非线性方程和方程组的数值解法

1、第四章 非线性方程和方程组的数值解法教学目标：1.了解并掌握非线性方程的根的相关概念，如m重根、有根区间等概念；2.掌握逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤，了解这两种方法的适用性及缺点，能应用其求解简单的非线性方程；3.了解迭代法的分类，理解并掌握不动点迭代法的概念及相关收敛性定理，掌握全局收敛性及局部收敛性联系及区别，理解收敛阶和计算效率的相关概念的来历及含义；4.了解迭代加速的思想，掌握加权法（松弛法）、Aitken以及Steffensen加速方法的思想及相关理论、计算公式；5.理解并掌握Newton迭代法及求重根的修正Newton迭代法的思想、实现步骤以及相关理论；6.理解

2、Newton迭代法的相关变形方法的提出及实现步骤，如简化Newton法（平行弦法）、Newton下山法、拟Newton法和Steffensen方法；7、理解割线法和Muller法提出的背景及实现步骤，掌握相关的理论。教学重点：1.逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤；2.不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；3.迭代加速的思想及三种实现方式；4. Newton迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。教学难点：1.不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；2.迭代加速的思想及三种实现方式；3. Newton迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。教学方法：教具：§4.1 问

3、题的提出非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。本章重点讨论单个方程的求根方法，对于非线性方程组的解法仅作一些简单的介绍。这是因为单个方程的求根问题比非线性方程组更普遍。另外非线性方程组的求解是个难度比较大的问题，许多近代研究集中在这个问题上。非线性方程和方程组的数值解法主要是迭代法。一般的非线性方程组可以写成，其中和都是维向量。当时就是单个的方程。为了叙述方便，首先引入下述定义：定义4.1 对于一元非线性方程，若为代数多项式，即则称为代数（多项式）方程，否则称为超越方程。例如，为代数方程，而则为超越方程。定义4.2

4、 （1）若存在使，则称是方程的解或根，也称是函数的零点。（2）若函数可分解为 ，其中为正整数，则称是方程的重根，或称是函数的重零点。当时，称是的单根或的单重零点。零点可能是实数，也可能是复数。定理4.1 对于充分可微的函数，是函数的重零点的充分必要条件是：，定义4.3 若方程在区间内至少有一个根，则称为方程的有根区间。通常可用逐步（次）搜索法求方程的有根区间。定理4.2 若函数在区间上连续（即），且，则方程在内至少有一个根。定义4.4 若在区间上只有方程的一个根，则称为方程的隔根区间。定理4.3 若函数在区间上单调连续，且，则方程在内有且仅有一个根。关于根的个数，由代数学基本定理知，高次代数方

5、程的根（包括实根和复根）的个数与代数方程的次数相同；对于超越方程，可能没有根，也可能有一个或若干个根，甚至无穷多个根。理论上已经证明，对于次数的代数方程，它的根可以用根式表示，而次数的代数方程，它的根一般不能用根式表示，亦即不能用解析表达式来表示。因此对于一般的函数方程，一般来说，更不存在根的解析表达式，而在实际应用中，也不一定需要得到求根的解析表达式，只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。求解非线性方程的根的问题大致可分为下面三个方面：（1）根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？（2）根的分布，即求出有根区间。（3）根的精确化。即在已知一个根的近似值后，设法逐步把根精确化，直到

6、满足精度为止。§4.2 逐步搜索法和二分法4.2.1 逐步搜索法假设是定义在某区域内的连续函数，在区间有且仅有一个单根，则逐步搜索法的步骤如下：（1）判断的符号：若，则；若，则不妨设。（2）选择适当的步长，搜索一步，看的符号，若，则已找到。若则可知，这时可取或作为的近似值。若，则继续往前搜索一步，看的符号，直到与异号，则可知，其中，这时可取或作为的近似值。逐步搜索法的步长的选择很难恰到好处，若取得较大，则精度较差；若取得足够小，精度提高了，但计算量增加了许多。因此，如果精度要求较高的话，该方法不太经济。例4.1 求方程的有根区间。解：根据有根区间的定义，对方程的根进行搜索计算，结果如

