结构力学-第七章-力矩分配法

1、3 1结构力学结构力学周周 强强 土木工程学院风工程试验研究中心土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：第七章第七章 力矩分配法力矩分配法 7-1 引言引言7-2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 7-4 力矩分配法与位移法联合应用力矩分配法与位移法联合应用7-1 引言引言 转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关

2、。及远端的支承情况有关。 一、力矩分配法中几个概念一、力矩分配法中几个概念1. 转动刚度转动刚度（劲度系数）（劲度系数）lABEIM = iABM = iB A 4 21iSAB4转动刚度转动刚度7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 lABEIM =BAM = iAB301iSAB3转动刚度转动刚度iSAB转动刚度转动刚度lABEIM =ABM =-iAB1ilABEIM =AB10转动刚度转动刚度思考思考：BA0ABS?ABS7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 利用结点利用结点B的力矩平衡条件的力矩平衡条件MB=0，得，得图示连续梁，力偶图示连续梁，力偶MB使结点使

3、结点B产生转角产生转角 B 。BBBABAiSM4BBBCBCiSM3(a)取结点取结点B为隔离体为隔离体0BBABCMMMBBCBABCBABSSMMM)()(BBACM BM BM BCM BAB2分配系数分配系数杆端弯矩为杆端弯矩为7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 S(B) 为汇交于结点为汇交于结点B的各杆件在的各杆件在B端的转动刚度之和。端的转动刚度之和。 近端弯矩近端弯矩MBA、MBC为为)(BBBCBABBSMSSM转角为转角为: :BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(可见：各杆可见：各杆B B 端的弯矩与各杆端的弯矩

4、与各杆B B 端的转动刚度成正比。端的转动刚度成正比。7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 BA、BC 分别称为各杆近端弯矩的分配系数。分别称为各杆近端弯矩的分配系数。)(BBABASS)(BBCBCSS令令 ,近端弯矩近端弯矩BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(BBCBCBBABAMMMM称为称为分配分配 弯矩弯矩。可以写成可以写成7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 思考：思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之和和(B) 应等于多少？应等于多少？BAABBAABMCMM21BAC

5、BCBMCM 0ABBAABMMC3传递系数传递系数远端弯矩（传递弯矩）远端弯矩（传递弯矩） 称为称为由由A 端向端向B 端的传递系数端的传递系数。上述计算过程可归纳为：上述计算过程可归纳为： 结点结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。BBACM B7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 与远端支承与远端支承情况有关情况有关ABi14i2iABi13iABi1i7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 例例7-1 结构的结构的A端、端、B端，端，C端

6、的支撑及各杆刚度如图端的支撑及各杆刚度如图所示，求所示，求SBA、SBC、SBD及及CBA、CBC、CBD。 解解:当结点当结点B转动时，转动时，A支座只阻止支座只阻止A端发生线位移，相端发生线位移，相当于固定铰，故当于固定铰，故 0,3BABAClEIS21,4BCBCClEISC支座既阻止支座既阻止C 端的线位移，也可以阻止端的线位移，也可以阻止C 端转动，其作端转动，其作用与固定端一样，因此用与固定端一样，因此(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCEIEIEI(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCEIEIEID支座不能阻止支座不能阻止D点垂直点垂直BD轴的转动，所以轴

7、的转动，所以 0,0BDBDCS7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 例例7-2 图示梁的图示梁的AC为刚性杆段，为刚性杆段，CB杆段杆段EI= =常数，求常数，求SAB及及CAB AB28C4B2SABS28108iiiiii=1ACEI=llB il/l= iBCil当666Aa)CEI=llB il/l= iBCi666当lc)AB28=1C4B2SABS28108iiiiii 解解: 当当A端转角端转角=1时，截面时，截面C 有竖向位移有竖向位移 =l=l及转角及转角=1 。CB段的杆端弯矩为段的杆端弯矩为iMCB 10iMBC 8iMSABAB 28 72288ABC 梁

