数学实验报告册

1、实验一 一元函数的图形和极限一 实验目的 通过图形加深对函数性质的认识和理解，通过函数图形的变化趋势理解函数的极限，通过计算和作图，加深对数列极限及函数极限的理解，掌握用MATLAB作平面图形的方法和技巧，掌握用MATLAB计算极限的方法。（一） 学习MATLAB命令，作一元函数的图形1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令（1） 命令命令的基本使用形式是：x=a:t:b; y=f(x);plot(x,y,s)其中要带入具体的函数，也可以将前面已经定义的函数代入。和分别表示自变量的最大值和最小值，即说明作图时自变量的范围，必须输入具体的数值，表示取点间隔（增量），因此这里的是向量。是可选参

2、数，用来制定绘制曲线的线性、颜色、数据点形状等（见下表）。线性、颜色、数据点可以同时选用，也可以只选一部分，不选则用MATLAB设定的默认值。颜色标记线型b 蓝(默认)g 绿r 红c 青m 品红y 黄k 黑. 点 上三角形。圈 下三角形X叉 < 左三角形+ 十字 > 右三角形* 星 p 五角星形s 方块 h 六角星形d 菱形 无标记(默认)- 实线： 绿- 红- - 青例1 作出函数在区间-1 上的图形。输入命令：x=-1:0.1:1;y=x.2;plot(x,y,'r')图1-1然后按下Enter键，则作出所求图形（见图1-1）。注：plot命令也可以在同一个坐标

3、系内作出几个函数的图形，只要用基本的形式。plot(,)就可以绘制出以向量xi和yi的元素为横纵坐标的曲线。例2 在同一坐标系内作出函数 和 在区间上的图形。输入命令：x=0:0.1:2;y1=x.2;y2=sqrt(x);plot(x,y1,':',x,y2,'-')然后按下Enter键，则作出所求图形（见图1-2）。图1-2（2） ezplot命令ezplot是简易平面直角坐标系中的作图命令，ezplot命令的基本使用形式是ezplot(f(x),)可用ezplot命令绘制函数f(x)在区间上的图形，当省略区间时，默认区间是.也可以把例1的输入改为:ezpl

4、ot( ,)同样得到图1-1.2.隐函数作图命令隐函数作图命令ezplot的格式是： 该命令执行后绘制出方程所确定的隐函数在区域：内的图形。命令中第二项给出了变量与的范围。当省略第二项时，默认变量x与y的范围都是.例3 方程 确定了是的隐函数，作出它的图形。输入命令ezplot('(x.2+y.2)2-x.2+y.2',-1,1,-0.5,0.5)然后按下Enter键，输出图形是一条双钮线（见图1-3）图1-33.分段函数作图命令分段函数的定义用到条件语句，而条件语句根据具体条件分支的方式不同，可有多种不同形式的if语句块。这里仅给出较为简单的三种条件语句块：（1） if<

5、;条件表达式>语句体End(2)if<条件表达式> 语句体1Else 语句体2End(3)if<条件表达式> 语句体1Elseif <条件表达式> 语句体2Else 语句体3End例4 作出分段函数 = 的图形。输入命令：y=;for x =-4:0.1:4 if x <= 0 y=y,cos(x); else y=y,exp(x); endendx=-4:0.1:4;plot(x,y)执行后可观察到它的图形（见图1-4）图1-4（二） 学习MATLAB命令，计算一元函数的极限 命令用于计算数列或者函数的极限，其基本形式是： 其中是数列或者函数的

6、表达式，是自变量的变化趋势。如果自变量趋向于 ，则用代替。对于单侧极限，通过命令的选项 和 表示自变量的变化方向。 求右极限 时，用 求左极限 时，用 当 时，用. 当 时，用二、实验内容1.数列极限例5 考虑极限输入：syms nlimit(2*n3+1)/(5*n3+1),n,inf)ans =2/52函数的单侧极限例6 考虑函数在的左右极限syms xlimit(atan(1/x),x,0,'right')limit(atan(1/x),x,0,'left') ans =pi/2ans =-pi/2例7 考虑函数,在时的极限syms xlimit(atan