7、下表0123456符号从上表可以得出方程的三个有根区间为，和。4.2.2 二分法二分法（对分法）是逐步搜索法的改进。它的基本思想是逐步将非线性方程的有根区间（或隔根区间）二分，通过判断函数值的符号，逐步对半缩小有根区间（或隔根区间），直到区间缩小到容许误差范围之内，然后取区间的中点为根的近似值。（基本思想：通过计算隔根区间的中点，逐步缩小隔根区间，从而得到方程的近似根）设，且，则在内有根。为明确起见，再设在内仅有一个根。令，计算和。若，则，结束计算。若，则令，否则令，这样得到新的隔根区间。，。再令，若，则，否则类似可得新的隔根区间。这个过程可一直进行下去，仅当出现时过程中断（其中）。记第次过程

8、得到的隔根区间为，则， （4.1）故有 ，因此当充分大时，可作为方程的根的近似值，且有误差估计式 对于预先给定的精度，只要，即 （4.2）便有，这时就是满足精度要求的近似值。（实际中常用来代替，其中为预先给定的小量）分析以上过程不难发现，二分法的收敛速度与公比为的等比级数相同。由于，可知大约二分10次，近似根的精度可提高三位小数位。二分法的思想方法还可以用于搜索一个较大区间内实根的分布情况（不包括偶重实根），实际做法是：取适当的步长，逐一检验小区间（）两端的函数值是否异号，若异号，则按以上二分法求出其中的根；若同号则不作求根运算而转入检查下一个区间，只要选得适当小，则可求出内的所有奇重实根（包

9、括单实根）。选得过大，可能漏掉某些根；选得过小，则计算量增大。二分法的优点是程序简单、方法可靠、易于在计算机上实现，事先估计计算次数容易，收敛速度恒定，对函数的性质要求低，只要连续就可以了；它的局限性是不能求偶数重根，也不能求复根和虚根。另外，二分法在求根过程中，只用到了函数的符号，而未用到计算出的函数值，这总有点浪费。实际应用中这个方法可用于求根的初始近似值，以便使用其它的求根高速迭代法，有时也用来试探实根的分布区间。例4.2 用二分法求方程在区间内的一个实根，要求精确到小数点后第二位（即误差不超过0.005）。解：这里，而，故在区间内有根。由（4.2）式可得故只要二分6次便能达到所要求的精

10、度，具体计算结果见下表：的符号01.01.51.2511.251.37521.3751.312531.31251.343841.34381.328151.32811.320361.32031.3242故为方程的近似根，误差不超过0.005。§4.3 迭代法4.3.1 迭代法分类迭代法是一种逐步逼近根的方法，已知方程的一个近似根后，通常使用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，一直到满足给定的精度要求为止。迭代法可分为单点迭代法和多点迭代法。设一元函数是连续的，将方程变换为如下的等价形式 （4.3）其中是一个连续函数，这样就得到单点迭代公式， （4.4）给定初值，可得序列。此

11、时称为迭代函数，其只依赖于及上以及的各阶导数值，并称为迭代序列，有时也称（4.4）为迭代方程（过程，格式）。例如，著名的Newton迭代法，就是单点迭代法的一个具体例子。而多点迭代法的一般形式为， （4.5）为产生迭代序列，需要个初始值，。其中迭代函数依赖于及这些点上及其各阶导数值。割线法 ，是多点迭代法的一个最简单的例子。在实践中，有些迭代法其迭代函数是随迭代次数发生改变的，一般称这样的迭代法为非定常迭代。而对应地，上述单点和多点迭代法称为定常迭代。因此，迭代法的最一般形式为 （4.6）我们将要考虑的求的根的方法都属于这种形式。对于定常迭代，而对于单点迭代。 4.3.2 不动点迭代法与全局收

