常微分方程：3-4常系数齐线性微分方程组

1、 目录 上页 下页 返回 结束3.4 常系数齐次线性微分方程组常系数齐次线性微分方程组本节研究常系数齐次线性微分方程组本节研究常系数齐次线性微分方程组解的情况，特别是方程解的情况，特别是方程（1 1）基本解组的情形，）基本解组的情形，Axx （1 1）即寻找即寻找n n个线性无关的解个线性无关的解),(,),(),(21txtxtxn这这里里为常数矩阵，所以为常数矩阵，所以 nnijaA)(A在在 ),(上连续，进而，方程组（上连续，进而，方程组（1 1）的解在区间）的解在区间),(上是存在唯一的上是存在唯一的. . 目录 上页 下页 返回 结束一一 系数矩阵系数矩阵A A有单特征根时的解有单

2、特征根时的解 下面先研究矩阵下面先研究矩阵A A有有n n个不同特征根的情况，个不同特征根的情况，此时，由线性代数知识，一定存在一个非奇异此时，由线性代数知识，一定存在一个非奇异矩阵矩阵AMMD1M，使，使是对角矩阵，即是对角矩阵，即nAMMD000000211（2 2） 目录 上页 下页 返回 结束这里这里), 2, 1(nii是矩阵是矩阵A A的特征根的特征根. .作线性代换作线性代换,Myx 并代入方程（并代入方程（1 1）则可得则可得DyAMyMy1（3 3）写成纯量形式，可得方程组写成纯量形式，可得方程组nnnydtdyydtdyydtdy,222111积分上面各个方程得（积分上面各

3、个方程得（3 3）的解为）的解为 目录 上页 下页 返回 结束tnnttnecyecyecy,212211因此方程（因此方程（3 3）通解为）通解为1212100010001ntttnycecece （4.4.44.4.4）另外，由（另外，由（2 2）得）得 目录 上页 下页 返回 结束nMAM00000021记记()ijn nMm，则，则nnnnnnnmmmmmmmmm21222122121111,（5 5） 目录 上页 下页 返回 结束对应的特征向量，对应的特征向量，为矩阵为矩阵A A的特征根的特征根n,21xMy把（把（4 4）代入）代入可得方程组（可得方程组（1 1）iiiA即即的基解

4、矩阵为的基解矩阵为),()(2121tnttneeet因此，（因此，（1 1）的通解为）的通解为tnnttnecececx212211 因此，求解方程组因此，求解方程组(1)(1)的关键在于求的关键在于求矩矩阵阵A的特征根的特征根i及其特征向量及其特征向量i 目录 上页 下页 返回 结束例例1 1 求解方程组求解方程组xx1236解解 先求矩阵先求矩阵A A的特征根的特征根012712362因此，矩阵因此，矩阵A A的特征根为的特征根为4, 321对对1可求得其特征向量可求得其特征向量.) 1 , 1 (1T对对2也可求也可求 目录 上页 下页 返回 结束得其相应的特征向量为得其相应的特征向量

5、为.)2 , 3(2T因此，方程组的通解为因此，方程组的通解为ttececx42312311定理定理1 1 设矩阵设矩阵A A有有n n个不同的特征根个不同的特征根 n,21121122( )ntttnnx tcecece组（组（1 1）的通解为）的通解为且其相对应的特征向量为且其相对应的特征向量为n,21，则方程，则方程 目录 上页 下页 返回 结束例例2 2 求解方程组求解方程组xx11212410617解解 该方程对应的矩阵该方程对应的矩阵A A的特征根满足的特征根满足0)5)(3)(2(11212410617因此，因此，A A的特征根为的特征根为5, 3, 2221 目录 上页 下页

6、返回 结束对特征根对特征根, 21其相对应的特征向量其相对应的特征向量1满足满足11111212410617由此可求得特征向量由此可求得特征向量.) 1, 1, 1 (1T同理，可同理，可求得特征根求得特征根32,对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为,) 1, 2, 1 (2T.)2, 6, 3(3T因此，线性因此，线性齐次方程组的通解为齐次方程组的通解为 目录 上页 下页 返回 结束tttecececx533221263121111若矩阵若矩阵A A的特征根具有复特征根的情形，这时方的特征根具有复特征根的情形，这时方程（程（1 1）就会出现实变数复值解）就会出现实变数复值解. .通常希望

