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文档简介
1、授课人: 刘芫健 授课单位:电子科学与工程学院电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用第一章微积分及其工程应用微积分及其工程应用C O N T E N T S目 录2022-3-15第一章第一章2 2第五章数学物理定解问题及其工程应用数学物理定解问题及其工程应用第九章球函数及其工程应用球函数及其工程应用第八章柱函数及其工程应用柱函数及其工程应用第七章二阶常微分方程级数解法及其工程应用二阶常微分方程级数解法及其工程应用第六章分离变量法及其工程应用分离变量法及其工程应用第二章复变函数及其工程应用复变函数及其工程应用第三章概率论与随机过程及其工程应用概率论与随机过程及其工程应用第四章矢量
2、分析与场论及其工程应用矢量分析与场论及其工程应用第一章第一章 微积分及其工程应用微积分及其工程应用1.1 知识点1.1.1 多元函数微分法及其应用1.1.2 曲线积分与曲面积分1.1.3 无穷级数3 32022-3-15电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章4 4电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或),(00yxfx.同理可定义函数
3、同理可定义函数 在点在点 处对处对 的偏导数,的偏导数, 为为 记作记作 , , , , 或或 5 5电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 偏导函数偏导函数:如果函数:如果函数 在区域在区域 内每一点内每一点 处对处对 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 的函数,它的函数,它就称为函数就称为函数 对自变量对自变量 的偏导函数,记作的偏导函数,记作 , , ,或,或 偏导函数的定义式:偏导函数的定义式: 类似地,可定义函数类
4、似地,可定义函数 对对 的偏导函数的偏导函数6 6电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用例例1-11 1-11 设设 求证:求证: 证证,7 7电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用(2)高阶偏导数)高阶偏导数函数函数 的二阶偏导数为的二阶偏导数为),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yx
5、fyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .混合偏导混合偏导纯偏导纯偏导8 8电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用3. 3. 全微分及其应用全微分及其应用(1 1)全微分的定义)全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二
6、元函数二元函数对对x x和对和对y y的的偏导数偏导数 二元函数二元函数对对x x和对和对y y的的偏微分偏微分9 9电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用全增量的概念全增量的概念1010电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用全微分的定义全微分的定义1111电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工
7、程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用可微与连续:可微与连续:可微必连续,但偏导数存在不一定连续。可微必连续,但偏导数存在不一定连续。 可微条件:定理可微条件:定理1(1(必要条件必要条件) ) 如果函数如果函数 在在点点 可微分,则函数在该点的偏导数可微分,则函数在该点的偏导数 、 必定存在,必定存在,且函数且函数 在点在点 的全微分为的全微分为 定理定理2(2(充分条件充分条件) ) 如果函数如果函数 的偏导数的偏导数 、 在点在点 连续,则函数在该点可微分。连续,则函数在该点可微分。说明说明:多元函数的各偏导数存在并
8、不能保证全微分存在:多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在. .1212电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如,例如,.000),(222222 yxyxyxxyyxf1313电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法
9、及其应用多元函数微分法及其应用)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 0 当当 时时,),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 1414电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1515电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用
10、电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用(2 2)全微分在近似计算中的应用)全微分在近似计算中的应用 例例1-20 有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由20cmcm增大增大到到20.05cmcm,高度由,高度由100cmcm减少到减少到99cmcm。求此圆柱体体积变化的近似。求此圆柱体体积变化的近似值。值。 解解 设圆柱体的半径、高和体积依次为设圆柱体的半径、高和体积依次为 、 和和 ,则有,则有 已知已知 根据近似公式,有根据近似公式,有1616电磁场数学方法及其工程应用
11、电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用即此圆柱体在受压后体积约减少了即此圆柱体在受压后体积约减少了200 。1717电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用4. 4. 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 定理定理1 1 如果函数如果函数 及及 都在点都在点 可导,函数可导,函数 在对应点在对应点 具有连续偏导数,则复合函数具有连续偏导数,则
