宋怀波第11讲：图像变换.

1、第第1页页第第3章章 图像变换图像变换 3.1 背景3.2 傅立（里）叶变换和频率域 3.3离散余弦变换3.4 沃尔什变换3.5 小波变换小波变换第第2页页第第3章章 图像变换图像变换3.5.1 小波介绍小波介绍3.5.1.1 小波简史小波简史3.5.1.2 小波概念小波概念3.5.1.3 小波分析小波分析3.5.1.4 小波定义小波定义3.5.2 哈尔函数哈尔函数3.5.2.1 哈尔基函数哈尔基函数3.5.2.2 哈尔小波函数哈尔小波函数3.5.2.3 函数的规范化函数的规范化3.5.2.4 哈尔基的结构哈尔基的结构3.5.3 哈尔小波变换哈尔小波变换3.5.4 规范化算法规范化算法3.5.

2、5 二维哈尔小波变换二维哈尔小波变换3.5.5.1 二维小波变换举例二维小波变换举例3.5.5.2 二维小波变换方法二维小波变换方法第第3页页第第3章章 图像变换图像变换小波小波(wavelet)是什么是什么 在在有限时间有限时间范围内变化且其范围内变化且其平均值为零平均值为零的数学函数的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内，它的平均值等于零在有限的时间范围内，它的平均值等于零第第4页页第第3章章 图像变换图像变换持续宽度相同振荡波波与小波的差异：波与小波的差异：第第5页页第第3章章 图像变换图像变换 部分小波部分小波 许多数缩

3、放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如：许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如：pMoret小波函数是小波函数是Grossmann和和Morlet在在1984年开发的年开发的pdb6缩放函数和缩放函数和db6小波函数是小波函数是Daubechies开发的开发的图3.5-1 部分小波第第6页页第第3章章 图像变换图像变换 1807: Joseph Fourier 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式余弦函数之和，叫做傅立叶展开式小波简史小波简史 小波变换小波变换 (wavelet transform)是

4、什么是什么 老课题：函数的表示方法老课题：函数的表示方法 新方法：新方法：FourierHaarwavelet transform 第第7页页第第3章章 图像变换图像变换p只有频率分辨率而没有时间分辨率；只有频率分辨率而没有时间分辨率；p可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候些频率的信号出现在什么时候第第8页页第第3章章 图像变换图像变换 1909: Alfred Haar发现并使用了小波，后来被命名为哈尔发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波小波第第9页页第第3章章 图像变换图像变换 1980：Morlet2

5、0世纪世纪70年代，法国地球物理学家年代，法国地球物理学家Morlet提出提出小波变换的概念。小波变换的概念。 20世纪世纪80年代年代, 开发了连续小波变换开发了连续小波变换 1986：Y.Meyer法国科学家法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数衰减性的光滑函数，用于分析函数用缩放与平移均为用缩放与平移均为2 j(j0的整数的整数)的倍数构造了的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展空间的规范正交基，使小波分析得到发展第第10页页第第3章章 图像变换图像变换 1988：Mallat算法算法Mallat提出多分辨率

6、概念，并提出了正交小提出多分辨率概念，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法算法其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位叶分析中的地位第第11页页第第3章章 图像变换图像变换 小波理论与工程应用小波理论与工程应用Daubechies最先揭示了最先揭示了小波变换和滤波器组小波变换和滤波器组间的间的内在关系，使离散小波分析变成为现实内在关系，使离散小波分析变成为现实Coifman和和Wickerhauser等著名科学家在把小波等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献理论引入到工程应用方

7、面做出了极其重要贡献自从自从Mallat和和Daubechies发现滤波器组与小波基发现滤波器组与小波基函数有密切关系后，小波分析在信号处理中得到函数有密切关系后，小波分析在信号处理中得到极其广泛的应用极其广泛的应用第第12页页第第3章章 图像变换图像变换小波分析小波分析/小波变换小波变换目的：目的：获得时间和频率域之间的相互关系获得时间和频率域之间的相互关系 小波变换小波变换通过平移母小波获得信号的时间信息通过平移母小波获得信号的时间信息通过缩放母小波的尺度获得信号的频率特通过缩放母小波的尺度获得信号的频率特性性第第13页页第第3章章 图像变换图像变换连续小波变换连续小波变换 傅立叶分析傅立

8、叶分析 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数 小波分析小波分析 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一个信号 一系列小波可用作表示一些函数的基函数一系列小波可用作表示一些函数的基函数 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波代替傅立叶变换用的正弦波 用不规则的小波分析变化

9、激烈的信号比用平滑的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好第第14页页第第3章章 图像变换图像变换CWT的变换过程示例，可分的变换过程示例，可分如下如下5步步 小波小波 (t)和原始信号和原始信号f(t)的的开始部分进行比较开始部分进行比较 计算系数计算系数C该部分信该部分信号与小波的近似程度；号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相值越高表示信号与小波相似程度越高似程度越高 小波右移小波右移k得到的小波函数得到的小波函数为为 (t-k) ，然后重复步骤，然后重复步骤1和和2，直到信号结束直到信

10、号结束 扩展小波，如扩展一倍，扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为得到的小波函数为 (t/2) 1. 重复步骤重复步骤14 图3.5-3 连续小波变换的过程第第15页页第第3章章 图像变换图像变换fb小波变换的粗略解释 第第16页页第第3章章 图像变换图像变换尺度a较大距离远视野宽概貌观察尺度a较小距离近视野窄细节观察分析频率低分析频率高由粗到精由粗到精多分辨分析行方向行方向列列方方向向第第18页页第第3章章 图像变换图像变换不同a值下小波分析区间的变化不同a值下分析小波频率范围的变化4a2a3a4aaa2a3a4a0第第19页页第第3章章 图像变换图像变换 连续小波变换用下式表示连续小波变

11、换用下式表示(,)( ) (, )C scale positionf tscale position t dt该式含义：该式含义：信号信号f(t)与被缩放和平移的小波函数与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在的整个期间里求和之积在信号存在的整个期间里求和CWT变换的结果是许多小波系数变换的结果是许多小波系数C ，这些系数，这些系数是缩放因子和位置的函数是缩放因子和位置的函数离散小波变换离散小波变换 类似连续小波变换类似连续小波变换第第20页页第第3章章 图像变换图像变换 执行执行DWT的有效方法的有效方法用用Mallat开发的滤波器，称为开发的滤波器，称为Mallat算法算法DWT的概念见图的

12、概念见图3.5-6。S表示输入信号；通过表示输入信号；通过两个互补的滤波器产生两个互补的滤波器产生A和和D两个信号两个信号图3.5-6 双通道滤波过程pA表示信号的近似值表示信号的近似值，大的缩放因子产生，大的缩放因子产生的系数，表示信号的的系数，表示信号的低频分量低频分量pD表示信号的细节值表示信号的细节值，小的缩放因子产生，小的缩放因子产生的系数，表示信号的的系数，表示信号的高频分量高频分量第第21页页第第3章章 图像变换图像变换正变换正变换 依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为图像都被分解为4 4个四分之一个四分之一大小的图像。大小的图像。第第23页页第第3章章 图像变换图