矩阵理论及应用1

1、2022/3/15河北大学电子信息工程学院1矩阵理论及应用河北大学电子信息工程学院2022/3/15河北大学电子信息工程学院2目录目录 第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 第二章第二章 范数理论及其应用范数理论及其应用 第三章第三章 矩阵分析及其应用矩阵分析及其应用 第四章第四章 矩阵分解矩阵分解 第五章第五章 特征值的估计特征值的估计 第六章第六章 广义逆矩阵广义逆矩阵2022/3/15河北大学电子信息工程学院3第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 线性空间线性空间 线性变换线性变换 两个重要的线性空间及其线性变换两个重要的线性空间及其线性变换(欧几里欧几里德空

2、间、酉空间；正交变换、酉变换）。德空间、酉空间；正交变换、酉变换）。2022/3/15河北大学电子信息工程学院4第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域一、集合及其运算一、集合及其运算1、集合的定义和表示、集合的定义和表示集合集合：指一类特定事物的全体。：指一类特定事物的全体。 构成集合的事物（或成员）称为集合的构成集合的事物（或成员）称为集合的元素元素。例：例：一个代数方程组解的全体组成的集合一个代数方程组解的全体组成的集合解集合解集合以原点为圆心的单位圆内所有的点所组成的集合以原点为圆心的单位圆内所有的点所组成的集合点集合点集合集合的表示集合的表示：通常用大写字母

3、通常用大写字母A、B、C表示集合，而用小写字母表示集合，而用小写字母a、b、c表表示集合的元素。示集合的元素。若若a为集合为集合A的元素，则称的元素，则称a属于属于AAa若若a不是集合不是集合A的元素，则称的元素，则称a不属于不属于AAa2022/3/15河北大学电子信息工程学院5222,ryxyxA为正整数nnN0第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域表示一个集合通常有两种方法表示一个集合通常有两种方法 ,321aaaA )(xPxA 列举法列举法 概括法概括法（也称为性质描述法）（也称为性质描述法）222ryx如：满足方程如：满足方程 的所有的点组成的集合的所有

4、的点组成的集合所有的正整数所构成的集合所有的正整数所构成的集合子集子集:如果集合如果集合 的元素全部都是集合的元素全部都是集合 的元素的元素,则称则称 为为 的子集的子集 。 ABABAB 记为记为 BA 或或若若 且且 则则AB BA BA 有限集、无限集有限集、无限集 、空集、空集 2022/3/15河北大学电子信息工程学院6第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域2、集合间的运算、集合间的运算BxAxxBA或并集并集BxAxxBA且交集交集BxAxxBA且差集差集ByAxyxBA,和集和集 和集并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。和集并

5、不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。3 , 2 , 1A5 , 4 , 3 , 2B8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 BA例：例：2022/3/15河北大学电子信息工程学院7第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域二、两个集合中元素之间的对应关系二、两个集合中元素之间的对应关系映射映射1、映射和一一映射、映射和一一映射AB、两个非空集合两个非空集合 对于对于 中的每一个元素，按照某种确定的法则中的每一个元素，按照某种确定的法则 在在 中有中有一个或者几个元素与之对应一个或者几个元素与之对应，则称则称 是集合是集合 到集合到集合 的的映

6、映射射，记作，记作fABfAB：BAf:BxfyAx)( 或或 A原像集合原像集合（或定义域定义域） B像集合像集合（或值域值域） )(xfy By（ ）Axf称为元素称为元素 在映射在映射 下的下的像像 xy 的的原像原像映射：映射：2022/3/15河北大学电子信息工程学院8单值映射（简称单射）：单值映射（简称单射）： 第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域Axx21,21xx )()(21xfxff对每一个原像点，有且只有一个像点与之对应，而且对任意对每一个原像点，有且只有一个像点与之对应，而且对任意 ，当当 时，有时，有 ，则称映射，则称映射 为单值映射（简

7、称单射）；为单值映射（简称单射）； 满映射（简称满射）：满映射（简称满射）： ByAx)(xfy f如果如果对任意对任意 ，都有一个，都有一个 使得使得 ，则称，则称 为满映射（简称为满映射（简称满射）满射） ABABABABAB2022/3/15河北大学电子信息工程学院9第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域ffAB如果映射如果映射 既为单值映射，又为满映射，则称既为单值映射，又为满映射，则称 是集合是集合 到集到集合合 的一一映射（或称为双映射）。的一一映射（或称为双映射）。一一映射：一一映射：恒等映射（或单位映射恒等映射（或单位映射 ）即为一一映射）即为一一映