12、复合函数 在点在点 可导,且有可导,且有a.a.复合函数的中间变量均为一元函数的情形复合函数的中间变量均为一元函数的情形推广推广:设:设 , , , ,则则 对对 的导数为:的导数为: 上述上述 称为全导数。称为全导数。1818电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用b b 复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理定理2 2 如果函数如果函数 都在点都在点 具有具有对对 及及 的偏导数,函数的偏导数,函数 在对应点在对应点
13、 具有连续偏具有连续偏导数,则复合函数导数,则复合函数 在点在点 的两个偏导的两个偏导数存在,且有数存在,且有, ,推广:设推广:设 , , , ,则,则, ,1919电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用讨论:讨论: ( (1) )设设 , , 则则 ? ? ( (2) )设设 ,且,且 ,则,则 ? ?2020电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法
14、及其应用多元函数微分法及其应用 定理定理3 3 如果函数如果函数 在点在点 具有对具有对 及对及对 的偏导数,的偏导数,函数函数 在点在点 可导,函数可导,函数 在对应点在对应点 具有连具有连续偏导数,则复合函数续偏导数,则复合函数 在点在点 的两个偏导数的两个偏导数存在,且有存在,且有例例1-23 1-23 设设 ,求,求 和和 。2121电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用解解2222电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程
15、学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用全微分形式不变性全微分形式不变性:设:设 具有连续偏导数,则有全微分具有连续偏导数,则有全微分如果如果 具有连续偏导数,而具有连续偏导数,而 也具有连续偏导数,则也具有连续偏导数,则 由此可见,无论由此可见,无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的。这个性质叫做的函数,它的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式不全微分形式不变性变性。2323电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章
16、第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用5. 5. 隐函数的求导法则隐函数的求导法则(1)一个方程的情形)一个方程的情形 隐函数存在定理隐函数存在定理1 1 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内具的某一邻域内具有连续偏导数,有连续偏导数, ,则方程,则方程 在点在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ,它满足条件它满足条件 ,并有,并有隐函数的求导公式隐函数的求导公式2424电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022
17、-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用解解令令1),(22 yxyxF,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF则则2525电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx
18、 , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2626电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数 在点在点 的某的某一邻域内具有连续的偏导数且一邻域内具有连续的偏导数且 , ,则方程则方程 在点在点 的某一邻域内恒能唯一确定的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数一个连续且具有连续偏导数的函数 ,它满足条,它满足条件件 ,并有,并有2727电磁场数学方
19、法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用例例1-30 设设 ,求,求 。22240 xyzz22xz解解 设设F(x,y,z) x2 y2 z2 4z,则,则Fx 2x,Fy 2z 4,zxzxFFxzzx24223222222)2()2()2()2()2()2()2(zxxzzxxxzxzxxxz2828电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法
20、及其应用(2 2)方程组的情形)方程组的情形 隐函数存在定理隐函数存在定理3 3 设设 、 在点在点 的某一邻域内具有的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,对各个变量的连续偏导数,又又 , ,且偏导数所组成的,且偏导数所组成的函数行列式:函数行列式: 在点在点 不等于零,则方程组不等于零,则方程组 在点在点 的某一邻域内恒能唯的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数一确定一组连续且具有连续偏导数的函数vGuGvFuFvuGFJ),(),(2929电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多
21、元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 在点在点 不等于零,则方程组不等于零,则方程组在点在点 的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确确定一组连续且具有连续偏导数的函数确定一组连续且具有连续偏导数的函数它们满足条件它们满足条件 ,并有,并有vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu),(),(13030电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu
22、),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv),(),(13131电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用例例1-31 1-31 设设 ,求,求 , , 和和 。01xuyvyuxv,xuxvyuyv解解 两个方程两边分别对两个方程两边分别对x求偏导,得关于求偏导,得关于 和和 的方程组的方程组xuxv00 xvxvxuyxvyxuxu当当x2 y2 0时,解之得时,解之得 ,22yxyvxuxu22yxxvyuxv3232电磁场数学方法及其工
