随机过程：第1章期权定价的二叉树无套利定价模型

1、第一章第一章 二叉树无套利定价模型二叉树无套利定价模型内容提要内容提要 本章利用本章利用二叉树模型二叉树模型讨论讨论无套利期权定无套利期权定价价方法，借此引入方法，借此引入风险中性定价风险中性定价的概念，的概念，为后面引入相关随机过程的相关概念为后面引入相关随机过程的相关概念（条件期望、鞅）（条件期望、鞅）做铺垫。做铺垫。2022-3-15CopyrightPei Zhang 20152第一节第一节 单时段二叉树模型单时段二叉树模型2022-3-15CopyrightPei Zhang 20153（股票价格）0S01)(uSHS01)(dSTS0时刻时刻（已知）（已知）1时刻时刻（随机的）（随

2、机的）假设出现正面（假设出现正面（H）的概率为）的概率为P，出现反面（，出现反面（T）的概率为）的概率为q=1-p无风险利率无风险利率r，无套利要求无套利要求0d1+ru01)(SHSu（上升因子）01)(STSd（下降因子）du 套利：一个交易策略赔钱的概率为零，套利：一个交易策略赔钱的概率为零，赚钱的概率为正值赚钱的概率为正值 或者，以零成本开始在股票和货币市场或者，以零成本开始在股票和货币市场进行交易并以正概率赚钱，以零概率赔进行交易并以正概率赚钱，以零概率赔钱的交易策略。钱的交易策略。2022-3-15CopyrightPei Zhang 20154 考虑欧式看涨期权，敲定价格考虑欧式

3、看涨期权，敲定价格K，S1（T）KS1（H）2022-3-15CopyrightPei Zhang 20155?期权价格KHS)(10例例1.1 考虑下图中的单步二叉树模型，考虑下图中的单步二叉树模型，S（0）=4，u=2, d=1/2, r=1/4，则，则S1（H）=8，S1（T）=2，欧式期权敲定价格，欧式期权敲定价格K=5。2022-3-15CopyrightPei Zhang 2015640S8)(1HS2)(1TS 初始财富初始财富X0=1.2，在，在0时刻买入时刻买入0=1/2份股份股票，需借入额外的票，需借入额外的0.80，0时刻的现金头寸时刻的现金头寸为为X0-0S0=-0.8

4、0。在。在1时刻现金头寸为（时刻现金头寸为（1+r）（ X0-0S0 ）=-1期权在期权在0时刻的价格必须为时刻的价格必须为1.22022-3-15CopyrightPei Zhang 201570时刻时刻1时刻时刻现金头寸现金头寸X0-0S0=-0.80（1+r）（）（ X0-0S0 ）=-1股票股票24或或1资产组合价值资产组合价值1.23或或0前提假设前提假设 股票可以无限细分股票可以无限细分 投资与借贷利率相同投资与借贷利率相同 股票的买卖价格一致股票的买卖价格一致 股票价格在下一时段只有两个可能值股票价格在下一时段只有两个可能值2022-3-15CopyrightPei Zhang

5、20158定义衍生证券定义衍生证券2022-3-15CopyrightPei Zhang 20159?0V衍生证券价格）（HV1）（TV1 初始财富初始财富X0，在，在0时刻买入时刻买入0份股票，现金份股票，现金头寸为头寸为X0-0S0。在。在1时刻，资产组合价值为：时刻，资产组合价值为：2022-3-15CopyrightPei Zhang 2015100时刻时刻1时刻时刻现金头寸X0-0S0股票0S0资产组合价值？0100000101)1 ()1 ()(1 (SrSXrSXrSX)(1 (000SXr10S0100)1 ()1 (SrSXr)()(11110TVqHVprVdudrp1du

6、ruq1风险中性概率风险中性概率（投资者不为（投资者不为承担风险而希承担风险而希望补偿）望补偿）风险中性定价公式风险中性定价公式2022-3-15CopyrightPei Zhang 201511第二节第二节 多步二叉树模型多步二叉树模型 2022-3-15CopyrightPei Zhang 2015120S01)(uSHS01)(dSTS022)(SuHHS022)()(udSTHSHTS022)(SdTTS例例1.2 考虑具体的三步模型，其中考虑具体的三步模型，其中S0=4,u=2,d=1/2。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201513482164132825

7、. 0在时刻在时刻2以以K美元买入美元买入1份份股票的欧式看涨期权股票的欧式看涨期权三个随机过程三个随机过程 0，1 X0，X1，X2 V0，V1，V2 因为它们都是依赖时间的随机变量。因为它们都是依赖时间的随机变量。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201514 可以推广到多时段二叉树模型中的复制可以推广到多时段二叉树模型中的复制（书中定理（书中定理1.2.2）2022-3-15CopyrightPei Zhang 201515)()(11)(21121121TVqHVprVnnnnnn重要结论重要结论 在完全市场中，任意衍生证券都可以通在完全市场中，任意衍生证券都可以通过在原生资产（股票）和货币市场上的过在原生资产（股票）和货币市场上的交易进行复制，都有唯一的无套利价格。交易进行复制，都有唯一的无套利价格。2022-3-15CopyrightPei Zhang 201516例例1.32022-3-15CopyrightPei Zhang 201517482164132825 . 0r=1/42/1 qp3303maxSSVnn回望期权本章小结本章小结 在风险中性概率下，无论如何投资，在风险中性概率下，无论如何投资，资产组合的平均回报率总是资产组合的平均回报率总是r r。在真。在真实概率下，资产组合的平均回报率依实概率下，资产组合的平均回报率依赖于资