行列式的若干解法

1、行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式例1 .解：不为零的项一般表示为,故.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律：1行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变；2互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变；5行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另

2、两个行列式的和；7行列式各行或各列若线性相关，行列式为零一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解例2 一个阶行列式 的元素满足则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由知，即.故行列式可表示为,由行列式的性质，.三、高斯消元法由行列式的定义，计算一般n阶行列式的值的复杂度为，对n4的非稀疏方阵并不实用，因此有必要寻找更好的方法用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状，是计算行列式的基本方法原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式这个变换过程可用解线性方程组的算法（高斯消元法）严格描述，其复杂度为，由原来的指数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度例3 计

3、算行列式.解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算 四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法例4 计算n阶行列式.解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，列都加到第1列上，行列式不变，得.五、Laplace展开法Laplace展开的四种特殊情形：1） 2）3） 4）应用行列式的Laplace展开，把一个n阶行列式表示为

4、具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法注意用此方法一定要看Laplace展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法例5 证明如下行列式：分析虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式从行列式的左上方往右下方看，即知与具有相同的结构因此可考虑利用递推关系式计算证明：按第

5、1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：这是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的递推关系式若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：或现可反复用低阶代替高阶，有：同样有：因此当时由（1）（2）式可解得：证毕例6 计算行列式 .分析对一时看不出从何下手的行列式，可以先对低阶情况求值，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明解：当时，假设时，有 则当时，把按第一列展开，得由此，对任意的正整数，有.六、加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行

6、计算，这种计算行列式的方法称为加边法当然，加边后所得的高一阶行列式要较易计算加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况加边法的一般做法是：特殊情况取 或 加边法能否顺利应用，关键是观察每行或每列是否有相同的因子例7 计算n 阶行列式：分析 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与x1,x2, xn相乘，第二行为x2与x1,x2, xn相乘，第n行为xn与 x1,x2, xn相乘这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，从而就可考虑此法解：对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“

7、加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法1）在行列式D的各元素中加上一个相同的元素x，使新行列式除主对角线外，其余元素均为0；2）计算的主对角线各元素的代数余子式;3)例8.求下列n阶行列式的值：解：在的各元素上加上后，则有：又，其余的为零点评诸如此类的特殊行列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡爪”（除第一行、第一列、主对角线外全为零）、反对称方阵等，这些范式都有“专用”的解法掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满足这些范式的行列式的值，更是为了给解一般行列式提供变换的目标和方向，争取把一般行列式变换到这些已知容易求解的范式如果不知道这些范式，就只能盲目的寻找各种变成“最终范式”上下三角行列式

8、的变换方式，从而加大了解题的难度七、拆行（列）法由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值例9 设n阶行列式：且满足对任意数b，求n阶行列式分析该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b，显然用拆行（列）法可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但暂时不知道该如何应用

9、，在解题过程中要时刻注意题目条件解： 也为反对称矩阵又为的元素从而知：点评求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系，此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联八、多项式法如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C值，便可求得D=Cg

10、(x)具体地说，若行列式中存在两个同时含变量x的行（列），若x等于某一数a1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得D=0那么xa1便是一个一次因式由此便可找出行列式（多项式）的若干因式如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等，那么行列式与这些因式的乘积便成比例（只差一个常数因子）例10求如下行列式的值：分析 根据该行列式的特点，当时，有但大家认真看一下，该行列式Dn+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n个一次因式,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，为：，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式，这样行列式的次数就降了一次解：令：

11、显然当：时，又为n次多项式又中的最高次项为，系数为1，C=1因此得：九、Vandermonde行列式法范德蒙行列式：例11 计算n阶行列式解 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得： 分析从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式

12、”，很多类似多项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联例12 计算如下行列式的值：分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了解：问题推广本题中，显然是1,2，n-1,n这n个数在循环，那么如果是a0,a1,an-2,an-1这n个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”从而推广到一般，求下列行列式

13、：解：令 首先注意，若u为n次单位根（即un=1），则有：为范德蒙行列式又例12中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例12与相对应与例12的答案一致点评例12本身并不困难，但在“循环行列式”的推广中，运用了多项式单位根的相关理论，是比较难以想到的由上述问题的求解可知，行列式的求值有时需要综合利用多种方法，上例就用到了Vandermonde行列式和多项式理论十、矩阵理论法有些行列式通过“矩阵”一章与行列式相关的某些等式，可以快速求解引理：设A为型矩阵，B为型矩阵，分别表示n阶，m阶单位矩阵，则有证明：两边取行列式得：又同样两边取行列式有： 得证那么对于分别是和矩阵，能否得到：答案是肯定的证： 有：又 即得：对分别为和矩阵，时，有：则当时，有：引理得证例13 计算如下行列式的值：解：令矩阵则可得： 其中 那么根据上面所提到的引理可得：又 可得：点评例13还可用加边法解决，不过这里的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻十一、高等数学法有些行列式可以看成函数，运用高等数学的求导、积分等方法解决例14 求下列行列式的值：解：把看作是x的函数（即x的n次多项式），记作，按Taylor公式在z处展开：，则将第一列减去第二列，第二列减去第三列，第n-1列减去第n列，则有故有， （*）将对x求导，结果是n个行列式之和，而每个行列式是由对每一行求导而其余各行不变得到的例