23、程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用两个方程两边分别对两个方程两边分别对x求偏导,得关于求偏导,得关于 和和 的方程组的方程组yuyv00yvxyuyuyvyvyux当当x2 y2 0时,解之得时,解之得 ,22yxyuxvyu22yxyvxuyv 另解另解 将两个方程的两边微分得将两个方程的两边微分得,即,即00 xdvvdxyduudyydvvdyxduudxvdxudyxdvyduudxvdyydvxdu3333电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子
24、科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用解之得解之得 dyyxyuxvdxyxyvxudu2222dyyxyvxudxyxxvyudv2222于是于是22yxyvxuxu22yxyuxvyu22yxxvyuxv22yxyvxuyv 3434电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用隐函数的偏导数:隐函数的偏导数: 设方程组设方程组 确定一对具有连确定一对具有连续偏导数的续偏导数的 二元
25、函数二元函数 则则偏导数偏导数 , 由方程组由方程组 确定;确定;偏导数偏导数 , 由方程组由方程组 确定。确定。3535电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用例例1-32 1-32 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内连的某一邻域内连续且有连续偏导数,又续且有连续偏导数,又 (1)(1)证明方程组证明方程组 在点在点 的某一邻域内唯一确定一的某一邻域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数组单值连续且有连续偏导数的反函数 。(2)(2)求反函数求反函数
26、 对对 的偏导数。的偏导数。3636电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用解解 ( (1) )将方程组改写成下面的形式将方程组改写成下面的形式 由隐函数存在定理由隐函数存在定理3,即得所要证的结论。,即得所要证的结论。则按假设则按假设 (2)(2)将方程组所确定的反函数将方程组所确定的反函数 代入,代入,即得即得3737电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.1 多元函数
27、微分法及其应用多元函数微分法及其应用将上述恒等式两边分别对将上述恒等式两边分别对 求偏导数,得求偏导数,得由于由于 ,故可解得,故可解得同理,可得同理,可得3838电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1. . 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分(1)对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段
28、面内的一段曲线弧曲线弧L L上,已知曲线形构件在点上,已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为处的线密度为 (x y)。求曲线形。求曲线形构件的质量。构件的质量。(如图)(如图)3939电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 定义定义 设设L为为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数面内的一条光滑曲线弧,函数f (x, y)在在L上有界。在上有界。在L上任意插入一点列上任意插入一点列 把把L分在分在n个小段。设第个小段。设第i个小段的长度个小段的长度为为 ,又,
29、又 为第为第i个小段上任意取定的一点,作积个小段上任意取定的一点,作积 ,(i=1,2,n),),并作和并作和 ,如果当各小弧段的长度的最大,如果当各小弧段的长度的最大值值 ,这和的极限总存在,则称此极限为函数,这和的极限总存在,则称此极限为函数f (x, y)在曲线弧在曲线弧L上上对弧对弧长的曲线积分长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分,记作,记作 ,即,即 其中其中f (x,y)叫做被积函数,叫做被积函数,L叫做积分弧段。叫做积分弧段。4040电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2
30、 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 设设L L为为xOy面上一条光滑有向曲线,面上一条光滑有向曲线,cos sin 是与曲线方是与曲线方向一致的单位切向量,函数向一致的单位切向量,函数P(x, y)、Q(x, y)在在L上有定义。如果上有定义。如果下列二式右端的积分存在,我们就定义下列二式右端的积分存在,我们就定义 前者称为函数前者称为函数P(x, y)在有向曲线在有向曲线L上对坐标上对坐标x的曲线积分,的曲线积分,后者称为函数后者称为函数Q(x, y)在有向曲线在有向曲线L上对坐标上对坐标y的曲线积分,对坐的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫标的曲线积分也叫第二类曲线积分第二类曲线积分。41
31、41电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分两类曲线积分之间的关系:两类曲线积分之间的关系:设设cos i,sin i为与为与 si同向的单位向量同向的单位向量, ,我们注意到我们注意到 xi, yisi,所以,所以 xi cos isi, yi sin isi,4242电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分即即或或43
32、43电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 其中其中A P, Q,t cos , sin 为有向曲线弧为有向曲线弧L上点上点(x, y)处单位处单位切向量,切向量,dr tds dx, dy。类似地有类似地有dsRQPRdzQdyPdxcoscoscos或或dsAdsdttArA其中其中A P, Q, R,T cos , cos , cos 为有向曲线弧为有向曲线弧 上点上点(x, y, z)处单们切向量,处单们切向量,dr Tds dx, dy, dz,
33、A t为向量为向量A在向量在向量t上的投影。上的投影。4444电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分小结:用曲线积分解决问题的步骤:小结:用曲线积分解决问题的步骤:(4)计算定积分。计算定积分。 (3)将曲线积分化为定积分;将曲线积分化为定积分;(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程),确定参数的变写出曲线的参数方程(或直角坐标方程),确定参数的变化范围;化范围; (1)建立曲线积分;建立曲线积分;4545电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程