8、梁AB弯矩图是直线变化的，弯矩图是直线变化的，按直线比例可得按直线比例可得CEI= il/l= iBCil当666llAB7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 解解: 当当A 转角转角=1时，因为时，因为AC 刚性转动，刚性转动，C 点向下的点向下的位移位移=l=l ，所以，所以EI=lll=13 iCABBCASAB3 i/l=3 iACBiliSAB33133iiCAB 例例7-3 图示梁的图示梁的AC 杆为刚性杆段，杆为刚性杆段，CB 杆段杆段EI=常数。求常数。求SAB ,CAB。EI=lll=1CAa)BBCASAB3 i/l=3 iACB3 i7-2 力矩分配法力矩分配

9、法的基本原理的基本原理 解解: :当当A 端转动端转动=1时，因时，因AB杆是刚性转动，所以杆是刚性转动，所以B 产产生向下的竖向位移生向下的竖向位移=l=l ，弹簧反力，弹簧反力FyB=k=EI/l2 。则。则 例例7-4 图示梁图示梁ABAB为刚性，为刚性，B支座为弹性支承，其弹性支座为弹性支承，其弹性刚度刚度 k=EI/l3 , ,求求SAB , ,CAB。ilEIlFSyBAB 00iCABlk=3EI/lAB =kyBF AB=l=1BASABEI/lF yB7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 4不平衡力矩不平衡力矩固定状态固定状态:ABm10EImkNq/12 Cm1

10、0EIABmkNq/12 CB uBM12/2qluBM-不平衡力矩不平衡力矩，顺时针为正顺时针为正固端弯矩固端弯矩-荷载引起的荷载引起的单跨梁两端的杆端弯矩，单跨梁两端的杆端弯矩，绕杆端顺时针为正。绕杆端顺时针为正。2/12100FABMqlkN m 100FBAMkN m0FFBCCBMM7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 ABCuBMB 放松状态放松状态: 需借助需借助分配系数分配系数, 传递系数传递系数等概念求解等概念求解BuBMFBAMFBCMFBCFBAuBMMM mkN .100 7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 6060ABmkN.40CmkN /

11、20mkNMuB.1004060 60mkN.40uBMABm4EImkN.40Cm6EImkN /20例例. .求不平衡求不平衡力矩力矩7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 二、力矩分配法基本思想二、力矩分配法基本思想以图示具体例子加以说明以图示具体例子加以说明AB1l2l1EI2EICMMAB1l2l111/lEIi 222/lEIi C211134iir 11rC14i23i01111pRZr7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 )34/(211iiMZ MR P1P1RCM)34/(4211iiiMMCA )34/(3212iiiMMCB 114/2iiMMCA

12、AC 23/0iMMCBBC 0FM7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 uFF1)(CCBCApMMMRMFCACACAMMM FCBCBCBMMM FACCACAACMCMM FBCCBCBBCMCMM 固端弯矩分配弯矩CiM固端弯矩传递弯矩iCM7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 例例. 计算图示刚架计算图示刚架, 作弯矩图作弯矩图iSA41 解解:2/13441 iiiiA AB1Clql2CEI qlliSB31 iSC 18/33431 iiiiB 8/1341 iiiiC 8/2qlql2q4/2ql4/

13、2qlq确定分配系数确定分配系数确定固端弯矩确定固端弯矩7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 000 FM分配分配传递传递M结点结点杆端杆端BA1CB1A11A1B1CC11/2 3/8 1/8-1/4 1/41/8163 649 643 323 064303211 161641 643 643AB1Clql2CEI qll6416433211161）图（2qlM7-2 力矩分配法力矩分配法的基本原理的基本原理 解解 （1 1）计算结点）计算结点B处各杆端的分配系数处各杆端的分配系数由由SBA=4i ， SBC=3i 有分配系数为有分配系数为ABC9 kN/m80 kN6 m3 m