7、通常希望求出方程组（求出方程组（1 1）的）的n n个实的线性无关的实值个实的线性无关的实值解，可由下述方法实现解，可由下述方法实现. . 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 2 2 若实系数线性齐次方程组（若实系数线性齐次方程组（1 1）有）有复值解复值解( )( )( )x tu tiv t则其实部则其实部 和虚部和虚部( )u t都是（都是（1 1）的解）的解. .( )v t证明证明 因为因为( )( )( )x tu tiv t是方程组（是方程组（1 1）的解，所以有的解，所以有)()()()()()(tivtutAdttdvidttdudttdx)()()()(tvtiAtutA

8、由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等， 目录 上页 下页 返回 结束所以有所以有)()()(),()()(tvtAdttdvtutAdttdu即即和和( )u t是方程组（是方程组（1 1）的解）的解. .( )v t实矩阵实矩阵A A有复特征根一定共轭成对出现，即如果有复特征根一定共轭成对出现，即如果iba是特征根，则共轭复数是特征根，则共轭复数iba也也是特征根，是特征根，对应的特征向量也与对应的特征向量也与对应的特征对应的特征向量共轭，因此方程组（向量共轭，因此方程组（1 1）出现一对）出现一对共轭共轭的复值解的复值解. . 目录 上页

9、下页 返回 结束例例3 3 求解方程组求解方程组xx1251解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为0912512故有特征根故有特征根ii3,321且是共轭的且是共轭的. .i 31对应的特征向量对应的特征向量T),(21满足方程满足方程 目录 上页 下页 返回 结束05)31 (21aai取取51则则得得,312iTi)31 , 5(是是1对应的特征向量，因此原微分方程组有解对应的特征向量，因此原微分方程组有解itititeieeitx333)31 (5315)()3cos33(sin3sin33cos3sin53cos5ttitttittttittt3cos33sin3sin5

10、3sin33cos3cos5 目录 上页 下页 返回 结束故故ttttvttttu3cos33sin3sin5)(,3sin33cos3cos5)(且且和和( )u t是原方程的两个线性无关解，故是原方程的两个线性无关解，故( )v t原方程组的通解为原方程组的通解为tttctttctx3cos33sin3sin53sin33cos3cos5)(21 目录 上页 下页 返回 结束例例4 4 求解方程组求解方程组解解 该方程组的系数矩该方程组的系数矩阵阵321332123211942105520105xxxdtdxxxxdtdxxxxdtdx 目录 上页 下页 返回 结束942105520105

11、A其特征方程为其特征方程为i2, 53 , 21特征根为特征根为51对应的特征向量对应的特征向量T),(3121111可可0)54)(5()det(2EA由下面的方程求出由下面的方程求出 目录 上页 下页 返回 结束0442010502010103121113111312111由此得由此得021，取，取及及31112131，得，得211. .故有解故有解tteetx511102)(1 目录 上页 下页 返回 结束对对,22i相应的特征向量相应的特征向量T),(3222122满足方程组满足方程组0)7(42010)3(502010)7(322212322212322212iii即有即有22322

12、212)3(5214,324iiii 目录 上页 下页 返回 结束取取,51522i得得.214,10203212ii故原方程有复值解故原方程有复值解)sin(cos21451510202145151020)(2)2(titeiiieiiitttitettittttittttitt2)sin14cos2(sin2cos14)cos5sin15(sin5cos15)sin20cos10(sin10cos20 目录 上页 下页 返回 结束取取)(t的实部和虚部，分别得原方程的两个线的实部和虚部，分别得原方程的两个线ttetttttttxetttttttx2322sin14cos2cos5sin15

