22届高三理科数学下期入学考试试卷答案

1、成都七中高 2022 届高三下学期入学考试数学试卷(理)参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B B D A D A D B C C B二、填空题13: 7 14:ì3×4n-2 n ³ 2í1 n =1î15: 2 16: e4三、解答题17、解析:(I)Q (a2 +b2 ) sin(A- B) = (a2 -b2 ) sin(A+ B) a2sin(A - B) -sin(A + B)+b2sin(A - B) +sin(A + B) = 0 a2 (-2 cos Asin B) +b2 (2sin A

2、cos B) = 0 .(2 分) -2 sin2 Acos Asin B + 2 sin2 Bsin Acos B = 0Q 2 sin Asin B ¹ 0, sin Acos A= sin Bcos B , sin 2A= sin 2B , .(4 分) 2A = 2B 或 2A+ 2B = p ,即 A = B ,或pA+ B = (舍去)2 DABC 的形状为等腰三角形. .(6 分)(II)设 AD = x,CD = x,BC = 2x，AB = y由平行四边形性质可得 (2BD)2 + AC2 = 2(AB2 + BC2) ,即16+4x2 = 2(y2 + 4x2)

3、, 2x2 + y2 = 8 .(9 分)令 x = 2 cosq, y = 2 2 sinq ,则周长为 4x + y = 8cosq + 2 2 sinq = 6 2 sin(q +j), tanj = 2 2Qq Î R ,当sin(q +j) =1时,周长的最大值为6 2 . .(12 分)18、解析:(I)取 PB 中点 M ,连接 AM .(1 分)Q ,点 A 在 DPBC 的投影为 DPBC 的外心.AP = AB = ACQ DPBC 为 RtD ,外心为点 M AM DPBC .(3 分)Q AM Ì 平面 PA 平面 APB 平面 PBC . .(5

4、分)(II)由(I)可知 AM DPBC .如图 2,取 PC 的中点 E , BC 的中点 F ,的中点,以 MF 为 x 轴, ME 为 y 轴, MA 为Z 轴,建立如图空间直角坐标系. .(7 分)A(0, 0, 2),B( 2, -1, 0),C( 2,1,0,),P(- 2，1,0,)BC = (0, 2, 0), AC = ( 2,1,- 2),设平面 ABC 的法向量为 n1 = (x, y, z)1设直线CD : x x = p(y + y) . .(8 分)0 0ìx x = p(y + y)0 0当 k 存在时，联立CD 与C :得:í1x = 2py

5、2îx + x 2xx - 2x x + 2py = 0 = 0 = x .(9 分)2C D0 0 02 2ìx x = p(y + y)0 0联立CD 与íx = 2py + m2îx + xE F 2xC :得: x2 - 2x x + 2py - m = 0 = 0 = x .(11 分)2 0 0 02 2x + x = x + x 弦CD 的中点与弦 EF 的中点重合，故| EC |=| DF | ,得证. .(12 分)C D E F21、解析:(I)af ' (x) = +3x2 - 2x -aax +1由题意,aax +1+ 3

6、x - 2x - a ³ 02在1,+¥) 上恒成立 .(1 分)Q ax +1> 0 在1,+¥) 上恒成立 a ³ 0 .(2 分)由题意,a + 3(ax +1)x - 2x(ax +1) - a(ax +1) ³ 0 在1,+¥) 上恒成立2整理,3ax +(3-2a)x -(2 + a ) ³ 0 在1,+¥) 上恒成立 .(3 分)2 2令 g(x) = 3ax2 + (3- 2a)x -(2 + a2)当 a = 0 时,成立.当 a > 0 时,-(3- 2a) -4a -3 -1= &

7、lt; 02×3a 6a g(x) 在1,+¥) 上单调递增. g(1) = -a2 + a +1³ 0 ,故01+ 5< a £ 综上,21+ 5aÎ0, . .(5 分)2b(II)由题意, ln x + (1- x)x = 在 (0,+¥)上有实根.xb = xln x - x + x 在 (0,+¥)上有实根. .(6 分)3 2令 h(x) = xln x - x3 + x2 , h' (x) = ln x -3x2 + 2x +1,发现 h' (1) = 0 .'' -6x

8、+ 2x +12h (x) = = 0 存在x12< x < '' 21, h (x ) = 0,-6x + 2x +1= 0 .0 0 0 0故 h' (x) 在 (0, x ) 单调递增,在h' (x) 在 (0, x ) 单调递增,在0(x ,+¥) 单调递减 .(8 分)0因1x ® h' x ® -¥ , h' (x ) = ln x -3x2 + 2x +1= ln x + x + > 0 , x ® +¥,h' (x) ® -¥

9、0, ( )0 0 0 0 0 02存在 0 < x < x < x =1,h (x ) = h (1) = 0 .' ' 1 0 2 1故 h' (x) 在 (0, x )单调递减,在 (x ,1)单调递增，在 (1,+¥)单调递减 .(10 分)1 1因 x ® 0,h(x) ® 0, h(1) = 0 , x ® +¥,h(x) ® -¥ ,故 h(x) 的值域为 (-¥,03故b 的范围是(-¥,0 .(12 分)22、解析:(I)由题意,C 的普通方程为

10、(x +1)2 + y2 =1, .(2 分)1直线l 的参数方程为ìx = -1+t cosaïíïy = - 3 +t sinaî(t 为参数) .(4 分)ìx = -1+t cosaï(II)联立íy = - 3 +t sinaï + + =(x 1) y 12 2î得: t2 - 2 3 sinat + 2 = 0t2 - 2 3 sinat + 2 = 0 t +t = 2 3 sina, t ×t = 2 .(6 分)A B A BQ 由题意t = 2t t = 2,t

11、=1A B A B sinat +t 3= A B = , 2 3 21cosa = ± .(8 分)21 1x = -1+t cosa = -1± = - , 或B B2 2-323 3y = - 3 +t sina = - 3 + = -B B2 2 4p 7p 点B 的极坐标为(1, ) ( 3, ) 3 6或 . .(10 分)1 1 a +b23、解析(I)Q + =1, =1 a+ b= aba b ab又Qa +b ³ 2 ab, ab ³ 2 ab, ab ³ 4 当且仅当a = b = 2 时等号成立. .(4 分)4(II)要证3ab+ £ 5 +a +b2 2a +b4,只需3ab+ -5 -a -b £ 02 2a +b证4只需证5ab+ -5 -(a +b) £ 02a +b Qa + b = ab4Q只需证5ab+ -5