8、射例：例：:AIaa AaAB，2022/3/15河北大学电子信息工程学院102、逆映射、逆映射ByAxyxf)(BAf对于集合对于集合 中的每一个元素中的每一个元素 ，都有，都有 中的元素中的元素 ，使得，使得 ，这种由集合这种由集合 到集合到集合 中的映射，称为映射中的映射，称为映射 的的逆映射逆映射，记作，记作:1fABAyfxBy)(1 或或 设设 是是 阶可逆的实数方阵，阶可逆的实数方阵， 和和 均为均为 维实列向量，满足维实列向量，满足Anxyn:AnnRyRxAxy 例：例：AnnRyRx此式表示矩阵此式表示矩阵 为为 的一一映射。的一一映射。 yAx1:1AnnRyAxRy1又

9、有又有， 即即 为其逆映射。为其逆映射。 第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域2022/3/15河北大学电子信息工程学院11三、数域三、数域VV设设 是数的非空集合，按照通常数的运算规则，对其中任何两个元素进行加、是数的非空集合，按照通常数的运算规则，对其中任何两个元素进行加、减、乘、除（分母非零）封闭，减、乘、除（分母非零）封闭，且满足乘法交换律，且满足乘法交换律，则称则称 为一个为一个数域数域。例：例：实数集关于加、减、乘、除四则运算封闭，且满足乘法交换律，实数集关于加、减、乘、除四则运算封闭，且满足乘法交换律，因此它成为一个数域，称其为实数域，记为因此它成为

10、一个数域，称其为实数域，记为 。R复数集也成为一个数域，称其为复数域，记为复数集也成为一个数域，称其为复数域，记为 。 C同样，还有有理数域同样，还有有理数域 。Q第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域 从数域定义可以看出，数域应具有以下特征：从数域定义可以看出，数域应具有以下特征： （1 1）有无穷多元素（为无限集）。）有无穷多元素（为无限集）。 （2 2）必须含有零元素和单位数）必须含有零元素和单位数1 1元素。元素。 （3 3）任何两元素都可进行四则运算。）任何两元素都可进行四则运算。问题：问题：无理数集、整数集是否构成数域？无理数集、整数集是否构成数域？20

11、22/3/15河北大学电子信息工程学院12例例1-11-1QbabaQ,2)2(证明：证明：证明证明 构成一数域。构成一数域。第一节第一节 预备知识：集合、映射与数域预备知识：集合、映射与数域)2(,Q112ba Qbbaa2121,222ba 设设，令，令)2()(2)(2121Qbbaa（1） )2()(2)(2121Qbbaa（2）)2(22222)(222222211222222121222221122121Qbababababbaababababbaa)2)(2()2)(2(22/222222112211babababababa（4）)2()(2)2(12212121Qbababba

12、a（3）又又QbabaQ,2)2(构成一数域。构成一数域。2022/3/15河北大学电子信息工程学院13第二节第二节 线性空间线性空间一、线性空间的定义一、线性空间的定义Vzyx、Kmlk、VK设设 是非空集合，其元素用是非空集合，其元素用 等表示，并称之为向等表示，并称之为向量；量； 为一数域，其元素用为一数域，其元素用 等表示。在等表示。在 与与 中中规定了以下两种运算：规定了以下两种运算：定义定义1.2.1（线性空间）（线性空间）VVyx,Vzyx（1 1）规定）规定 中任意两元素的加法运算，即对于任意的中任意两元素的加法运算，即对于任意的 ，有惟，有惟一的一的 ；加法运算封闭加法运算封

13、闭KVKk VxVykx（2 2）规定数域）规定数域 与集合与集合 中的元素之间的数乘运算（数与向量的乘法），即中的元素之间的数乘运算（数与向量的乘法），即对于任意的对于任意的 和和 ，有惟一的，有惟一的 。数乘运算封闭数乘运算封闭且加法运算和数乘运算分别满足下面八条规则：且加法运算和数乘运算分别满足下面八条规则：xyyx（）)()(zyxzyx（）（加法交换律）（加法交换律）（加法结合律）（加法结合律）2022/3/15河北大学电子信息工程学院14第二节第二节 线性空间线性空间VVxxx0（）在）在 中存在零元素中存在零元素0，使对任何，使对任何 ，有，有（零元律）（零元律）VyVxx0 y