13、sin20cos10)(sin2cos14sin5cos15sin10cos20)(性无关解性无关解 目录 上页 下页 返回 结束故原方程组的通解为故原方程组的通解为)()()()(332211txctxctxctx 目录 上页 下页 返回 结束二二 系数矩阵系数矩阵A A有重特征根时的解有重特征根时的解 现在考虑矩阵现在考虑矩阵A A有重特征根时，方程有重特征根时，方程（1 1）的特征方程的特征方程的通解求法的通解求法. .假设假设矩阵矩阵A A有有,1即即A A重特征根重特征根k0)det( EA（6 6）有一个有一个k重特征根重特征根.1若若k重特征根重特征根1对应的线性对应的线性无关特

14、征向量有无关特征向量有k个，分别为个，分别为,21k则由前段则由前段讨论知，方程讨论知，方程（1 1）有）有k个线性无关的解个线性无关的解 目录 上页 下页 返回 结束,2121tkttkeee若若k重特征根重特征根1对应对应的线性无关的特征向量个数小于的线性无关的特征向量个数小于k，则求解比较，则求解比较困难，本节给出求解此类问题的几个例子困难，本节给出求解此类问题的几个例子. .例例5 5 验证方程验证方程不存在形如不存在形如ttee2121,的基本解组，这里的基本解组，这里xAxx942511（7 7）)2 , 1( ii是（是（7 7）的系数矩阵）的系数矩阵A A的特征根的特征根. .

15、 目录 上页 下页 返回 结束解解 矩阵矩阵A A对应的特征多项式为对应的特征多项式为2) 1(100)9)(11(942511因此因此1是矩阵是矩阵A A仅有的特征根，对仅有的特征根，对1相应相应的特征向量的特征向量T),(21满足方程满足方程. 0104 , 025102121因此因此,2521这里这里2是任意的是任意的. .这样矩阵这样矩阵A A线线性性无关的特征向量仅有无关的特征向量仅有,)2 , 5(T即矩阵即矩阵A A不存在不存在 目录 上页 下页 返回 结束两个线性无关的特征向两个线性无关的特征向量量.,21从例从例5 5可以看出，利用特征向量，只能找到方可以看出，利用特征向量，

16、只能找到方程（程（7 7）的一个解）的一个解.251tex然而，由齐次然而，由齐次线性微分方程解的定理，要求它的通解，必须寻线性微分方程解的定理，要求它的通解，必须寻找与找与1x线性无关的另外一个解线性无关的另外一个解2x. .为此，考虑方程为此，考虑方程（7 7）的扰动系统）的扰动系统xAxx)(94252511（8 8） 目录 上页 下页 返回 结束矩阵矩阵)(A的特征多项式是的特征多项式是10100)9)(11()(det( EA)1)(1(因此因此11是矩阵是矩阵和和12的两个特的两个特)(A征根，相应的特征向量分别为征根，相应的特征向量分别为.25,22521所以，扰动方程（所以，扰

17、动方程（8 8）有两个线性无关的解）有两个线性无关的解 目录 上页 下页 返回 结束tttteetxeetx)1(221125)(,225)(21由线性齐次方程组的基本理论可知，当由线性齐次方程组的基本理论可知，当0时时tteetxtx)1(212125225)()( 目录 上页 下页 返回 结束对上式两边求极限得对上式两边求极限得ttteetxtx25021)()(lim21210容易验证容易验证tttee25021是方程（是方程（7 7）的解，且该解与（的解，且该解与（7 7）的另一个解）的另一个解te25线线 目录 上页 下页 返回 结束性无关性无关. .因此，方程（因此，方程（7 7）

18、的通解为）的通解为tttteecectx2502125)(21从上面讨论可以看出，寻找方程（从上面讨论可以看出，寻找方程（1 1）的第）的第二个线性无关的解，可以通过求极限的方法二个线性无关的解，可以通过求极限的方法. .若若21,是方程（是方程（1 1）系数矩阵）系数矩阵A A两个不同特两个不同特征根，征根，21,是相应的两个特征向量，则是相应的两个特征向量，则121212ttee 目录 上页 下页 返回 结束是方程（是方程（1 1）的解，取极限得）的解，取极限得ttttteeee22121212)()(limlim22221212因为因为12且且时，有时，有1212. .因此因此上面极限变