7、(x),x,+inf)limit(atan(x),x,-inf)ans =pi/2ans =-pi/2例8 考虑第一个重要的极限syms xlimit(sin(x)/x,x,0)ans =1例9 考虑第二个重要的极限syms xlimit(1+1/x)x,x,inf)ans =exp(1)三、实验作业1.计算极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）实验二 导数一 、实验目的 掌握用MATLAB求导数与高阶导数的方法，掌握用MATLAB求隐函数的导数及由参数方程确定的函数的导数的方法。 求导数命令是，常用格式为： 给出关于的导数，将表达式中的其他字母看做常量。因此，如果表达式是多元函数，

8、则给出的是偏导数。 给出关于的阶导数或者偏导数。二、实验内容( 一 )、导数概念与导数的几何意义例1 求导数输入syms xdiff(x3-3*x2+x+1,x)执行以后得到导函数：ans =3*x2 - 6*x + 1例2 作函数的图形和它在处的切线。输入 syms xhanshu=2*x3+3*x2-12*x+7;daoshu=diff(hanshu,x);x=-2.5;hanshuzhi=eval(hanshu)daoshuzhi=eval(daoshu)执行后得到在处的函数值和导数值hanshuzhi = 24.5000daoshuzhi =10.5000再执行x=-1:0.1:3;y

9、=2.*x.3+3.*x.2-12.*x+7;y1=24.5000+10.5000.*(x+2.5);plot(x,y,'b',x,y1,'r')便在同一个坐标系内作出了函数的图形和它在处的切线（ 二 )、求函数的高阶导数及函数在某点的导数值 例3 求函数的一阶导数和二阶导数输入：syms x ndaoshu1=diff(xn,x)daoshu2=diff(xn,x,2)执行后得的一阶导数和二阶导数分别为daoshu1 = n*x(n - 1) daoshu2 = n*x(n - 2)*(n - 1)例4 求函数的一阶导数，并求 输入syms x a b;dao

10、shu = diff(sin(a*x)*cos(b*x),x)x=1/(a+b);daoshuzhi = eval(daoshu)执行后分别得函数的一阶函数及的值：daoshu = a*cos(a*x)*cos(b*x) - b*sin(a*x)*sin(b*x)daoshuzhi = a*cos(a/(a + b)*cos(b/(a + b) - b*sin(a/(a + b)*sin(b/(a + b)（ 三 ）、求隐函数的导数，由参数方程确定的函数的导数例5 求由方程确定的隐函数的导数输入syms x yz=2*x2-2*x*y+y2+x+2*y+1;daoshu=-diff(z,x)/

11、diff(z,y)执行后得到daoshu =-(4*x - 2*y + 1)/(2*y - 2*x + 2)例6 求由参数方程确定的函数的导数输入syms tx=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);daoshu=diff(y,t)/diff(x,t)则得到1阶导数：daoshu = (exp(t)*cos(t) + exp(t)*sin(t)/(exp(t)*cos(t) - exp(t)*sin(t)三、实验作业1求函数的一阶导数和二阶导数2.求解下列方程所确定的隐函数的导数3.求以下参数方程确定的函数的导数： （2）实验三 导数应用一、实验目的理解并掌握用函数的导数

12、确定函数的单调区间，凹凸区间和函数极值的方法。学习MATLAB命令（一）求多项式方程近似根的命令用MATLAB求多项式：的解的命令是,具体使用方法是（“%”为注释符号，后同）：； %其中c是多项式的系数向量（二）求一般方程近似根的命令 命令的一般形式如下：（1） 建立函数（2） 求函数零点：，%求函数在区间内的零点。 ，%求函数在附近的零点。注：是函数名，在和的函数值异号（三） 求非线性函数的极小值用MATLAB求一元函数极小值命令是，常用格式如下 ， %求上fun函数的极小值点 ， %返回极小值点x处目标函数的值注： （1）函数的算法基于黄金分割和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，此