34、应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(2 2)对坐标的曲线积分的计算法)对坐标的曲线积分的计算法定理:设定理:设P(x,y)、Q(x,y)是定义在光滑有向曲线是定义在光滑有向曲线 L: 上的连续函数,当参数上的连续函数,当参数t t单调地由单调地由a变到变到b时,点时,点M(x,y)从从L的起点的起点A沿沿L L运动到终点运动到终点B B,则,则 xtyt,dttttPdxyxPL)()(),(),(dttttQdyyxQL)()(),(),(4646电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应
35、用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分定理:若定理:若P(x, y)P(x, y)是定义在光滑有向曲线是定义在光滑有向曲线上的连续函数,上的连续函数,L的方向与的方向与t的增加方向一致,则的增加方向一致,则L: ( ),( ) ()xtytatb dttttPdxyxPL)()(),(),(4747电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分Lxydx 解法一解法一 以以x
36、 x为参数。为参数。L分为分为AO和和OB两部分:两部分:AO的方程为的方程为 , ,x从从1变到变到0;OB的方程为的方程为 ,x从从0变到变到1。因此因此OBAOLxydxxydxxydx542)(10231001dxxdxxxdxxx4848电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1122)(dyyyyxydxL542114dyy4949电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-
37、151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(3)两类曲线积分之间的联系)两类曲线积分之间的联系由定义,得由定义,得LLdsQPQdyPdx)sincos(LLddsQPrFsin,cos, 其中其中F=P, Q,T=cost, sint为有向曲线弧为有向曲线弧L上点上点(x, y)处单位处单位切向量,切向量,dr=Tds=dx, dy。类似地有。类似地有dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(rF ddsRQPcos,cos,cos, 其中其中F P, Q, R,T cos , cos , cos 为有向曲线弧为有向曲线弧 上点上点(x, y, z)处单们切向量,
38、处单们切向量,dr Tds dx, dy, dz。5050电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分3 格林公式及其应用格林公式及其应用(1)格林公式)格林公式 单连通与复连通区域:设单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果为平面区域,如果D内任一闭曲线内任一闭曲线所围的部分都属于所围的部分都属于D,则称,则称D D为平面单连通区域,否则称为复连通为平面单连通区域,否则称为复连通区域。区域。 对平面区域对平面区域D的边界曲线的边界曲线L,我们规定,我们规定L的
39、正向如下:当观察者的正向如下:当观察者沿沿L的这个方向行走时,的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边。内在他近处的那一部分总在他的左边。5151电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分区域区域D的边界曲线的边界曲线L的方向:的方向: 定理定理1 1 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成,函数围成,函数P(x, y)及及Q(x, y)在在D上具有一阶连续偏导数,则有上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(
40、其中其中L是是D的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线。5252电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分例例1-40 椭圆椭圆x=a cosq ,y=b sinq 所围成图形的面积所围成图形的面积A。解解 设设D是由椭圆是由椭圆x=acosq ,y=bsinq所围成的区域。所围成的区域。令令 , ,则,则yP21xQ2112121yPxQ于是由格林公式,于是由格林公式,LLDxdyydxxdyydxdxdyA2121212022)cossin(21dabab2
41、021dab ab5353电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(2)平面上曲线积分与路径无关的条件)平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关:设曲线积分与路径无关:设G是一个开区域,是一个开区域,P(x, y)、Q(x, y)在在区域区域G内具有一阶连续偏导数。如果对于内具有一阶连续偏导数。如果对于G内任意指定的两个点内任意指定的两个点A、B以及以及G内从点内从点A到点到点B的任意两条曲线的任意两条曲线L1、L2,等式,等式21LLQdyPdx
42、QdyPdx恒成立,就说曲线积分恒成立,就说曲线积分 在在G内与路径无关,否则说与内与路径无关,否则说与路径有关。路径有关。LQdyPdx 特别:曲线积分特别:曲线积分 在在G G内与路径无关相当于沿内与路径无关相当于沿G G内任内任意闭曲线意闭曲线C C的曲线积分的曲线积分 等于零。等于零。LQdyPdxLQdyPdx5454电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 定理定理2 设开区域设开区域G是一个单连通域,函数是一个单连通域,函数P(x, y)及及Q
43、(x, y) )在在G内内具有一阶连续偏导数,则曲线积分具有一阶连续偏导数,则曲线积分 在在G内与路径无关(或内与路径无关(或沿沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式LQdyPdxxQyP在在G内恒成立。内恒成立。 充分性易证:若充分性易证:若 ,则,则 ,由格林公式,对任,由格林公式,对任意闭曲线意闭曲线L,有,有xQyP0yPxQDLdxdyyPxQQdyPdx0则充分性得证。则充分性得证。5555电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21