19、为上面极限变为ttttteeee111212)()(lim11111212其中向量其中向量)(11满足满足 目录 上页 下页 返回 结束)()()(11111EA（9 9）事实上，因为事实上，因为)(11是是1对应的特征向量，因对应的特征向量，因而成立而成立0)()(111EA上式两边对上式两边对 求导得求导得1)()()(11111EA这样当这样当 是是A A的重特征根时，且的重特征根时，且 是仅有的一个是仅有的一个11 对应的非零特征向量，则通过（对应的非零特征向量，则通过（9 9）可以）可以1 目录 上页 下页 返回 结束找到找到 ，进而利用极限的方法求出方程，进而利用极限的方法求出方程

20、)(11（1 1）的另一个与）的另一个与 线性无关的向量线性无关的向量. .te112k 且且 对应的特征子空间维数为对应的特征子空间维数为1,1,设设11是是 对应的特征子空间的一个基对应的特征子空间的一个基. .则存在则存在 1定理定理 3 3 设设nn1矩阵矩阵A A有一个重特征根有一个重特征根, ,重数重数121)(EA的向量的向量 使得使得 2111( )tx te和和 11221( )ttx tete是方程组（是方程组（1 1）两个线性无关的解）两个线性无关的解. . 目录 上页 下页 返回 结束把把11221( )ttx tete代入方程代入方程)()(tAxtx证明证明 由前面

21、的讨论，现只需证明由前面的讨论，现只需证明无关无关. .11221( )ttx tete是方程组（是方程组（1 1）的解，且）的解，且 与与 线性线性)(2tx)(1txtttttteAeAteeeAxx11111121112122ttteAeA11)()(1112121因为因为1对应的特征向量，且对应的特征向量，且是矩阵是矩阵A A的特征根的特征根1 目录 上页 下页 返回 结束0)(12211tcc（1111）2，所以，所以满足满足. 022Axx121)(EA这说明这说明)(2tx是方程（是方程（1 1）的解）的解. .)(1tx下面证明下面证明和和)(2tx线性无关线性无关. .1c事

22、实上，若存在常数事实上，若存在常数和和2c满足满足0)(111122112211tttteececxcxc（1010）对（对（1010）两边乘以）两边乘以te1对（对（1111）两边对）两边对t求导得求导得. 012c 目录 上页 下页 返回 结束因为因为, 01因而必有因而必有. 02c代入（代入（1111）得）得. 011c即有即有. 01c即说明即说明)(1tx和和)(2tx线性线性无关无关. .定理定理3 3给出了求解方程给出了求解方程 的通解的一种方法的通解的一种方法. .Axx 例例6 6 求解方程组求解方程组解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为xx52221210

23、43（1212） 目录 上页 下页 返回 结束0) 1)(1(52221210432因此矩阵因此矩阵A A有单特征根有单特征根1112和二重根和二重根对对11，有特征向量，有特征向量T),(3121111满足满足0622022010423121113111312111 目录 上页 下页 返回 结束因此因此T) 1 , 2 , 1 (111是是对应的特征向量对应的特征向量. .12对应的特征向量对应的特征向量T),(3222122满满组方程组组方程组0422022201044322212322212322212由上面方程组得由上面方程组得22221232, 0是任意是任意122常数，选取常数，选

24、取，得，得 目录 上页 下页 返回 结束0112进而知进而知是方程组（是方程组（1212）一个解）一个解tetx011)(2因为因为12对应的特征子空间是一维的，所以必对应的特征子空间是一维的，所以必须根据定理须根据定理1 1来寻找方程组（来寻找方程组（1212）第三个解）第三个解 目录 上页 下页 返回 结束ttteetx233)(这里这里T),(3323133且满足方程且满足方程23)( EA即即332313,满足方程组满足方程组0422122211044332313332313332313解该方程组得解该方程组得,1,21231333这里这里23是是 目录 上页 下页 返回 结束任意常数

