下假设的切应力作以下假设1)各点切应力的作用线各点切应力的作用线平行平行或或交于一点交于一点2)各点切应力沿剪力各点切应力沿剪力FS的分量的分量 y均相等均相等mmyFSy11 114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力e2e1xx一、横力弯曲梁横截面上的切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力 1deyA 2 2横截面上切应力的计算公式：横截面上切应力的计算公式：e11111yz22dxbyyx xdxM+dMMFSFSn11mn2m mnmmy :0 xF 1d)d(eyA xbd 0 x x zIM x x zIMMdd y y11 +d 11 114 4 对称弯曲切应力对称弯

19、曲切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力2 2横截面上切应力的计算公式：横截面上切应力的计算公式：e11111yzdxbyx xn11mn2m mmy 1ddd1eyzAxMbIx x s( )zzF SI bxMdd 1deyAx xSF( )zSs( )zyzF SI b y y 1deyA 1d)d(eyA xbd 0 x x zIM x x zIMMdd 11 114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力3 3关于切应力公式的说明关于切应力公式的说明1) 求出的是距中性轴求出的是距中性轴 y处沿处沿 剪

20、力剪力FS方向的切应力分量方向的切应力分量 y2)由于横截面周边与由于横截面周边与y轴夹角轴夹角 m最大，因此该处切应力最大最大，因此该处切应力最大z m y m ymmf fyFsO yS( )zyzF SI by处平行于中性轴线以外面积处平行于中性轴线以外面积对对z轴的轴的静矩静矩；( )zS：y处截面的有效宽度处截面的有效宽度：b mmym cos 11 114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力二、应用二、应用Oyzbh矩形截面梁：矩形截面梁：yO = man 5 . 1max y2)求距中性轴求距中性轴y处的切应力处的切应力 y：S( )zyzF SI b( )zCSy)2(byh )

21、2(212yhh )2/(2122yh 123bhIz 22S36( /2)yFhybhSmax31.52FbhFS1) 矩形截面上各点的切应力均平行于矩形截面上各点的切应力均平行于FS11 114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力5-4 5-4 弯曲剪应力弯曲剪应力横截面的翘曲变形横截面的翘曲变形yxPP max工字形截面梁工字形截面梁 腹板中腹板中 的分布规律的分布规律2222824SzFbdhHhyI d沿腹板的高度按沿腹板的高度按二次抛物线二次抛物线规律分布规律分布yzyFSbdhH( )SzzF SI b2222824SzFbdhHhyI d max和和 min2hy时，时，22mi

22、n88SzFbHbhI d0y时，时，22max88SzFbHhbdI dmaxminminbd 当当 时，时，minmaxSFdh腹板中的切应力近似地均匀分布腹板中的切应力近似地均匀分布腹板中的剪力占截面上的总剪力腹板中的剪力占截面上的总剪力FS的的( (0.950.97) )%工字形截面梁工字形截面梁yzyFSbdhH翼缘中的切应力翼缘中的切应力分布比较复杂分布比较复杂byzQdhHmaxminmin y y y y i i i i( )SzyzF SI bFSi T切应力流切应力流 工字形截面梁工字形截面梁例例2 2 试求图示矩形截面梁试求图示矩形截面梁1-11-1截面上的截面上的D与与

23、E点的切应力点的切应力解：解：S18 kNF463m 105 12bhIz0E22S()24zFhyIS() zzF SI bMPa 281.Dyz6010030DEkN8RAFkN12RBF1 mABC1.5 m1 mF=20kN1111 114 4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力11115 5 梁的强度条件梁的强度条件一、正应力强度条件一、正应力强度条件二、切应力强度条件二、切应力强度条件max 第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力一、正应力强度条件一、正应力强度条件1.对于对于抗拉抗拉和和抗抗压压强度强度相等相等的材料的材料(如低碳钢如低碳钢)2.对于对于抗拉抗拉和和抗压抗压强度强度不相等不