12、敛性定义4.5 若满足，则称为的不动点（或固定点）。此时，我们称（4.4）式为不动点迭代法。显然，若等价于，则的不动点也是方程的根。定义4.6 如果对于任意的，由（4.4）式产生的序列有极限，即，则称迭代方程（4.4）收敛。下面先讨论一般的不动点和不动点迭代法的一些性质。定义4.7 若存在常数，使对任何有则称在上满足Lipschitz（利普希茨）条件，称为Lipschitz常数。 显然，若在上满足Lipschitz条件，则在上连续。若在上一阶导数存在且有界，则在上满足Lipschitz条件。定理4.4（不动点存在性定理） 设满足以下两个条件：（1）对任意，有；（2）在上满足Lipschitz条

13、件，且Lipschitz常数；则在上存在唯一的不动点。证明：先证明不动点的存在性，记，由定理条件有及，若有一等号成立，则或，即有不动点，否则必有，因，则必有使，即为的不动点。再证明唯一性，设都是的不动点，且，则与假设矛盾，这表明，即不动点是唯一的。证毕推论1 若定理4.4中的条件（2）改为，且，则定理结论依然成立。证明：这只要利用下式即可证明，其中，定理4.5（不动点迭代法的全局收敛性定理） 设满足定理4.4中的两个条件，则对任意的，由（4.4）式生成的迭代序列收敛到在上的不动点，且对整数有 （4.7） （4.8） （4.9） （4.10）证明：由定理4.4知在上存在唯一的不动点，下面先证明由

14、（4.4）式生成的迭代序列收敛到的唯一不动点。由于，故，再由Lipschitz条件得因为，故，即。由Lipschitz条件及递推关系得即证得（4.7），再由 及递推可得（4.8），在（4.7）中令即得（4.9），在（4.8）中令即得（4.10）。证毕 推论2 若定理4.5中的条件（2）改为，且，则定理结论依然成立，且有 （4.11）证明：只需证明（4.11）。由微分中值定理及迭代公式有其中介于和之间。从而有，对上式两端取极限，并注意到即得（4.11）式。证毕估计式（4.7），（4.8）和式（4.11），分别被称为误差后验估计式（误差事后估计式）、误差先验估计式（误差事前估计式）和误差渐进估计式

15、。由定理4.5可以看出，的大小与迭代的收敛速度有关。越小，收敛速度越快；若很接近于1，则收敛可能很慢。在实际计算中，对于给定的容许误差，当较小时，常以前后两次迭代值与满足来终止迭代，并取；也可以采用，从而可确定迭代次数应取 （4.12）定理4.6 设在上有不动点，且当时，有，则对任意初值且，迭代公式发散。证明：由且知如果，则有 如此继续下去，或者不属于，或者，因而迭代序列不可能收敛于。证毕例4.3解方程。解：不难验证方程在有一个根。用不同的方法构造形式的等价方程，从而就有不同的迭代公式。方法1：方程变换为，迭代公式为。设，则，。由定理4.6知迭代式发散的。方法2：方程变换为，迭代公式为。设，可

16、以验证，对所有成立。取，有，。方法3：取，对所有，有，取，有，。4.3.3 局部收敛性和收敛阶定理4.5和4.6讨论了迭代法在区间上的收敛性，我们称之为全局收敛性，全局收敛性也包括在无穷区间上收敛的情形。但是很多情况下全局收敛的情形不容易检验，为此我们通常考察在根附近的收敛性问题。定义4.8 设在区间内有不动点，若存在的某个邻域，对任意初值，迭代公式产生的迭代序列，且收敛到，则称迭代法局部收敛。定理4.7（不动点迭代法的局部收敛性定理） 设为的不动点，且在的某个邻域内，存在一阶连续的导数，则（1）当时，迭代法局部收敛；（2）当时，迭代法发散。证明：（1）设，由于在附近是连续的，对于，存在适当小

