大一第一学期期末高数试卷复习

1、广东技术师范学院期末考试试卷A卷参考答案及评分标准高等数学上、填空题每题3分，共3分1.如果函数yfx的定义域为，1】，那么flnx的定义域为1，e.3分2.f2，而且f，那么limdx x(3分)3.4 .曲线limxkxx 2ex，那么 k .5 .函数f(x)f(x)6 .如果7.函数f(x)(3分)xlnx在点(1,)处的切线方程是yx 3 x25xsin xJxk,ln (1x2xe6的间断点个数为2 .x),x(3分)f(x) 12x(3分)8 .函数f (x)满2px在x 处连续，的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展式为：3分2n n 2n 1ex nxxn! n 1!p,q,r

2、是常数，且p2x2qxa b2. (3 分)19.定积分 1 x sinxx1dx 的值为 6. (3 分)f (x)dx F(x) C r e xf (e x)dx1 .设，那么足拉格朗日中值公式的11.计算题要求有计算过程，每题5分，共4分lim11 .求极限x 11. (5 分)(1)，F(ex)f x在区间a,b上C . (3 分)lim 丄解: x 1 xlimx 1(3x(x2,x 1)(、3 x x 1)1)( . 3 x x 1)(3分)1 (x 1)( 3 x . x 1)(5分)lim 2 sin 12求极限n2n . 5分lim 2n sinn2nlimnsin刁解:2n

3、5 分x2lim13.求极限x 0 解1 t2 sintdt5分x2 2.1 t sintdt o4x叫IK1x4 sin x2 2x4x31 x4 sin x22x7-125分arcta njx.14.设 y e ，求 dy . 5 分arctan /xarctan/解：dy dee d arctan xarctan xearctan ；x/x1 xdx2 分5 分dyx y15.求由方程xy e 所确定的隐函数的导数dx . 5分 解:方程两边求关于x的导数ddyxy y x dxdx ；/dyxy xe 所以有dx =y1 乎dx3分y1x ydy e yxyy yx1解得 dx x e

4、x y x xy x1 y5 分16.求由参数方程ydy 瑩 凶 解：dx d 3e 七3e t2e所确定的函数的二阶导数2et2 2tt e3e32dx . 5 分-2 分d2y dx2d dydx dxd dy2 2“( e ) dt dx3dx(3e t)d?4 2te33e t4 3te9(5分)x2(arctan x)217.求不定积分1 xx2 (arcta nx)3 解：1 x2dx3-dx.(5 分)x2,(arctan x)32dx21 x1 xdx(1分)1(1 k)dx3(arctan x) d arctan x(3分)x arctan x 1 =41e18.求定积分0(

5、arctan x)4x 1dx(5分)(5分)解:令 x 1t, xt21,dx 2tdt, x 0,t1; x 1,t2(1 分)10edx2(tet |12et 2tdt12 t1 edt)2 t2tetdt12(、2e 2et |12)20 21)e 2(2分)(5分三.综合题6分+10分=16分219.讨论广义积分pdx x(ln x) 的敛散性.(6分)解:IimbJdx x(ln x)p(1p dx2 x(ln x)p2 x(ln x)dxb 1d In x In In xIn x； In In bIn In 21 dx x(ln x)bIimdx2 x(lnx)Jim (In I

6、n bIn In 2)(3分)pdx2 x(ln x)p1 p d In x 2 (Inx)p1p(x)1P|2切)1p(In 2)1 p-(41pdx2 x(ln x)pb 1limpdxb 2 x(ln x)pblim (l nb)1p (l n2)1pb 1 p禽(ln2)1p所以广义积分1dx2 x(ln x)p 当 p1时发散，当p 1时收敛。(6y20.求函数1x的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点(10 分)解：函数的定义域为(,0)(0,令 y 2x 4令x2x3 12x0，得驻点X13 12(1分)当x VV2时，y0，函数单调增加，当x W2时，y ，函数单调减少,所以函数的

7、单调增加区间为心2，单调减少区间为，0和0,31 2 _4 分x1 別2为函数的极小值点5分22x3 1y 230彳令x3x3，得 x216 分2 1y x当x 0或x 1时，y 0，曲线x为凹的，当1 x 0时，y 02 1y x曲线x为凸的，2 1y x 所以曲线x的凹区间为，1和,，凸区间为1,0-8分曲线的拐点为-1，0四、证明题6分U m a 口21.证明当a b 时，a b b证明：令fx Inx，那么fx在区间b,a上连续，在区间b,a内可导,由拉格朗日中值定理有：faf(b) f( )(a b) (b a)(2分)因为f (x)1In ax，所以有：In b 丄(a b) (b a)(3分)因为又a ba即：a五.应用题8分 ,b aInb所以a，所以aa b 1 “(aa(4分)b)(a b)b(6 分)x22.求由曲线y ee与直线X 1所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x轴旋转所成旋转体体积.xxxx解：曲线y e与y e的交点为，1，曲线y e与y e和直线x 1的1交点分别为1，e