14、3 m74344iiiSS)B(BABA73343iiiSS)B(BCBC一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结点结点B的不平衡力矩为的不平衡力矩为 （2）计算固端弯矩（查表计算固端弯矩（查表8-1） mkN2712691222qlMFABmkN2712691222qlMFBAmkN90166803163FlMFBC0FBCMmkN63FBCFBAuBMMM（3）进行弯矩分配与传递进行弯矩分配与传递 3 m3

15、 m6 m80 kN9 kN/mABC7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架分配系数分配系数47 37 固端弯矩固端弯矩27 -27-900分配与传递分配与传递36 27 最后弯矩最后弯矩180注意：结点注意：结点B应满足平衡条件。应满足平衡条件。06363BM80 kN9 kN/mABC将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。-963-6307-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续梁的弯矩图。梁的弯

16、矩图。 思考：思考：用力矩分配法计算的只有一个刚结点结用力矩分配法计算的只有一个刚结点结构的结果是精确解吗？构的结果是精确解吗？12088.596340.5图(kN m)M3 m3 m6 m80 kN9 kN/mABCmkN9ABMmkN63BCMmkN63BAM7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 二、具有多个结点转角的多跨连续梁二、具有多个结点转角的多跨连续梁1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩；先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点仍暂时固定，这样把各刚结

17、点的不平衡其他结点仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到可力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。略去时为止。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。 只需依次对各结点使用上述方法便可求解。只需依次对各结点使用上述方法便可求解。步骤步骤:3. 最后累加固端、分配和传递得结果。最后累加固端、分配和传递得结果。7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架6 m6 m12 m25 kN/m12 m0123400 kNEIEIEI21444) 1 (1010iiiSS21444) 1 (121

18、2iiiSS74344)2(2121iiiSS73343)2(2323iiiSS 例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=常数常数 解解: (1) 首先引用刚臂将两个刚结点首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。固定。(2)计算结点计算结点1、2处各杆端的分配系数。处各杆端的分配系数。 结点结点1的分配系数为的分配系数为结点结点2的分配系数为的分配系数为7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架mkN 300121225122201qlMFmkN 300121225122210qlMFmkN 600812400

19、812FlMFmkN 600812400821FlMF03223FFMMmkN 300600)(300F12F10u1MMM(3) 计算固端弯矩计算固端弯矩(4) 计算结点的不平衡力矩计算结点的不平衡力矩结点结点1的不平衡力矩为的不平衡力矩为结点结点2的不平衡力矩为的不平衡力矩为12 m25 kN/m400 kNEIEIEI21036 m12 m6 mmkN 600MMF23F212uM (5) 按轮流放松结点，按轮流放松结点，进行弯矩分配与传递。进行弯矩分配与传递。7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架1/2 1/24/7 3/72310-600-300

20、-193+300+60000+150 +150-386 -2890+75+96.5+96.5+48.2+75+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9+6.9+3.4+3.4-1.5-1+0.5-1.9+0.5+0.2+0.2-0.1-0.1+553.9-553.9+311.3-311.3-173.20固 端 弯 矩MF结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递最 后 弯 矩1/2 1/24/73/7固端弯矩固端弯矩MF -300+300

21、 -600+60000结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递最后弯矩最后弯矩+150 +150+75+75-386 -2890-193+96.5 +96.5+48.2+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9 +6.9+3.4+3.4-1.9 -1.5-1.0+0.5 +0.5+0.2+0.2-0.1 -0.1-173.2+553.9 -553.9+311.3 -311.307-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连

22、续梁和无侧移刚架 (6) 计算杆端最后弯矩最后，将各杆端的固端弯矩计算杆端最后弯矩最后，将各杆端的固端弯矩和历次所得到的分配弯矩和传递弯矩总和加起来，便和历次所得到的分配弯矩和传递弯矩总和加起来，便得到各杆端的最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩作得到各杆端的最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩作弯矩图弯矩图( (略略) )。本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架例例： 用力矩分配法做图示结构的弯矩图。各杆用力矩分配法做图示结构的弯矩图。各杆EI=常数。常数。4kN/m4m