13、命令可能给出局部最优值。（2）命令是求函数的极小值点，若要求函数的极大值点，只需求的极小值点。二、实验内容（一）求函数的单调区间例1 求函数的单调区间 输入：syms xdiff(x3-2*x+1,x)执行后得到函数的一阶导数为：ans =3*x2 - 2输入：x=-4:0.1:4;y1=x.3-2.*x+1;y2=3.*x.2-2;plot(x,y1,'k-',x,y2,'b*')其输出如图3-1所示。其中的米字线是导函数的图形。观察函数的增减与导函数的正负之间的关系。图3-1再输入：c=roots(3,0,-2)得到导函数的两个零点为：c = 0.8165

14、-0.8165因为导函数连续，在它的两个零点之间，导函数保持相同符号。因此，只需在每个小区间上取一点计算导数值。即可判断导数在该区间的正负，从而得到函数的增减。再输入x=-1;daoshuzhi=eval('3*x2-2')daoshuzhi = 1 x=0;daoshuzhi=eval('3*x2-2')daoshuzhi = -2 x=1;daoshuzhi=eval('3*x2-2')daoshuzhi = 1说明导函数在区间上分别取和+。因此函数在区间和上单调增加，在区间上单调减少（二） 求函数的极值例2 求函数的极值输入：ezplot(

15、'x/(1+x2)',-6,6)输出如图3-2所示，观察他的两个极值。图3-2再输入：f='x/(1+x2)'xmin,ymin=fminbnd(f,-10,10)输出为：xmin = -1.0000ymin =-0.5000表明是极小值点，极小值是0.5000.接下来将求极大值的问题转换为求极小值，再输入：f1='-x/(1+x2)'xmax,ymax=fminbnd(f1,-10,10)输出为：xmax = 1.0000ymax = -0.5000注意，所以=1是极大值点，极大值是（0.5000）=0.5000.（三）求函数的凹凸区间和拐点例

16、3 求函数的凹凸区间和拐点输入：syms xy=1/(1+2*x2);y1=diff(y,x)y2=diff(y,x,2)执行后得函数的一阶导数，二阶导数分别为:y1 =-(4*x)/(2*x2 + 1)2y2 =(32*x2)/(2*x2 + 1)3 - 4/(2*x2 + 1)2再输入ezplot('32/(1+2*x2)3*x2-4/(1+2*x2)2',-2,2) 输出如图3-3所示，表示函数的二阶导数，观察二阶导数的正负值图3-3输入：c1=fzero(f,-3,0)c2=fzero(f,0,3)得到二阶导数的零点为：c1 =-0.4082c2 =0.4082 即得到

17、二阶导数等于零的点是用例1中类似的方法可知，在上二阶导数大于零，曲线弧向上凹，在上的二阶导数小于零，曲线弧向上凸。再输入：x=-0.4082;zhi=eval('1/(1+2*x2)')x=0.4082;zhi=eval('1/(1+2*x2)')得到输出：zhi = 0.7500zhi =0.7500这说明函数在-0.4082和0.4082的值都是0.7500.因此两个拐点分别是三、实验作业1、作函数及导函数的图形，并求函数的单调区间和极值。2，作函数及其二阶导函数在区间上的图形，并求函数的凹凸区间和拐点。 实验四 一元函数的不定积分一、实验目的掌握用MATL

18、AB计算不定积分的方法学习MATLAB命令不定积分计算命令MATLAB软件求函数积分的命令，它既可以用于计算不定积分，也可以用于计算定积分。具体为：（1） 求函数关于定义的符号变量的不定积分。（2） 求函数关于变量的不定积分。二、实验内容计算不定积分例1：求输入：syms xint('x2*(1-x3)5',x)则得到输出：ans = - x18/18 + x15/3 - (5*x12)/6 + (10*x9)/9 - (5*x6)/6 + x3/3注：用MATLAB软件求不定积分时，不自动添加积分常数C例2: 求输入：syms xint('exp(-2*x)*sin(3*x)',x)则得到输出：ans = -(3*cos(3*x) + 2*sin(3*x)/(13*exp(2*x)例3 求输入：syms x int(atan(x)*x2,x)则得到输出：ans = log(x2 + 1)/6 + (x3*atan(x)/3 - x2/6例4 求输入：syms xint(