14、x（）对任一）对任一 ，都存在，都存在 的负元素的负元素 ，使得，使得（负元律）（负元律）Vxxx 1（）对任一）对任一 ，都有，都有 （恒等律）（恒等律）VxKlk,xkllxk)()(（）对任一）对任一 ， ，有，有（数乘结合律）（数乘结合律）VxKlk,lxkxxlk )(（）对任一）对任一 ， ，有，有( ( 数乘分配律数乘分配律) )Vyx,Kk kykxyxk)(（）对任意）对任意 ， ，有，有( ( 数因子分配律数因子分配律) )VK则称则称 为数域为数域 上的上的线性空间或向量空间线性空间或向量空间。VVV 中的元素称为中的元素称为向量向量， 中所定义的加法运算和数乘运算统称为

15、中所定义的加法运算和数乘运算统称为 的的线性运算线性运算。 注意：注意：“向量向量”的概念已经不在专指的概念已经不在专指 个有序的数组，而是指任何线性个有序的数组，而是指任何线性空间中的任意的元素。空间中的任意的元素。n2022/3/15河北大学电子信息工程学院15第二节第二节 线性空间线性空间例例1.2.1 KVKn若若 为数域，为数域， 是分量属于是分量属于 的的 元有序数组的集合，即元有序数组的集合，即niKxxxxViTn, 2 , 1,),(21若对若对 中任意两个元素中任意两个元素VTnxxxx),(21Tnyyyy),(21，Kk 及及 ，定义加法和数乘数乘运算如下：，定义加法和

16、数乘数乘运算如下：Tnnyxyxyxyx),(2211Tnkxkxkxkx),(21VK容易验证，容易验证，集合集合 构成数域构成数域 上的上的线性空间线性空间。 KV当当 为实数域时，为实数域时， 为实数域上的线性空间为实数域上的线性空间 nRKV当当 为复数域时，为复数域时， 为复数域上的线性空间为复数域上的线性空间 nC2022/3/15河北大学电子信息工程学院16第二节第二节 线性空间线性空间例例1.2.2 （矩阵空间）（矩阵空间） （多项式空间（多项式空间 ）KnmK所有元素属于数域所有元素属于数域 的的 矩阵组成的集合按通常定义的矩阵加矩阵组成的集合按通常定义的矩阵加法和数与矩阵的

17、乘法，也构成数域法和数与矩阵的乘法，也构成数域 上的一个线性空间，记为上的一个线性空间，记为 nmKKnmRKnmC当当 为实数域时，记为为实数域时，记为 ， 为复数域时，记为为复数域时，记为 。例例1.2.3 次数不超过次数不超过 的实系数多项式的全体所构成的集合的实系数多项式的全体所构成的集合1n1, 2 , 1,012211niRaaxaxaxaVinnnn在通常的多项式加法和多项式乘实系数的运算下，构成实数域上的在通常的多项式加法和多项式乘实系数的运算下，构成实数域上的线性空间，通常记为线性空间，通常记为 1nxP2022/3/15河北大学电子信息工程学院17第二节第二节 线性空间线性

18、空间（函数空间（函数空间 ）例例1.2.4 ,ba,baCR定义在区间定义在区间 上的一切连续的一元实函数的集合，记作上的一切连续的一元实函数的集合，记作 ，对，对通常定义下函数的加法和数乘运算，构成实数域通常定义下函数的加法和数乘运算，构成实数域 上的线性空间。上的线性空间。例例1.2.5 设设 全体正实数全体正实数，其，其“加法加法”及及“数乘数乘”运算定义为运算定义为RxyyxkxxkRR证明证明 是是 上的线性空间。上的线性空间。Ryx,Rk 证明：设证明：设， 则有则有RxyyxRxxkkR即即 对所定义的加法运算对所定义的加法运算“ ”与数乘运算与数乘运算“ ”是封闭的是封闭的 2

19、022/3/15河北大学电子信息工程学院18第二节第二节 线性空间线性空间 （1）xyyxxyyx)()()(zyxyzxxyzzxyzyx（2）（3） 1是零元素，因为是零元素，因为xxx11 x1x111xxxx是是 的负元素，因为的负元素，因为（4）（5 5）xxx11（6 6）xklxxxkxlkklkll)()()(（7 7）)()()(xlxkxxxxlklklk（8 8）)()()()()(ykxkyxxyxykyxkkkk由此可证，由此可证， 是实数域是实数域 上的线性空间。上的线性空间。 RR2022/3/15河北大学电子信息工程学院19第二节第二节 线性空间线性空间线性空间