25、任意常数. .选取选取, 023得得T)21, 0 , 1 (3因此因此方程（方程（1212）有解）有解ttteetx0112101)(3因为因为)(),(),(321txtxtx在在0t处的朗斯基行列式处的朗斯基行列式)(tW为为 目录 上页 下页 返回 结束111( )21001102W t因此因此)(),(),(321txtxtx线性无关，故方程组线性无关，故方程组（1212）的通解为）的通解为 目录 上页 下页 返回 结束121)(EA（1313）ttttteececectx0112101011121)(321定理定理 4 4 设设nn1矩阵矩阵A A有一有一 重特征重特征根根, ,重

26、数重数k3k 且其相应的特征子空间是一维的，且其相应的特征子空间是一维的，1是该是该特征子空间的一个基，则一定存在向量特征子空间的一个基，则一定存在向量 满足满足2而且对（而且对（1313）中的）中的 也一定存在也一定存在 满足满足32 目录 上页 下页 返回 结束231)(EA（1414）进一步，若进一步，若 满足（满足（13)13) , , 满足（满足（1414）32tetx111)(ttteetx11122)(tttetteetx1112)(21233是方程（是方程（1 1）三个线性无关的解）三个线性无关的解. . 目录 上页 下页 返回 结束)(220131111)(txtx（1515

27、）例例7 7 求解方程组求解方程组解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为0)2(2201311113可以看出可以看出 是是A A的一个三重特征根的一个三重特征根. .21 目录 上页 下页 返回 结束对应的特征向量对应的特征向量21T),(3121111满足满足方程组方程组020021312111312111因此因此. 0,213111故可取故可取T) 1 , 0 , 1 (1方程方程（1515）有解）有解 目录 上页 下页 返回 结束tetx21101)(由定理由定理4 4知，方程（知，方程（1515）有第二个解）有第二个解ttteetx2222101)(这里这里 满足方程（满

28、足方程（1313），即满足方程组），即满足方程组2 目录 上页 下页 返回 结束120122322212322212解该方程组得解该方程组得.21,21223212选取选取, 032则得则得.2112因此因此T)0 ,21,21(2故有故有 目录 上页 下页 返回 结束ttteetx22210102121)(另外，方程（另外，方程（1515）第三个解有如下形式：）第三个解有如下形式： 目录 上页 下页 返回 结束tttetteetx222233210102121)(这里这里 满足方程（满足方程（1414）设）设3T),(3323133 目录 上页 下页 返回 结束022121233323133

29、32313选取选取 设设 因此因此0,212313033T)0 , 0 ,21(3 目录 上页 下页 返回 结束故有故有tttetteetx222232101021210021)(由定理由定理4 4知，所得三个解知，所得三个解 线性线性)(),(),(321txtxtx无关无关. .故方程（故方程（1515）的通解为）的通解为 目录 上页 下页 返回 结束ttttttetteecteecectx2222322221210102121002110102121101)( 目录 上页 下页 返回 结束221131)(EA（1616）存在不全为零常数存在不全为零常数 和和 以及向量以及向量 满足满足3

30、21定理定理 5 5 设设nn1矩阵矩阵A A有一有一 重特征重特征根根, ,重数重数k3k 且其对应的特征子空间的维数为且其对应的特征子空间的维数为2 2，即对，即对1由两个线性无关的特征向量由两个线性无关的特征向量 和和 ，则一定，则一定21使得使得tetx111)(tetx122)(ttteetx11)()(221133是方程（是方程（1 1）的三个线性无关的解）的三个线性无关的解. . 目录 上页 下页 返回 结束)(201111100)(txtx（1717）例例8 8 利用定理利用定理5 5求解方程组求解方程组解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为0) 1(201111

31、103可以看出可以看出 是是A A的一个三重特征根的一个三重特征根. .11 目录 上页 下页 返回 结束对应的特征向量对应的特征向量11T),(321满足满足方程组方程组000313131因此因此231,是任意的，因此有两个特征向量是任意的，因此有两个特征向量.010,10121a 目录 上页 下页 返回 结束1和和 可作为可作为 的特征子空间的基，方程的特征子空间的基，方程21（1717）有两个线性无关的解）有两个线性无关的解ttetxetx010)(,101)(21下面寻找方程（下面寻找方程（1717）第三个线性无关的解）第三个线性无关的解)(3tx，由定理，由定理5 5知，必存在两个不