44、.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 必要性:假设存在一点必要性:假设存在一点 ,使,使 ,不妨设,不妨设 0,则由,则由 的连续性,存在的连续性,存在M0的一个的一个 邻域邻域U(M0, ),使在,使在此邻域内有此邻域内有 。于是沿邻域。于是沿邻域U(M0, )边界边界l的闭曲线积分的闭曲线积分M0 G0yPxQyPxQ02)(2),(0MUldxdyyPxQQdyPdx这与闭曲线积分为零相矛盾,因此在这与闭曲线积分为零相矛盾,因此在G内内 。0yPxQ5656电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151
45、.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分例例1-44 计算计算 ,其中,其中L为抛物线为抛物线 y x2上从上从O(0,0)到到B(1,1)的一段弧。的一段弧。Ldyxxydx22解解因为因为 在整个在整个xOy面内都成立,所以在整个面内都成立,所以在整个xOy面内,积分面内,积分 与路径无关。与路径无关。xxQyP2Ldyxxydx22ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx2222225757电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲
46、面积分(3)二元函数的全微分求积)二元函数的全微分求积 定理定理3 设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域, ,函数函数P(x, y)及及Q(x, y)在在G内具有一阶连续偏导数,则内具有一阶连续偏导数,则P(x, y)dx Q(x, y)dy在在G内为某一函数内为某一函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式的全微分的充分必要条件是等式xQyP在在G内恒成立。内恒成立。5858电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分例例1-45 验证验证 在右
47、半平面在右半平面(x0)内是某个函数的全微分,内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数。并求出一个这样的函数。22yxydxxdy解解这里这里22yxyP22yxxQ因为因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数,且有在右半平面内具有一阶连续偏导数,且有yPyxxyxQ22222)(所以在右半平面内,所以在右半平面内, 是某个函数的全微分。是某个函数的全微分。22yxydxxdy取积分路线为从取积分路线为从A(1 0)到到B(x 0)再到再到C(x y)的折线,则所求函数为的折线,则所求函数为),()0 , 1 (22),(yxyxydxxdyyxuyyxxdy0220 xyarctan问:为
48、什么问:为什么(x0, y0)不取不取(0,0)?5959电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分4. . 对面积的曲面积分对面积的曲面积分(1)对面积的曲面积分的概念与性质)对面积的曲面积分的概念与性质 定义定义 设曲面设曲面S是光滑的,函数是光滑的,函数f(x,y,z)在在 上有界。把上有界。把 任意分成任意分成n小小块:块: S1, S2, , Sn( Si也代表曲面的面积也代表曲面的面积) ,在,在 Si上任取一点上任取一点( i, i, i ) ,
49、如果当各小块曲面的直径的最大值如果当各小块曲面的直径的最大值 0时,极限时,极限 总总存在,则称此极限为函数存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面在曲面 上对面积的曲面积分或第一类上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记作曲面积分,记作 ,即,即iiiiniSf),(lim10dSzyxf),(iiiiniSfdSzyxf),(lim),(10其中其中f(x,y,z)叫做被积函数,叫做被积函数, 叫做积分曲面叫做积分曲面。6060电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲
50、线积分与曲面积分对面积的曲面积分的性质:对面积的曲面积分的性质:设设c 1、c 2为常数,则为常数,则dSzyxgcdSzyxfcdSzyxgczyxfc),(),(),(),(2121 若曲面若曲面 可分成两可分成两片光滑曲面片光滑曲面 1及及 2,则,则dSzyxfdSzyxfdSzyxf),(),(),(21 6161电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分设在曲面设在曲面 上上f(x y z) g(x y z),则,则dSzyxgdSzyxf),()
51、,( ,其中其中A为曲面为曲面 的面积的面积AdS 6262电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(2)对面积的曲面积分的计算)对面积的曲面积分的计算面密度为面密度为f(x,y,z)的物质曲面的质量为的物质曲面的质量为dSzyxfSfMiiiini),(),(lim10另一方面,如果另一方面,如果S由方程由方程z=z(x, y)给出,给出, 在在xOy面上的投影区域面上的投影区域为为D,那么曲面的面积元素为,那么曲面的面积元素为 ,质量元素为质量元素为dx
52、dyyxzyxzdAyx),(),(122dxdyyxzyxzyxzyxfdAyxzyxfyx),(),(1),(,),(,226363电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分根据元素法,曲面的质量为根据元素法,曲面的质量为DyxdxdyyxzyxzyxzyxfM),(),(1),(,22因此因此DyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(226464电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电
53、子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分化曲面积分为二重积分:化曲面积分为二重积分:设曲面设曲面 由方程由方程z z(x,y)给出,给出, 在在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为Dxy,函数,函数z z(x,y)在在Dxy上具有连续偏导数上具有连续偏导数,被积函数被积函数f(x,y,z)在在 上连续,则上连续,则xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(226565电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.
