湖南省研究生科研创新项目申请书

1、湖南省研究生科研创新项目申 请 书项目名称：非多项式曲线曲面的研究申请者：陈玲芳所在单位：湖南科技大学数学与计算科学学院所属学科：应用数学联系电话真电话子信箱：707838439申请日期：2016-3-4湖南省教育厅2009年制8填 报 说 明一、申请书各项内容，要实事求是，逐条认真填写。表达要明确、严谨。外来语要同时用原文和中文表达。第一次出现的缩写词，须注出全称。除签名外，项目申请书必须是打印件。二、申请书一律用A4纸，于左侧装订成册。第二页起各栏空格不够时，请自行加页。如有查新报告及其它附件材料，请连同申请书一起装订成册。 三、“所属学

2、科”按博士、硕士学科专业目录（2006年修订版）二级学科名称填写。（封2，此页不装订） 一、简表项目名称非多项式曲线曲面的研究研究类别基础研究应用研究试验发展研究年限2016年至2017年申请经费（万元）0.5万元项目负责人姓名陈玲芳性别女身份证术职称研究生学科专业及研究方向数学 计算机辅助几何设计指导教师姓名吴晓勤性别男学历学位博士技术职称副教授学科专业及研究方向数学 计算机辅助几何设计目前指导学生数博士： 名，硕士： 1 名 联系电要研究人员姓 名身份证号码技术职务专业所在单位本人签名陈玲芳43112819910803632

3、5研究生数学湖南科技大学数学与计算科学学院研究生数学湖南科技大学数学与计算科学学院研究生数学湖南科技大学数学与计算科学学院项目负责人主要学习和工作经历（从上大学开始）1、2010年9月到2014年6月 衡阳师范学院2、2014年至今 湖南科技大学 二、立项依据（项目的研究目的、意义；国内外研究现状分析和发展趋势；项目应用前景和学术价值；现有研究基础、条件、手段以及指导教师情况等）长期以来，曲线曲面是计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机图形学（CG）研究的重要课题，主要研究的是在计算机图形系统环境下对曲线曲面的表示、显示和分析，它起源于实际工程的汽车、飞机等外形放样工艺，由Coons、B

4、33;zier等于上世纪六十年代奠定其理论基础。较早研究的是以多项式为基函数的Bézier曲线和Ferguson曲线，后来发展为B样条曲线和有理样条曲线，它在CAD和CAGD有着广泛应用，经过几十年的发展,现在已经形成了以Bézier和B样条为代表的参数化特征设计和隐式代数曲线曲面表示这两类方法为主体的几何理论体系，特别是非均匀有理B样条（NURBS）方法成为现代曲线曲面最广泛的技术，因NURBS方法的独特优势，国际标准化组织（ISO）于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，把NURBS作为定义工业产品的几何形状的唯一数学描述方法。NURBS方法其主要优势

5、是：可精确表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲线曲面与自由曲线曲面；具有可调节的曲线曲面的权因子，使其形状易控制与实现，但在实际工程设计中，随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强和几何设计对象向着多样化、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日益明显，原有的曲线曲面表示方法缺陷日益露出，不能满足CAGD需要的自由曲线曲面形式的计算表示；NURBS作为一个统一的数学模型，即可以表示自由曲线曲面，又可表示传统几何曲线。Bézier方法虽然在形状控制方面解决了一些问题，但仍存在分段连接、局部修改问题。对此De Boor给出了关于B样条的一套标准算法成功解

6、决了局部控制问题，不管是Bézier还是B样条方法，均不能精确描述圆锥曲线曲面，对此，Forrest在参数范围里首先给出有理Bézier形式的圆锥曲线，目前，Bézier形式和其他有理形式是成为我们研究的热点。Wenping wang等提出了二次曲面的二次有理插值方法；Qi Duan用两种不同方法构造了有理插值函数，并用他们作加权平均，调节权因子能较好地描述曲线形状；D.S.Mee K等构造两个加权因子的有理三次函数类，通过权因子与形状因子调节曲线形状，然而，Piegl指出采用有理形式代替多项式形式,NURBS在形状设计与分析中存在一定的局限性,文中权因子的选取问