23、6m6kN/m8m6kN/m6m4kN/mBD 此结构有两个对称轴，根据对称轴处的变形情况可此结构有两个对称轴，根据对称轴处的变形情况可简化为取简化为取1/4结构进行计算。原结构杆件结构进行计算。原结构杆件DB的弯矩可由静力的弯矩可由静力平衡方程求出。平衡方程求出。 解解: :7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架6 m4 m2 m6 kN/mi=31.511DACi=i=4 . 05 . 7335 . 13333111111111iiiissscADDCADDDS2 . 05 . 7/5 . 111111sssCADAAS0.43/7.511CsssCA

24、DCS1111, 1, 0111CADCCCmkN 2786682F/21qlMD1. 计算结点计算结点“1”的分配系数的分配系数 令令EI=6 传递系数传递系数2. 求固端弯矩求固端弯矩mkNF324363221qlMAmkNF164666221qlMA7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 4. 将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩的结果相加得将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩的结果相加得最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩利用叠加法作出刚最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩利用叠加法作出刚架的弯矩图。架的弯矩图。-17-21+27+20.4+29-32+1-31+2-

25、20.40.2-1-160D1C1ADAC0+2(kN m )8313129172M291728312931293. 进行分配、传递进行分配、传递 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架一、力矩分配法的基本思路一、力矩分配法的基本思路 力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即把结点位移约束住）和结点位移单独作

26、用下把结点位移约束住）和结点位移单独作用下 （放松约束，（放松约束，使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。 但二者的不同之处在于但二者的不同之处在于用位移法计算时，我们把用位移法计算时，我们把结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。也应当是由这几次变形各自

27、产生的内力相叠加。 本章总结本章总结例：例：图示结构中各杆图示结构中各杆EI 相同，求分配系数相同，求分配系数BA 。 BCAD3m4m4m解：解：43EISBD54EISBA0BCS3116BA注意：本题需正确求解注意：本题需正确求解SBC 。，所以所以本章总结本章总结A(a)FBCFal/2ll/2FaMB(b)1M2M=FaF8FM （2）结点有外力偶的结构。）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，当结点上有外力偶时，为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求中力偶和固端弯

28、矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出不平衡力矩，出不平衡力矩，不平衡不平衡弯矩以逆时针旋转为正。弯矩以逆时针旋转为正。1. 1. 几种情形下约束力矩的计算几种情形下约束力矩的计算 （1）带悬臂的结构。）带悬臂的结构。求图求图a 所示连续梁结点所示连续梁结点B 的不的不平衡力矩，可将悬臂端的平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座等效平移到支座C上（图上（图b），），杆杆BC 的的C 端弯矩为端弯矩为M，B 端的传递弯矩为端的传递弯矩为M/2，得，得B 端的端的约束力矩约束力矩MB=Fl/8+M/2。本章总结本章总结 例：例：求图求图a所示所示连续梁结点连续梁结点B的不平衡力矩的不平衡力矩。

29、163122FlqlMMB解解：由图：由图b b可得结点可得结点B的的不平衡力矩不平衡力矩为为ll/2l/2(a)qACBMF12ql2MBM316 FlMB(b) Fl1632ql12本章总结本章总结（3）支座沉降）支座沉降 例：例：求图求图a所示所示连续梁有支座沉降时，结点连续梁有支座沉降时，结点C 的约束的约束力矩。力矩。 =13DCEIl3l22BEI(a)A36CMEI33l22l22(b)EI23322236lEIlEIMC解：解：本章总结本章总结 (1) 思路一致。思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他

30、因素，然后再即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。 (2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的位移法的最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修正到精确值。正到精确值。二、力矩分配法与位移法的比较二、力矩分配法与位