20、中有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素。线性空间中有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素。定理定理1.2.1证明：证明：(1) 零元素的惟一性（采用反正法）设存在两个零元素01和02，按零元律和加法交换律，有010201020102 0102（2）负元素的惟一性（采用反正法）x1x2x设元素 有两个负元素 和 ，根据负元律，有01 xx02 xx于是由零元律和加法结合律，有222121110)()(0 xxxxxxxxxx负元素惟一。故只有一个零元素。2022/3/15河北大学电子信息工程学院20第二节第二节 线性空间线性空间二、线性空间中向量的相关性二、线性空间中向量的相关性VKnxx

21、x,21VKnkkk,21设设 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， 是是 的一组向量，的一组向量，如果如果 中有一组不全为零的数，中有一组不全为零的数， ，使得，使得 02211nnxkxkxk则称向量则称向量 线性相关线性相关。 nxxx,21定义定义1.2.2 （线性相关与线性无关）（线性相关与线性无关）若上式只有在若上式只有在 时才成立，则称这组向量是时才成立，则称这组向量是线性无关线性无关的。的。021nkkk2022/3/15河北大学电子信息工程学院21例例1.2.6 第二节第二节 线性空间线性空间R22R考虑实数域考虑实数域 上的线性空间上的线性空间 中的一组向量（矩阵）中

22、的一组向量（矩阵） 000111E001012E010021E100022E的线性相关性。的线性相关性。解：解： 设设 ，即，即0224213122111EkEkEkEk04321kkkk04321kkkk11E12E21E22E则则 ，于是，于是 ， ， ， 线性无关。线性无关。2022/3/15河北大学电子信息工程学院22第二节第二节 线性空间线性空间例例1.2.8 考虑考虑 中的一组向量中的一组向量 3xPttP1)(12232)(tttP2322)(tttP的线性相关性。的线性相关性。设设 ，即，即 0)()()(332211tPktPktPk解：解： 0)22()32()1 (232

23、21ttkttktk由此可得：由此可得： 0221 kk02321kkk02332 kk系数矩阵为：系数矩阵为：230211021A0)det(A32)(Arank由于由于 ， ，方程组有非平凡解，方程组有非平凡解 )(1tP)(2tP)(3tP ， ， 线性相关。线性相关。2022/3/15河北大学电子信息工程学院23第二节第二节 线性空间线性空间三、线性空间的维数三、线性空间的维数定义定义1.2.3 VVVdim 线性空间线性空间 中最大线性无关元素组所含元素个数称为中最大线性无关元素组所含元素个数称为 的的维数维数，记为，记为 。nKnnV维数是维数是 的线性空间称为数域的线性空间称为数

24、域 上的上的 维线性空间，记为维线性空间，记为 。例例1.2.9 常系数二阶齐次线性微分方程常系数二阶齐次线性微分方程 的解的集合的解的集合 ，对，对于函数的加法以及函数与数的乘法运算，构成一线性空间。于函数的加法以及函数与数的乘法运算，构成一线性空间。023 yyyD由微分方程的特征方程由微分方程的特征方程0232xey 1xey22两个线性无关的解为两个线性无关的解为 ， 。其微分方程的所有解都。其微分方程的所有解都可以由可以由 ， 线性表示，即线性表示，即 1y2yxxececy221因此，此线性空间的维数为因此，此线性空间的维数为2，即，即 2dimD2022/3/15河北大学电子信息

25、工程学院24四、线性空间的基与坐标四、线性空间的基与坐标第二节第二节 线性空间线性空间定义定义1.2.4 VKrxxxS,21V设设 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， 是是 的一个非的一个非空子集，如果它满足空子集，如果它满足（）rxxx,21线性无关；线性无关；rxxx,21（）V中任一向量都是中任一向量都是 的线性组合。的线性组合。rxxxS,21V), 2 , 1(rixi则称则称 为为 的一个的一个基基或或基底基底，并称，并称 为为基向量基向量。例例1.2.10 3R3211,eeeS 3212,eeeS在在 中，有中，有 ， ，其中，其中 0011e0102e1003e00

