常微分方程1.1

1、例例 求平面上过点求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标且每点切线斜率为横坐标2倍的倍的曲线所满足的曲线所满足的曲线曲线方程方程.解解: 设所求的曲线方程为).(xfy 由导数的几何意义, 应有,2)( xxf即.2)(2CxCdxxxf又由条件: 曲线过(1,3), 即, 3) 1 (f于是得. 2C故所求的曲线方程为:.22 xy常微分方程课程简介常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、

2、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 学习常微分方程的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和

3、训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 教材及参考资料教材及参考资料教 材：常微分方程，(第三版）（97年国家教委一等奖）， 王高雄等编（中山大学), 高教出版社。参考书目: 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。一、微分方程的发展历史一、微分方程的发展历史v 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的

4、；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 v在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程。v解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中

5、已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式即求解微分方程。 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的

6、发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。v 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。二、微分方程的研究方法二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五种方法研究微分方程的一般五种方法1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常常微分方程的解包括通解和特

7、解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。延展性、解对初值的连续性和可微性问题。3、微分方程解析理论、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式，并引进级数形式，并引进 特殊函数，如，椭圆

8、函数、阿贝尔函数、贝特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析理论。生了、微分方程解析理论。5、微分方程的定性和稳定性理论、微分方程的定性和稳定性理论 1900年，希尔波特提出的年，希尔波特提出的23个问题中的第个问题中的第16个问题之一，至今未解决。个问题之一，至今未解决。4、微分方程的数值解法、微分方程的数值解法第一章第一章 绪论绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领

9、域都有着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最基本概念.1.1 1.1 微分方程模型微分方程模型 微分方程微分方程:联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.例例1 R-L-C电路电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.

10、电路的电路的Kirchhoff第二定律第二定律: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因为 于是得到,dtdQI 这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式. 解解:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零. .)(122dttdeLLCIdtdILRdtId (1.3)22sin(1)sin0(2)2 dvmmgdtdvldtdgdtl 由牛顿第二定理 ，其中，则(1)为

11、例数学摆22F(t)sin( )(3)1sin( )dvmmgvF tdtddgF tdtdtlml若果摆是在粘性介质中摆动，并有外力作用于它， 即 mgoQMAl例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型. 如霍乱、天花、艾滋病、SARS、H5N1病毒等，建立其数学模型，分析其变化规律，防止其蔓延是一项艰巨任务。0)0(),()()(xxtxtkydttdx即0)0(),(xxxnkxdtdx该模型称为SI模型。S易感染者Susceptible，

12、I已感染者Infective。开始时染病人数为,0 x在时刻t的健康人数为),(tyntytx)()(染病人数为 ，则有)(tx 设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例常数为k,有（1.5）（1.4） 对无免疫性的传染病如痢疾、伤风等，病人治愈后会再次被感染。设单位时间治愈率为 ，则方程（1.5）修正为0)0(),()()()(xxtxtxtkydttdx即为0)0(),1()(xxxnkxxxnkxdtdx（1.6）上式称为SIS模型。1为这个传染病的平均传染期，k为整个传染期内每个病人有效接触的平均人数。 对有很强免疫性的传染病如天花、流感等，病人治愈后不会再被感染。

13、 设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者（Removed)，而治愈率 为常数，即)()(tlxdttdr则关系式（1.4），（1.5)改为ntrtytx)()()(和dttdrtxtkydttdx)()()()(l由上面三式消去r(t)得000)0(,)0(,xnyykxydtdyxxlxkxydtdx（1.7）该模型称为SIR模型。1.-()Volterradxax bxydtabcddycydxydt 被捕食-捕食模型: 常数 、 、 、 大于零例例5: 两种生物种群生态模型两种生物种群生态模型分析：把所有鱼分成两类：被食鱼和捕食鱼，它们的总数分别用x(t)和y(t)表示，dx d

14、ydtdt则则 、 分分别别表表示示被被食食鱼鱼和和捕捕食食鱼鱼的的长长率率。-()-dxax bxydtabcddycy dxydt常数 、 、 、 大于零()dxaxbxydtabcddycydxydt常数 、 、 、 大于零2.竞争模型(两种群竞争同一食源): 3.共生模型(两种种群互相促进): 1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数 ,求该曲线所满足的微分方程.2a:),(距分别为的切线的横截距与纵截过点yx.xyyyyx和解:由题目条件有:21()()2yxyxyay ,( , )yxx ys t曲线在该点的切线斜率为 设过曲线的切线的点用表示，. . -,t

15、 yyxs x切线方程为 , x y设为曲线上任意一点， 将某物体放置于空气中, 在时刻0t时, 测得它的温度为,0150 Cu10分钟后测量得温度为 试决定此物.1001Cu体的温度 和时间 的关系.ut例例 物理冷却过程的数学模型物理冷却过程的数学模型Newton 冷却定律冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物

16、理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 t).(tu.dtdu其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.0k注意注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍.utut解:),(auukdtdu（1.2）例例 镭的衰变规律:0,0,.tRt 设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比且已知时 镭元素的量为克 试确定在任意 时该时镭元素的量解解:( ),tR t设 时刻时镭元素的量为,)()(dttdRtR对时间的变化律是由于镭元素的衰变律就:衰变律可得依题目中给出镭元素的,kRdtdR0)0(RR.)(, 0随时间的增加而减少是由于这里tRk :解之得kteRtR0)(即镭元素的存量是指数规律衰减的.(1.1) (1)常常微分方程微分方程: 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方