7、题至今没有完全解决，原有的方法受到了极大的挑战,人民希望找到一种新的基函数，这种新的基函数既有有理B样条曲线的性质，也有有理B样条曲线的优点。因此，广大 学者们一直在努力探索新的曲线曲面的表示方法。在曲线曲面的发展中，与NURBS曲线曲面的构造方法不同主要表现在两个方面：一方面，放松连续性条件，由参数连续性转变为几何连续性，最具代表性的是Beta样条曲线；另一方面，在另一函数空间寻求新的基函数，其中包括三角多项式空间，混合函数空间等，特别是混合函数空间突破了NURBS 表示曲线曲面的范畴，扩大了曲线曲面的表示方法，几经发展才慢慢为大家所熟悉和接受，成为了新的研究热点。 而三角样条与三角多项式在

8、理论与应用中都具有重要的意义，早在60年代，Schoenberg就提出三角多项式样条，并指出任意三角多项式样条均可表示为三角B样条的线性组合；Lyche等研究了三角B样条的递推关，在后来的几十年中，非多项式样条特别是三角样条受到青睐，不仅应用于CAGD领域，还在科学计算机等领域有着广泛的应用。Peña等在三角多项式空间C=Span找到了与Bernstein基类似的三角多项式基，国内的韩旭里和吴晓勤在研究三角多项式样条曲线这方面研究得较多并得到一些结论。就三角多项式样条曲线比一般的多项式样条曲线比较，三角多项式样条有明显优点：具有连续性好、逼近度高，还可精确表示圆和椭圆，且参数因子可调

9、整曲线。混合函数空间的工作开始于1994年，Pottmann 和Wagner首次定义在空间Span上的 Helix Spline；随后张纪文构造了单参数的C曲线，随着C-Bézier曲线研究的进一步发展，r曲线已从三次推广到四次、五次及一般Span空间上的高次曲线，而且C-Bézier曲线可方便表示圆弧，特别是整圆的表示，但由于空间的局限性，如悬链线和双曲螺线等曲线不能在此空间精确表示，注意到用双曲多项式代替三角多项式，得到了一些新的曲线。汪国昭等24在空间Span讨论了平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类，提出了三次H-Bézier曲线；吕勇刚等讨论了均匀的双

10、曲多项式B样条曲线(H-B-Spline)，其后李亚娟等26在Span空间研究了一般的非均匀节点情形次H-Bézier曲线，作者称之为NUAHB样条曲线。由于三角多项式和双曲多项式的特性，利用复数知识，可以将和空间统一到一个新的空间，在此空间，方美娥等提出了w-Bézier曲线,它是对C-Bézier曲线、H-Bézier曲线的进一步推广，当频率参数w =0,1,i时，分别对应为Bézier曲线、C-Bézier曲线、H-Bézier曲线；其后在文提出了样条，统一了多项式空间、和空间中的B样条。从上述文献可以看出：一、非多项

11、式的有理三角样条曲线曲面具备与多项式有理曲线曲面不同的特点：连续性好、逼近度高、形式具有多样性而且还带有形状参数等；二、混合函数空间的曲线曲面既保持了多项式曲线曲面的一些优点，又克服了多项式曲线曲面的一些不足，特别是扩大了多项式曲线曲面的表示范围；三、混合函数空间曲线曲面的研究起步较晚，仅对三种类型的空间、 和研究比较多。因此，可以研究新型的曲线曲面的表示问题，不仅理论上有很重要意义，而且对实际的曲线曲面设计也有指导意义。 三、研究方案1. 研究目标、研究内容和拟解决的关键问题研究目标：希望在新型的函数空间找到一类特殊的基函数，所构造的曲线曲面不仅可以满足工业产品设计的需要，还对实体造型具有实

12、用价值。研究内容：（1）在新的函数空间，构造具有有理Bézier曲线特征（即端点插值且与端边相切）的新型曲线曲面；（2）研究了有理曲线曲面参数和权因子分别对形状图的影响和逼近性；（3）在新的函数空间，构造可以局部控制的有理曲线曲面形状的保形参数样条插值算法；拟解决关键问题：（1）如何找出有效、实用的新型的基函数，构造的有理曲线曲面形状参数和权因子分别对形状图有什么样的影响；（2）参数在一定范围内，有理曲线曲面比传统有理Bézier曲线有更好的逼近性；（3） 如何设计有效的生成曲线曲面的保形参数样条插值算法。2. 拟采取的研究方法及可行性分析原有的曲线曲面设计理论主要是基于多