26、11e0112e1113e；2022/3/15河北大学电子信息工程学院25第二节第二节 线性空间线性空间1S2S(1) 和和 是两个线性无关向量组。这是因是两个线性无关向量组。这是因为为0100010001det0100110111det3R321x（2）对于）对于 中任一向量中任一向量 ，都可以分别表示为，都可以分别表示为332211321321eeeeeex3323212133221321)()(eeeeeex1S2S3R因此，因此， 和和 是是 的两个基。的两个基。2022/3/15河北大学电子信息工程学院26第二节第二节 线性空间线性空间定义定义1.2.5 nVnxxx,21nV称线性

27、空间称线性空间 的一个基的一个基 为为 的一个的一个坐标系坐标系 。nxxx,21nVnVxxnxxx,21 设设 为为 的一个基，的一个基， ，则，则 可惟一的表示可惟一的表示成成 的线性组合。的线性组合。定理定理1.2.2证明：（应用反正法）证明：（应用反正法） xnxxx,21设设 经由经由 的线性表示有两个，即的线性表示有两个，即nnxxxx2211nnxxxx2211设向量设向量 ，它在该基下的线性表示式为，它在该基下的线性表示式为nVxnnxxxx2211n,21xTn,21则称则称 为为 在该坐标系中的在该坐标系中的坐标坐标或或分量分量，记为，记为 。2022/3/15河北大学电

28、子信息工程学院270)()()(222111nnnxxx第二节第二节 线性空间线性空间nxxx,21nVnxxx,21由于由于 为为 的一个基，则的一个基，则 线性无关线性无关), 2 , 1(niiixnxxx,21即即 可惟一的表示成可惟一的表示成 的线性组合。的线性组合。2022/3/15河北大学电子信息工程学院28第二节第二节 线性空间线性空间五、基变换与坐标变五、基变换与坐标变 1、基变换、基变换nxxx,21nyyy,21nV设设 和和 是是 中的两个基中的两个基 nnnnnnnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcy22112222112212211111其中矩阵其中矩阵

29、nnnnnncccccccccC112222111211nxxx,21nyyy,21由基由基 到到 的过渡矩阵的过渡矩阵 。Cxxxyyynn),(),(2121容易证明过渡矩阵是可逆的（为非奇异矩阵）。容易证明过渡矩阵是可逆的（为非奇异矩阵）。2022/3/15河北大学电子信息工程学院29第二节第二节 线性空间线性空间解：由解：由 321321211eeeeeeeee100110111),(),(321321eeeeee321,eee321,eee由基由基 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为例例1.2.110011e0102e1003e0011e0112e1113e；3R在在 中，求由基中，求由

30、基 到到 的过渡矩阵。的过渡矩阵。321,eee321,eee100110111C2022/3/15河北大学电子信息工程学院30第二节第二节 线性空间线性空间例例1.2.12已知矩阵空间已知矩阵空间 的两个基的两个基22R10011A10012A01103A01104A（）11111B01112B00113B00014B（）求由基（求由基（）到基（）到基（）的过渡矩阵。）的过渡矩阵。解：为了计算简便，采用中介基的方法，引进解：为了计算简便，采用中介基的方法，引进 的第三个基的第三个基22R000111E001012E010021E100022E（）由基（由基（）到基（）到基（）的过渡矩阵为）的

31、过渡矩阵为00111100110000111C2022/3/15河北大学电子信息工程学院31第二节第二节 线性空间线性空间1222112114321),(),(CEEEEAAAA由基（由基（）到基（）到基（）的过渡矩阵为）的过渡矩阵为00010011011111112C2222112114321),(),(CEEEEBBBB21143212222112114321),(),(),(CCAAAACEEEEBBBB由基（由基（）到基（）到基（）的过渡矩阵为）的过渡矩阵为0100012211101112210001001101111111011001101001100121211CCC2022/3/

32、15河北大学电子信息工程学院32第二节第二节 线性空间线性空间2、坐标变换、坐标变换nVxnxxx,21nyyy,21Tn),(21Tn),(21设设 中的向量中的向量 在两个基在两个基 和和 下的下的坐标分别为坐标分别为 和和nnxxxx2121),(nnyyyx2121),(Cxxxyyynn),(),(2121nnnnnnCxxxyyyxxxx212121212121),(),(),(2022/3/15河北大学电子信息工程学院33第二节第二节 线性空间线性空间nnC2121nnC21121例例1.2.133xP在在 中中,有两个基有两个基10fxf 122xf 33xf 10hxh112