17、的，当时，有由上式得 又对如上选择的，对一切有 因而在区间内定理4.4的两个条件满足，因而迭代法是局部收敛的。（2）设，则在的某个邻域内有，由定理4.6知迭代法发散。证毕定理4.7对初值的要求较高。如果已知的大概位置，为的一个较好的近似值，则可用代替，用代替，然后应用定理4.7判断迭代法的局部敛散性。迭代法产生的迭代序列的收敛速度是衡量方法好坏的重要标志之一，为此我们引入收敛阶的概念。定义4.9 设序列收敛到，记误差（1）若存在常数和，使得 （4.13）则称为阶收敛，称为渐进误差常数。当时分别称线性收敛和平方收敛，当时称为超线性收敛。如果由迭代函数产生的序列是阶收敛，则称为阶迭代函数，并称迭代

18、法是阶收敛。（2）若存在常数和（当时规定），及正整数，当时有 （4.14）则称至少阶收敛。（3）若存在实数及正整数，当时有，或者 （4.15）则称为超阶收敛。定义中的渐进误差常数与有关。的要求是指对一般的函数，保证了的唯一性。若迭代法阶收敛，则时必有，但时并不要求小于1；若，则可以肯定方法具有局部收敛性，对于却并不如此。若阶收敛，则它显然是至少阶收敛和超阶收敛的。需要指出的是，收敛阶的概念仍是一个局部性质，它刻画了方法接近于收敛时的误差下降的快慢。一般来说，越大，收敛就越快。定理4.8（收敛阶定理） 设为的不动点，整数，在的某邻域上连续，其满足， （4.16）则由产生的序列在的某邻域内是阶收敛

19、，且有 （4.17）如果，要求。证明：由及定理4.7可知迭代法是局部收敛的。将在处作泰勒（Taylor）展开，并利用（4.16）得 亦即 其中在和之间。由于，于是由此得（）由收敛阶的定义即得定理结论。证毕例4.4 考察例4.3的方法二和方法三的收敛阶。解：（1）方法二中，则，所以它是一阶收敛的。（2）方法三中，解得，所以它也是一阶收敛的。4.3.4 计算效率利用收敛阶的概念，可以比较不同迭代法的收敛速度，但不能说明方法的计算效率，即达到根的指定精度所需要计算量的大小。为此，需要给出刻画方法计算效率高低的概念。设用两个不同的迭代法求解的根，并假设两种方法都从相同的初始近似值出发。又设两种方法分别

20、是阶与阶，渐进误差常数为与，则当接近于收敛时，有近似关系式， （4.18）其中分别表示两种迭代法的迭代误差，且。由（4.18）式得 ，记， （4.19）于是得差分方程 ， （4.20）这两个差分方程的解分别为 ， （4.21）其中初始值。设两个迭代法达到同一收敛程度所需的步数分别为和，则有，即。于是由（4.21）式得 （4.22）若记和分别为两个迭代法每次迭代所需的计算量，则这两个迭代法的总计算量分别为和。于是比较这两个方法的计算效率，也就是比较和。量和都能由迭代函数估计出来，但（4.22）式并未给出和以明显的关系。但是，若假设（4.22）式中的第二项与第一项相比为小（例如当与都接近于1时），

21、这往往是一个好的假设，此时有 （4.23）亦即 （4.24）于是，可以定义效率指数为或更普遍定义为。于是，在比较不同的迭代法的计算效率时，就可以考虑这些方法的效率指数，越大，方法的计算效率就越高（在特殊情况下（4.22）式能直接用来估计）。由于上述推导过程中的方法的阶是局限于根的邻域的一个性质，所以效率指数只表示当方法接近于收敛时它有多好，在根的邻域外确定方法的效率一般是困难的。对于一般的，比较不同迭代法的计算效率时，每次迭代的计算量主要依赖于每次迭代所需及其导数的计算次数，而不依赖于迭代函数组合这些量时所需的算术运算。§4.4 迭代加速收敛的方法由收敛阶定理4.8，我们可以看到，迭