54、1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分zxDxzdzdxxzyxzyzxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(22 如果积分曲面如果积分曲面 的方程为的方程为y y(z,x),Dzx为为 在在zOx面上的投影区域,面上的投影区域,则函数则函数f(x,y,z)在在 上对面积的曲面积分为上对面积的曲面积分为 如果积分曲面如果积分曲面 的方程为的方程为x x(y,z),Dyz为为 在在yOz面上的投影区域,面上的投影区域,则函数则函数f(x,y,z)在在 上对面积的曲面积分为上对面积的曲面积分为dydzzyxzyxzyzyxfdSzyxfzyDyz),(),(1,),(),
55、(22 6666电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 例例1-47 1-47 计算曲面积分计算曲面积分 ,其中,其中 是球面是球面x2y2z2a2被平被平面面zh(0ha)截出的顶部截出的顶部。dSz1解解 的方程为的方程为 ,Dxy :x2y2a2h2。222yxaz, 因为因为222yxaxzx222yxayzydxdyyxaadxdyzzdSyx2222216767电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工
56、程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分所以所以xyDdxdyyxaadSz22212002222harardrda22022)ln(212haraahaaln26868电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分5. 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分(1)对坐标的曲面积分的概念与性质)对坐标的曲面积分的概念与性质 有向曲面:通常我们遇到的曲面都是双侧的。例如由方程有向曲面:通常我们遇到的曲面都是双侧的。例如
57、由方程z z(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧。设表示的曲面分为上侧与下侧。设n (cos ,cos ,cos )为曲面上的法向量,为曲面上的法向量,在曲面的上侧在曲面的上侧cos 0,在曲面的下侧,在曲面的下侧cos 0。闭曲面有内侧与外侧之。闭曲面有内侧与外侧之分。分。 类似地,如果曲面的方程为类似地,如果曲面的方程为y y(z,x),则曲面分为左侧与右侧,在,则曲面分为左侧与右侧,在曲面的右侧曲面的右侧cos 0,在曲面的左侧,在曲面的左侧cos 0。如果曲面的方程为。如果曲面的方程为x x(y,z),则曲面分为前侧与后侧,在曲面的前侧,则曲面分为前侧与后侧,在曲面的前侧cos 0,在曲
58、面的,在曲面的后侧后侧cos 0。6969电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分流向曲面一侧的流量:设稳定流动的不可压缩流体的速度场由流向曲面一侧的流量:设稳定流动的不可压缩流体的速度场由, , ,()( ()()(),), , ,v x y zP x y z Q x y z R x y z 给出,给出, 是速度场中的一片有向曲面,函数是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在都在 上连续,求在单位时间内流向上连
59、续,求在单位时间内流向 指定侧的流体的质指定侧的流体的质量,即流量量,即流量 。7070电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 定义定义 设设为光滑的有向曲面,函数为光滑的有向曲面,函数R(x,y,z)在在上有界。把上有界。把任任意分成意分成n块小曲面块小曲面Si(Si同时也代表第同时也代表第i小块曲面的面积)。在小块曲面的面积)。在xOy面上的投影为面上的投影为(Si)xy,(i,i,i )是是Si上任意取定的一点。如果上任意取定的一点。如果当各小块曲面
60、的直径的最大值当各小块曲面的直径的最大值0时,极限值时,极限值xyiiiiniSR)(,(lim10 总存在,则称此极限为函数总存在,则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标x、y的的曲面积分,记作曲面积分,记作dxdyzyxR),(7171电磁场数学方法及其工程应用电磁场数学方法及其工程应用 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第一章第一章2022-3-151.1.21.1.2 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分即即xyiiiiniSRdxdyzyxR)(,(lim),(10类似地有类似地有yziiiiniSPdydzzyxP)(,(lim),(10zxiiii
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