33、21xxh3231xxxh)(xf3210,ffffT)3 , 2, 0 , 1 ()(xf3210,hhhh若多项式若多项式 在基在基 下的坐标为下的坐标为 ，求，求 在基在基 下的坐标。下的坐标。2022/3/15河北大学电子信息工程学院34第二节第二节 线性空间线性空间解：解：32103210210100ffffhfffhffhfh1000110011101111),(),(32103210ffffhhhh1000110011101111C)(xf3210,hhhh在基在基 下的坐标为：下的坐标为： 352132011000110001100011320114321Cyyyy由由2022

34、/3/15河北大学电子信息工程学院35第三节第三节 线性子空间线性子空间一、线性子空间的概念一、线性子空间的概念零子空间，记为零子空间，记为 0任何一个非零线性空间任何一个非零线性空间 至少有两个子空间：至少有两个子空间： V自身自身 V平凡子空间平凡子空间 中其他线性子空间称为中其他线性子空间称为 的的非平凡子空间非平凡子空间。 VVVK1VVV设设 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， 为为 的一个非空子集合，的一个非空子集合，且对且对 已有的线性运算（加法和数乘运算）满足以下条件：已有的线性运算（加法和数乘运算）满足以下条件：定义定义1.3.1x1Vy1Vyx（）如果）如果 ， ，

35、则，则 ；（加法运算封闭）；（加法运算封闭）1VxKk 1Vkx（）如果）如果 ， ，则，则 。（数乘运算封闭）。（数乘运算封闭）1VV则称则称 为为 的的线性子空间线性子空间，简称，简称子空间子空间。2022/3/15河北大学电子信息工程学院36第三节第三节 线性子空间线性子空间线性子空间的生成线性子空间的生成 ),(),(dim2121mmxxxrankxxxL该子空间的维数该子空间的维数 mxxx,21),(21mxxxLmxxx,21即为向量组即为向量组 中，线性无关的向量的个数。而中，线性无关的向量的个数。而 的基可以是向量组的基可以是向量组 中任何一个极大线性无关组。中任何一个极大

36、线性无关组。VKmxxx,21Vm设设 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， 是是 中中 个向量，其个向量，其所有可能的线性组合构成一非空集合所有可能的线性组合构成一非空集合mmxkxkxkV22111), 2 , 1,(miKki1VV1VV容易验证容易验证 对对 的线性运算是封闭的，因而的线性运算是封闭的，因而 是是 的一个线性子空间。的一个线性子空间。 由由 所生成（或张成）的子空间所生成（或张成）的子空间，记为，记为 mxxx,21mmmxkxkxkxxxL221121),(),(21mxxxSpan或为或为2022/3/15河北大学电子信息工程学院37第三节第三节 线性子空间线

37、性子空间定义定义1.3.2AnmijRaA)(rrankA), 2 , 1(niaiAi),(21naaaL设设 ，且，且 。以。以 表示表示 的第的第 个列向量，称子空间个列向量，称子空间 为为矩阵矩阵 的值域的值域（列空间或像空间列空间或像空间），记为），记为),()(21naaaLARmRAR)(rrankAAR)(dim显然，显然， ，且，且 。例例1.3.11nxP)( 1nrr1rxP12, 1rxxxrxxx, 12在多项式空间在多项式空间 中，次数不高于中，次数不高于 的多项式全体构的多项式全体构成子空间成子空间 ，由于，由于 是该空间的一个基，所以该是该空间的一个基，所以该子

38、空间可以看成是由子空间可以看成是由 生成的子空间，即生成的子空间，即), 1 (121rrxxxLxPrxxLr), 1 (dim1且且nRxAxAR)()(AR 还可如下生成：还可如下生成：？2022/3/15河北大学电子信息工程学院38第三节第三节 线性子空间线性子空间同样，可定义同样，可定义 的的值域值域（行空间行空间）为）为TAnmTTRRxxAAR)()(dim)(dimTARARrankAAA)(An的核空间的维数称为的核空间的维数称为 的的零度零度，记为，记为 ，即，即)()(dim)(AranknANAnnmijRaA)(rrankA0AxxA0Ax)(AN设设 ，且，且 。称