22、代法的收敛速度和迭代函数有关。在很多情况下，可由构造出一个新的迭代函数，使（1）方程和具有相同的根；（2）由迭代公式产生的迭代序列收敛于的阶高于由产生的迭代序列收敛于的阶。上述由一个迭代公式产生一个收敛较快的迭代公式的方法通常称为加速法。另一方面，对于收敛的迭代法，理论上只要迭代足够多次，总可以得到满意的精度；但是有时迭代过程过于缓慢，计算量极大，实际上得不到满意的计算结果。因此，对一个迭代法进行加速就成为一个很有必要的研究课题。4.4.1 加权法（松弛法）设是精确解的某个预测值，用迭代公式校正一次，得到。假设，则在求根范围内改变不大，可近似记为，则有解出： 由此可见，若把误差值作为计算结果的

23、一种补充，即记 那么，应比近似得更好。这样，对于每一步的加速迭代方案可以表述如下：迭代：改进：上面的改进可以看作是迭代值和的加权平均。从下面例子可以看出，这种加速过程，效果是比较明显的。例4.5 求方程在附近的一个根。解：过以为步长搜索一次，可发现所求根在区间内。迭代函数，因为，所以由定理4.7知局部收敛。迭代18次，可得。另一方面，因为，取，则加速公式可表述为迭代过程如下表：01230.500000.566580.567120.56714即此时只要迭代三次便可得到前一种迭代方法的结果，加速效果是明显的。4.4.2 艾特肯（Aitken）加速方法在前面的加速方案中，要用到，而在实际应用中常常会

24、遇到导数估计不太容易等困难，因此，要设法把这个“L”去掉。仍设是的某个预测值，校正一次，得，再校正一次得。由于两式相除得 解出： 这就是说，把误差值作为的一种补偿，补偿后的结果应比近似得更好些。作为一般步骤，它的具体方案如下：迭代： ；再迭代：改进： 这种方法称为Aitken加速方法。设为的精确解，依然记，利用微分中值定理可得其中在和之间，通常依赖于。若变化不大，设，于是有 ，从上面两式消去，则有 或解得 引入差分记号，记 ， （4.25）则是新的一个近似值，利用（4.25）构造的方法称为Aitken加速方法。定理4.9 设有序列，存在满足，即，且，则由（4.25）确定的对充分大的都存在，且有

25、。证明：其中，因，所以当充分大时，故由（4.25）产生的序列是完全确定的，且 对充分大的成立，所以有 推论：设有序列，且有，则由（4.25）确定的对充分大的都存在，且有。证明：这只要注意到：由可得，即可。上述定理及推论说明了序列比收敛更快，通常用Aitken加速方法来加速具有线性收敛序列的收敛速度。4.4.3 斯蒂芬森（Steffensen）迭代法Aitken加速方法不管原序列是怎样产生的，对进行加速计算得到序列。如果我们把关于函数的不动点迭代和加速技巧结合起来，就可以得到如下的Steffensen迭代法：， （4.26）从（4.26）式可以看到，Steffensen迭代法实际上是将原不动点迭

26、代计算两次合并成一步得到的，因此我们可将Steffensen迭代法写成另一种不动点迭代法：， （4.27）其中 （4.28）定理4.10 若为（4.28）所定义的函数的不动点，则为的不动点；反之，若为的不动点，设存在且连续，则为的不动点。证明：设为的不动点，将代入，若分母，则有。若，则有，代入（4.28）的分子得，所以为的不动点。设为的不动点，以代入（4.28）右端是一个不定式，利用条件及LHospital法则有若定理4.10中的条件不满足，即是方程的重根，也可以证明。定理4.11 对迭代法，是的不动点，在的邻域内有次导数存在。对，若，则Steffensen方法是二阶的。若是阶收敛的，则Ste