13、项式空间的理论，由于生产实践中需要的曲线曲面丰富多样，仅通过多项式空间表示曲线曲面显然有不足。在逼近论里有两类重要的函数系：一类是多项式函数系；一类是三角函数系1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，多项式函数系的典型理论是任一函数的泰勒展开，而三角函数系典型理论是函数的傅立叶展开；两者各有优点，如果兼备两者的优点，将其混合组成新的函数空间，可望产生一些新的曲线曲面。一是可采取类似于Bézier方法，以新型基函数替换Bernstein多项式函数，构造具有端点插值且与端边相切的新形式的Bézier曲线；二是根据积分递归方法，由初始函数出发得出新型的B样条基函数，以此构

14、造新型的B样条曲线；三是在新曲线的基础上，运用张量积方法，可将新曲线推广到新曲面。此外，我们不仅限于多项式函数同三角函数的混合，还可在其他形式的混合函数空间讨论新的曲线曲面的构造问题。 本项目申请人及项目组成员年轻、精力充沛。在导师指导下对本项目相关内容有较深的了解，熟悉研究本项目需要的相关知识和各种方法。通过课题组成员不懈的努力，相信我们一定能顺利地完成项目的研究工作。3 本项目的创新之处(1)在新的函数空间构寻找新的基函数，引进的参数因子与权因子对曲线曲面的形状有重要影响，不仅在理论上具有重要意义，对实践也具有指导意义；(2)在构造参数样条有理曲线曲面的插值算法中，引进的参数因子可以作为有

15、理曲线曲面的形状控制因子，对曲线曲面设计和实体造型具有实用价值。4. 预期研究进展预期在前三个月内，查阅国内外文献，更多收集与相关的资料，了解国内外最新的研究动态。计划在2016年4月进入实质性研究工作。2016年4月2016年6月，寻找一类或特殊的与Bernstein基类似的非多项式基函数，构造新的有理曲线曲面具有传统有理Bézier曲线曲面的所有特性；2016年7月2016年9月，刻画参数在什么条件下，构造的曲线曲面比传统有理Bézier曲线曲面有更好的逼近性；2016年10月2016年11月，求解有理曲线曲面保形参数样条插值算法；2016年12月2017年2月，撰写相

16、关的研究论文，结题报告。预期研究成果：发表相关研究论文12篇。5 预期成果 本项目的研究成果主要以学术论文的形式，在国内外相关学术期刊上发表，预计完成学术论文1-2篇。 四、研究基础与本项目有关的研究工作积累和已取得的研究工作成绩及目前承担项目的情况（项目负责人和其它成员情况分开填写并且项目、成果及奖励等须注明承担或完成人姓名等相关信息） 多年来，指导教师吴晓勤老师在三角多项式样条曲线这方面进行了较深的研究与探索，通过带参的基函数，研究了三角Bézier曲线的形状分析、参数连续性与几何连续性、曲线拼接与保形插值等问题，推广了相应曲线的形状分析和参数对于形状图的影响等，并得到了一些较好

17、的结果。 本人自入学以来，在吴晓勤导师的指导下，认真研读了关于曲线曲面方向的国内外基础知识，例如数值分析 、计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条、Interactive Curve Modeling、Curves and Surfaces for Computer Graphic、计算机辅助几何设计中的保形插值理论与算法、金字塔算法-曲线曲面几何模型的动态编程处理等等，同时，项目组主要成员所在单位是湖南科技大学，学校有较好的科研环境与氛围，具有较好的办公条件与网络环境，订购了一些著名出版公司（如Springer、中国期刊网等）的网页使用权，以及Elsevier数据库、美国数学评论数据库等，有较丰富的图书资料。，在代数与符号计算方面有较强的学术梯队，能保证研究时间，并在人力、物力上学校能给予大力支持。本项目组具有良好的研究基础、条件，经过努力工作，一定能够圆满实现研究目标。我通过图书馆、网络资源大量查阅了国内外相关文献和著作，现已认真研读了有关该方向的论文，已对该研究方向的有关理论有了比较系统而深刻的了解，具有扎实的专业理论知识，现确定了今后自己要研究的内容，以后会以饱满的热情投入到研究工作中去的。 五、经费预算支 出 科 目金 额（万元）计 算 根 据