39、集合。称集合 为为 的的核空间核空间（零空间零空间）（由）（由 的解向量所构成的空间），记的解向量所构成的空间），记为为 ，即，即定义定义1.3.30)(AxxANnRAN)(nARAN)(dim)(dimmARANTT)(dim)(dimmnAnAnT)()(2022/3/15河北大学电子信息工程学院39第三节第三节 线性子空间线性子空间110101AA已知已知 ，求，求 的秩及零度。的秩及零度。 例例1.3.22rankA解：解： 0AxtxT1, 1 , 1 t1)(An为任意参数，从而有为任意参数，从而有 。2TrankA0)(TAn同样可以求得同样可以求得 ，例例1.3.3求方程求方

40、程 的列空间和核空间（的列空间和核空间（像空间和零空间像空间和零空间）。其中）。其中 0Ax363242A解：解： 1rankA)(),()(1321432211aLaaaLaxaxaxRxAxARn0Ax),(0)()2()1(xxLAxxANTx) 1 , 0 , 1()1(Tx)0 , 1 , 2()2(213)(dim)(ANAn2022/3/15河北大学电子信息工程学院40第三节第三节 线性子空间线性子空间定理定理1.3.1 1VKnVmmxxx,211VmnVnVmnnmmxxx,21nxxx,21nV设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个的一个 维子空间，维子空间，

41、 是是 的一个基，则这的一个基，则这 个基向量必可扩充为个基向量必可扩充为 的一个基。换言之，的一个基。换言之，在在 中必可找到中必可找到 个向量个向量 ，使得，使得是是 的一个基。的一个基。2022/3/15河北大学电子信息工程学院41第三节第三节 线性子空间线性子空间二、子空间的交与和二、子空间的交与和定理定理1.3.2 1V2VKV21VV V如果如果 和和 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的两个子空间，那么，的两个子空间，那么，它们的交它们的交 也是也是 的子空间。的子空间。 证明：证明：10V20VVV 1021VV 首先由于首先由于 ， ，则则 ，故，故 非空。非空。设设2

42、1,VV 1,V2,V1V2V21VV 21VV 设设1Vk2Vk21VVk21VV V是是 的子空间。的子空间。 2022/3/15河北大学电子信息工程学院42第三节第三节 线性子空间线性子空间定理定理1.3.31V2VKVV如果如果 和和 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的两个子空间，那么，的两个子空间，那么，它们的和它们的和 也是也是 的子空间。的子空间。 21VV 证明：证明：显然，显然， 非空。非空。 21VV 对任意对任意 111,V222,V2122112121)()()()(VV 212121)(VVkkk21VV V因此因此 是是 的子空间。的子空间。2022/3/1

43、5河北大学电子信息工程学院43第三节第三节 线性子空间线性子空间定理定理1.3.4 1V2VKV如果如果 ， 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的两个子空间，那么有下面公式的两个子空间，那么有下面公式（维数公式）（维数公式）)dim()dim(dimdim212121VVVVVV11dimnV 22dimnV mVV)dim(21设设证明：证明： 需要证明需要证明 mnnVV2121)dim(2022/3/15河北大学电子信息工程学院44第三节第三节 线性子空间线性子空间例例1.3.6 ),(211LV T)0 , 1 , 1 (1T)0 , 1 , 0(2),(212LV T) 1 ,

44、 1 , 0(1T) 1 , 1 , 1 (2是是 的两个子空间的两个子空间,3RT)3 , 1, 5( 是是 中的一个向量中的一个向量 21VV 1V2V试将其分解成试将其分解成 和和 中两个向量和的形式。中两个向量和的形式。 解：设解：设22112211llkk1111100100113152121llkk31521212121llllkklk22222121395llllllkk2l2121,llkk1V2V由由 的任意性可知，的任意性可知， 有多种有多种选择，即选择，即 在在 和和 下的分解不是下的分解不是惟一的。惟一的。2022/3/15河北大学电子信息工程学院45第三节第三节 线性子空间线性子空间nnV1V2Vn1V2V如果如果 维线性空间维线性空间 的两个子空间的两个子空间 和和 的维数之和大的维数之和大于于 ，则，则 和和 必含有非零的公共向量。必含有非零的公共向量。推论推论1证明：证明： 由假设有由假设有)dim()dim()dim()dim()dim(21212121VVnVVVVVV21VV nVnVV)dim(21由于由于 是是 的子空间，所以的子空间