27、ffensen方法是阶收敛的。证明：（略）若且，即是方程的重根，则可证明Steffensen方法是一阶的，渐近常数。在定理4.11中，当，且时表示，若收敛只能是一阶收敛的；若，则一定发散。但这两种情形下，Steffensen方法都是二阶收敛的。这也就是说Steffensen方法不但可以提高收敛速度，有时也能把不收敛的方法改进为收敛的方法。也可以证明，对于的情形，Steffensen方法一般好处不大，所以它主要用于加速线性收敛的方法。例4.6 关于方程，例4.3给出了三种迭代法。（其中方法一发散，方法三是一阶收敛的）对方法一，对它用Steffensen方法加速，计算得（，），。对方法三，也对它用

28、Steffensen方法加速得021.751.897959211.84294871.83703291.840679621.8392889这里用同样的初值，迭代2次就得到例4.3迭代20次才得到的结果。§4.5 Newton迭代法用迭代法求方程的根时，首先要把它写成等价形式，而迭代函数构造的好坏，不仅影响收敛速度，而且迭代过程也有可能发散。那么怎样选择一个迭代函数才能够保证迭代序列一定收敛呢？构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程求根。因此如果能将非线性方程用线性方程来代替，那么求近似根问题就容易解决了。Newton迭代法就是把非线性方程线性化的一种方法。4.5.1 New

29、ton迭代法及其收敛性Newton迭代法的基本思路是将非线性方程逐步线性化而形成的迭代公式。设是的一个近似根，将函数在处作一阶Taylor展开，即若上式右端最后一项忽略不计，则得到如下近似方程 设，则可解得取作为原方程新的近似根，即令， （4.29）称（4.29）为Newton迭代过程（方程或格式），用Newton迭代过程求方程根的方法称为Newton迭代法，简称为Newton法。Newton迭代法有时也称为Newton-Raphson(牛顿-拉夫申)迭代法。Newton迭代法的另一种来历：用简单迭代法求方程的根，特别重要的是构造迭代函数。为了使收敛速度的阶高一些，应尽可能使在处有更多阶导数等

30、于零。现在令，为待定函数，但，则方程与方程有共同的根。现用来确定，由可知，必须满足。显然，取就具备这个条件，并且也满足。Newton迭代法的几何意义是作曲线在点的切线方程该方程与轴交点的横坐标就是方程根的新的近似值，所以Newton法又常称为（Newton）切线法。将Newton迭代法写成一般的不动点迭代的形式，有 （4.30） （4.31）从而有，即Newton迭代法是超线性收敛的。一般地，关于Newton法的收敛性有以下的局部收敛定理定理4.12 设，在附近二阶导数连续，则Newton迭代法至少是二阶收敛的，且有 （4.32）证明：由（4.31）式可知，而，由收敛阶定理4.8可知，Newt

31、on迭代法至少二阶收敛，由（4.17）式立即可得（4.32）式。证毕一般来说，Newton法对初值的要求较高，初值足够靠近时才能保证收敛。若要保证初值在较大范围内收敛，还需对加一些条件。例如下面的定理就给出了一个充分条件。定理4.13 设函数在区间内存在二阶连续导数，且满足条件：（1）；（2）当时，；（3）当时，不变号；（4），；则对任意的初值，由Newton迭代法（4.29）式产生的迭代序列二阶收敛到方程在内的唯一的单根。证明：由条件（1）（2）知方程在内存在唯一的根。根据条件（2）（3）可将函数分为如下四种情况：（1）；（2）；（3）；（4）下面仅对情况（1）分3步进行证明，其它情况可类似

32、证明。第1步 当时，由（4.29）式知（），则序列为常数序列，收敛性是显然的。第2步 当时，；另一方面又有其中。由于，所以，由上式得，从而有。类似地，若，同理可得，因而序列单调下降并以为下界，故序列收敛。记，则，在（4.29）两边取极限得，解得，又方程只有一个根，所以，即。第3步 当时，由得，即。另一方面，由及，有其中。由，及条件（4），得，从而有，把看作新的迭代初值就归结为前两步证明的情况。证毕例4.7 用Newton法求方程的根。解：，Newton迭代为，取，得，即为根的近似，与例4.5相比，它表明Newton法收敛很快。例4.8 用Newton迭代法建立求平方根的迭代式并分析收敛性。解：