32、全为零的常知，必存在两个不全为零的常数数 和和 及向量及向量 满足满足123 目录 上页 下页 返回 结束这里这里332313,是是 的分量，方程组（的分量，方程组（1818）3221131)(EA即有即有133132331313313（1818）有解的充要条件是有解的充要条件是,12这里这里 是任意的，若是任意的，若1选取选取, 112则方程（则方程（1818）隐含）隐含 目录 上页 下页 返回 结束33131其中其中3323,是任意常数，选取是任意常数，选取03323则有则有T)0 , 0 , 1(3因此获得方程组（因此获得方程组（1717）的第）的第三个解三个解ttteetx1)()(2

33、21133tttee111001 目录 上页 下页 返回 结束因为上面所得因为上面所得)(),(21txtx是线性无关的，因此是线性无关的，因此方程组（方程组（1717）的通解为）的通解为ttttteececectx111001010101)(321 目录 上页 下页 返回 结束三三 矩阵指数函数的定义和性质矩阵指数函数的定义和性质 设设A A是是nn常数矩阵，定义矩阵指数函数常数矩阵，定义矩阵指数函数为为Aexp!2!exp20kAAAEkAAkkk（1919）其中其中E E为为n n阶单位矩阵，阶单位矩阵，kA是矩阵是矩阵A A的的k k次幂，为使次幂，为使有意义，必须证明（有意义，必须证

34、明（1919）的右端的矩）的右端的矩Aexp阵级数是收敛的阵级数是收敛的. .事实上，对一切正整数事实上，对一切正整数k k，有，有 目录 上页 下页 返回 结束!kAkAkk而数项级数而数项级数! 22kAAAEk是收敛的，由前面所学，（是收敛的，由前面所学，（1919）定义的矩阵）定义的矩阵级数是收敛的级数是收敛的. .为为Atexp进一步，定义进一步，定义矩阵指数函数矩阵指数函数 目录 上页 下页 返回 结束0!)exp(kkkktAAt（2020）而且类似可以证明（而且类似可以证明（2020）的右端在任何有限）的右端在任何有限区间上都是一致收敛的区间上都是一致收敛的. .矩阵指数函数有

35、下面的性质：矩阵指数函数有下面的性质：1 1 若矩阵若矩阵A A和和B B是可交换的，即是可交换的，即AB=BAAB=BA，则，则BABAexpexp)exp(事实上，由于矩阵级数事实上，由于矩阵级数0!expkkkAA0!expmmmBB和和 目录 上页 下页 返回 结束是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数项级数运算是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数项级数运算的一些定理，如任意改变项的顺序及级数的乘法的一些定理，如任意改变项的顺序及级数的乘法定理等结果，都可用于矩阵级数定理等结果，都可用于矩阵级数. .由绝对收敛级由绝对收敛级数的乘法定理得数的乘法定理得)2(! 21)(22BABABAE)! 2

36、)(! 2()exp()exp(22BBEAAEBA另一方面，由二项式定理及另一方面，由二项式定理及AB=BAAB=BA得得)2(! 21)(22BABABAE2)(! 21)()exp(BABAEBA 目录 上页 下页 返回 结束2 2 对任何矩阵对任何矩阵1)(exp(,AA存在，且存在，且)exp()(exp(1AA事实上，事实上，A A与与-A-A是可交换的，故由性质是可交换的，故由性质1 1有有EAAAA0exp)exp()exp()exp(故故)exp()(exp(1AA3 3 若若T T是非奇异矩阵，则是非奇异矩阵，则TATATT)exp()exp(11BABAexpexp)ex

37、p(比较两式得比较两式得 目录 上页 下页 返回 结束事实上，由于事实上，由于11111!)()exp(kkkkkTATEkATTEATTTATTkATEkk)(exp(!111有了矩阵函数的基本概念及其性质，就可以利用有了矩阵函数的基本概念及其性质，就可以利用它来研究方程组（它来研究方程组（1 1）的基解矩阵，进而给）的基解矩阵，进而给出其通解出其通解. . 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 6 6 矩阵矩阵)exp()(Att （2121）是方程组（是方程组（1 1）的基解矩阵，且）的基解矩阵，且E)0(证明证明 当当t=0t=0时，由定义知时，由定义知E)0(，又因为，又因为) )(