24、相等的材料的材料(如铸铁）如铸铁）maxmaxtt maxcc max 许用拉压应力许用拉压应力115 梁的强度条件梁的强度条件maxM等直梁：等直梁：maxMmax)(Mmax)( M等直梁：等直梁：中性轴中性轴是是对称轴对称轴中性轴中性轴不是不是对称轴对称轴一、正应力强度条件一、正应力强度条件maxMmax)(Mmax)( M（A）通常：）通常： （B）单对称轴梁）单对称轴梁（脆性材料）：（脆性材料）：等直梁：等直梁：危险截面：危险截面：115 梁的强度条件梁的强度条件例例3 铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用解：解：

25、CBMM ,mm 1391 ymm 61mm 1392002y试按正应力强度条件校核梁的强度试按正应力强度条件校核梁的强度拉应力拉应力 ，许用压应力许用压应力MPa 40 tl MPa 100 cy kN30 QBFkN10 RDFMmkN 20mkN 102mABC3m1mDkN20 FkN10qC2001703030zy1z2y1y45mm 10403zI危险截面危险截面 maxmaxct ct 115 梁的强度条件梁的强度条件解：解： MPa 3302max.IyMzBB MPa 0691max.IyM zBB B截面截面C截面截面 MPa 5341max.IyMzCCt MPa 215

26、2max.IyMzCCc tc MPa MPa 5 .340 .69maxmax tc tc kN30 QBFkN10 RDF2mABC3m1mDkN20 FkN10qC2001703030zy1z2y1yMmkN 20mkN 10115 梁的强度条件梁的强度条件解：解： 5.讨论讨论 若梁的载荷不变，将若梁的载荷不变，将T形横截面形横截面倒置倒置(成成形横截面形横截面)， 是否合理？是否合理？ 因此因此:倒置不合理倒置不合理 MPa MPa 5 .340 .69maxmax tc MPa MPa 5 .340 .69maxmax ct t kN30 QBFkN10 RDF2mABC3m1mD

27、kN20 FkN10qC2001703030zy1z2y1y115 梁的强度条件梁的强度条件二、弯曲切应力强度条件二、弯曲切应力强度条件梁的最大切应力：梁的最大切应力：1.1.切切应力强度条件应力强度条件S,maxmaxzzF SI bmax 材料的许用切应力材料的许用切应力 maxSF中性轴上中性轴上等直梁：等直梁：危险截面危险截面115 梁的强度条件梁的强度条件例例5 由两根槽钢组成的外伸梁如图所示由两根槽钢组成的外伸梁如图所示, ,已知已知 =100MPa, , =170MPa。试选择槽钢型号试选择槽钢型号解：解：mkN 240maxM按正应力强度条件选择截面按正应力强度条件选择截面kN

28、160 RAFkN160 RBFmax100 kNSFMmkN60mkN240mkN60FSkN60kN100kN100kN60yz3 m3m1mABCDE1mkN602 FkN2001 F2FmaxmaxzWM3max1412cm MWz3370621412cmcm zW No.36c3746cm zW maxmax 115 梁的强度条件梁的强度条件例例5由两根槽钢组成的外伸梁如图所示由两根槽钢组成的外伸梁如图所示, ,已知已知 =100MPa,17,17MPa试选择槽钢型号试选择槽钢型号解：解：校核切应力强度校核切应力强度4cm 13400zI24,max145 10ziCiiSA yma

29、x,maxmax12.9 MPa szzFSI bmaxmax2SSFFz16100133601A*2A*max,maxmaxSzzFSI b工字形截面：工字形截面：,maxzzISkN160 RAFkN160 RBFyz3 m3m1mABCDE1mkN602 FkN2001 F2F115 梁的强度条件梁的强度条件11116 6 梁的合理强度设计maxmax zWM1弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；2提高梁强度的措施；提高梁强度的措施；1)采用合理的截面形状，提高抗弯截面系数采用合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz2)采用等强度梁或变截面梁采用等强度梁或变截面梁3)改善梁的受力条件，降低改善梁的受力条件，降低Mmax第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力一、梁的合理截面形状1面积面积A不变，不变，Wz越大，则截面越大，则截面 形