33、作函数，则的正根就是，由（4.29）式得 （4.33）这是在计算机上做开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只作一次除法和一次加法在做一次移位即可，计算量少，收敛又快。当时有，故由定理4.12知，对任意的初值，迭代（4.33）均收敛于。事实上，若，则不难验证有，即，一般地可证明，即从起是一个单调递减有下届的数列，从而必有极限，在（4.33）中令可得。另一方面，由（4.33）右端进行配方可得，两式相除得 由此反复递推有 令，则有上式得，对任意的，总有，故有。 4.5.2 求重根的修正Newton法设是的重根，即，其中，有二阶导数，计算的导数可得从而有。当时，这样Newton法只是线性收敛的。若

34、重数已知，将迭代函数改为，则，故迭代法， （4.33）至少二阶收敛。在实际使用中，由于根的重数一般是未知的。令，可以证明若为的重根，则为的单根。对用Newton法，迭代函数为 （4.34）从而可构造迭代法 ， （4.35）可证明上述方法至少二阶收敛。下面简要叙述根的重数的计算。设为的重根，则，于是记 则 令，得到 令，得到 例4.9 方程的根是二重根，使用Newton法及（4.33）、（4.35）各计算三步。解：，（1）Newton法：，（2）迭代法（4.33）：，（3）迭代法（4.35）：，三种方法均取，计算结果如下表：方法（1）方法（2）方法（3）1.4583333331.41666666

35、71.4147647061.4366071431.4142156861.4142114381.4254976191.4142135621.414213562方法（2）和（3）都是二阶方法，都达到了的精确度，而普通的Newton法（方法（1）是一阶的，要达到相同精度需要迭代30次。4.5.3 简化Newton法应用Newton迭代过程（4.29）时需要计算，如果遇到的问题很难计算，有时改用下面修正的迭代过程：， （4.36）其中是某一常数。过程（4.36）称为简化Newton法。由收敛阶定理4.8可知，除非，这时（）简化Newton法是二阶收敛的，否则（4.36）是线性收敛的，但若能取的较好近似

36、值，则收敛还是较快的。的一种选取是取，此时（4.36）化为， （4.37）这个公式的几何意义是用过点且斜率为的直线 来代替曲线，取该直线与轴交点的横坐标作为根新的近似值，因此该方法有时也称为平行弦法。 4.5.4 Newton下山法Newton迭代法是一种局部收敛方法，通常要求初值在解的附近才能保证迭代序列收敛。为了扩大收敛范围，使对任意的初值迭代序列都收敛（即放宽初值的选择范围），通常可引入参数，并将Newton迭代法改为， （4.38）其中，称为下山因子，（4.38）式称为Newton下山法。通常可选择使，计算时可取直到满足要求为止。由此得到的序列由于满足下山条件，故它总是收敛的，但它只是

37、线性收敛的。Newton下山法可以看成是由Newton法的计算结果与前一步的计算结果作加权平均后再作为新的近似值而得到，即 （4.39） Newton下山法计算步骤：（1）选取初值；（2）去下山因子；（3）计算及；（4）比较与1）若，则当，取，终止迭代；当， 增加1，转（3）。2）若，则当，而，取，终止迭代；当，而，取代转（3）（为一小正数）；当，而，取代替，转（3）。例4.10 用Newton下山法求的解，取，计算精确到。解：由于，从而Newton下山法为，若用Newton法（）迭代3次则求得解的近似值。现取，则得，不满足下山条件。通过试算，当时，满足，以下计算时参数，且4.5.5 拟Newton法和Steffensen方法在Newton法中，如果用代替就得到拟Newton法： ，如果用代替就得到Steffensen方法：，可以证明拟Newton法和Steffe