38、exp()(Att)!1(! 2! 11232ktAtAtAAkk)()exp(tAAtA这表明，这表明，)(t是（是（1 1）的解矩阵，又因为）的解矩阵，又因为 目录 上页 下页 返回 结束cAttx)exp()(（2222）, 1det)0(detE所以所以)exp()(Att 是方程组（是方程组（1 1）的基解矩阵）的基解矩阵. .由定理由定理6 6可知，方程组（可知，方程组（1 1）的通解为）的通解为这里这里c c是一个常数向量是一个常数向量. .若若)(t是方程组（是方程组（1 1）满足初始条件）满足初始条件00)(xt的解，则由（的解，则由（2222）知）知cAtx)exp(00即

39、有即有00)exp(xAtc 目录 上页 下页 返回 结束把上式代入（把上式代入（2222）得方程组（）得方程组（1 1）满足）满足初始条件初始条件00)(xt的解为的解为00)exp()exp()(xAtAtt00)(expxttA（2323）另外，若另外，若)(t是方程组（是方程组（1 1）的另外一个与）的另外一个与不同的基解矩阵，则由定理知，存在非不同的基解矩阵，则由定理知，存在非)exp(At奇异常数矩阵奇异常数矩阵C C满足满足CtAt)()exp(在上式中，令在上式中，令t=0t=0时，得时，得),0(1C从而有从而有)0()()exp(1tAt（2424） 目录 上页 下页 返回

40、 结束利用代数学中的哈密顿利用代数学中的哈密顿- -凯莱（凯莱（Hamilton-CayleyHamilton-Cayley）公式（公式（2424）表明，矩阵指数）表明，矩阵指数)exp(A可由可由（1 1）的任一个基解矩阵直接给出）的任一个基解矩阵直接给出. .定理定理6 6从理论上确定了方程组（从理论上确定了方程组（1 1）的一个基）的一个基解矩阵解矩阵)exp(At，公式（，公式（2424）也给出了利用）也给出了利用方程组（方程组（1 1）的其他基解矩阵）的其他基解矩阵)(t确定确定)exp(At的方法，但如何从方程组（的方法，但如何从方程组（1 1）的）的系数矩阵系数矩阵A A直接计算

41、矩阵指数直接计算矩阵指数)exp(At呢？下面呢？下面定理给出：当定理给出：当A A是任意矩阵时，是任意矩阵时，Atexp的计算方法的计算方法. . 目录 上页 下页 返回 结束（2525）设设A A是方程组（是方程组（1 1）的）的nn实系数矩阵，实系数矩阵，)(P是是A A的特征多项式的特征多项式nnnnaaaEAP111)det()(A A的特征方程为的特征方程为0)(111nnnnaaaP方程（方程（2525）的根）的根n,21是矩阵是矩阵A A的特征的特征根，且有根，且有)()()(11nnP 目录 上页 下页 返回 结束哈密顿哈密顿- -凯莱定理凯莱定理 设设)(P是矩阵是矩阵A

42、A的特征多项式的特征多项式则则0)(111EaAaAaAAPnnnn亦即亦即0)()()(11EAEAEAAPnn定理定理 7 7 设设n,21是矩阵是矩阵A A的的n n个特征根个特征根（它（它们不一定相等），则们不一定相等），则101)()exp(niiiPtrAt（2626） 目录 上页 下页 返回 结束其中其中)()(,110EAEAEAPEPiiini, 2 , 1这里这里而而)(tri), 2 , 1(ni是方程组是方程组)()()()()()()()()()()(11112212111trtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrnnnniiii（2727） 目录 上页 下页 返回 结束满足初始条件满足初始条件0)0(, 0)0(, 1)0(21nrrr的解的解. .证明证明: 记记101,)()(niiiPtrt下面证明下面证明)(t是方程是方程 (1) 的解矩阵的解矩阵.因为因为101)()(niiiAPtr