2019-2020学年上海市青浦区高三二模数学试卷及答案解析

1、2019-2020学年上海市青浦区高三二模数学试卷、填空题(本大题满分 54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。1 .已知全集U R ,集合A (,2),则集合eUA【答案】2,【解析】由补集的运算可得2,2 .已知i为虚数单位，复数 z 2 i的共轲复数z 【解析】由共轲复数的概念可得z 2 i1一 1 一3.已知函数f x 1 则方程f x 2的解x x201 3【解析】由反函数性质可得，f 1 x 2等价于x f (2) 1 - -2 24.若(ax 1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值是.【答案】2【解析】Tr1C5ax 5 rC；a5rx5r r 2,x

2、3的系数是C；a3 80, a 2225.双曲线1的一个焦点到一条渐近线的距离是44【答案】222【解析】双曲线L 1的焦点为272,0 ,渐近线方程为 y x ,由点到直线距离公式得距离443冗cm2,已知球心到该截面的距离为1 cm ,则该球的表面积是3 cm2 ,则该截面的圆的半径为 r J3 .由勾股定理得球的半径为d 2.6.用一平面去截球所得截面的面积为2cm .【答案】16几【解析】平面去截球所得截面的面积为2R 2, 球的表面积为S 4 R 16一，.一一 一.I, 117.已知x, y 0且x 2y 1,则 的最小值为 x y【答案】3 22,1【解析】由一x111 C一=x

3、 2y y x y3 2 - 3 272,当且仅当2y=-,即x J2y时取等号x yx y11成乂，此时一一的最小值为3+2 J2 .x yr r r8.已知平面向量a,b满足auu r r - r r(1, 1), |b| 1, |a 2b| J2,则 a与 b 的夹角为3【答案】4rr - r【解析】由|a 2b | 我 ,且aIU2(1,1),所以 |a|r r41 a | |b|cosr 24|b|2 2,代入解得cos即夹角为349.设a1,3,5 , b 2,4,6 ,则函数 f(x),1 口 一 一，一 log b 一是减函数的概率为a x_.一一_一 1h .【解析】因为是单

4、倜递减，若要f(x) log b 单调递减则需要 b 1当a xa xa1 时b 2,4,6;当 a 3时 b 4,6;1当a 5时b 6共6种情况，所以函数 f(x) log b -是减函数的概率为 ；x62c3c3310.已知函数f(x) Jxa ,若存在实数x0满足ff(xo) xo,则实数a的取值范围是 1【答案】a 14【解析】令f(xo) yo则f (f (xo) f (yo) xo为f(x) Vxa的反函数，若存在实数 x0满足f f (xo)x0,且f(x) Jx a为单调递增，只需要 f(x) Jx a与f(x) x有交点就行，一21x a x, x x a 0,0, a 4

5、11.已知正三角形 ABC的三个顶点均在抛物线 x2 y上，其中一条边所在直线的斜率为J2,则4ABC的三个顶点的横坐标之和为【答案】3J10【解析】令A X1,X2,B X2,X2 ,C x3, X2 ,其中一条边所在直线的斜率为42.令kAB22X2X1X2X1X2Xi22在正三角形ABC中kAc22X32X3X1X3XikBCX3X2X3X2234 2 3 3由此可得出12 %35X1 X3X23 . 27012.定义函数f(X),其中X表示不小于 X的最小整数，如1.42,(0,n nN 时,函数f(X)的值域为An,记集合An中元素的个数为an所以X以A3ann(n 1)21时，因为

6、(0,1,所以X1, X X1 ,所以 A 1 ,a11;2时，因为X (1,2,2, xx (2,4,1,3,4,7,8,9,a3 6所以A21,3,403;当3时，因为X (2,3,(3,4,所以 X所以x3, x x4, x x (12,16(6,9,所A1,3,4,7,8,9,13,14,15,16 ,a4 10;由此类推,anann,由累加法可得ann(n 1)2二、选择题(本大题满分 20分)本大题共有 4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。13 .已知 a,b R ,则 “ b 0” 是 “ a2 b 0

7、” 的(),【A】充分不必要条件B必要不充分条件C1充分必要条件【D】既不充分也不必要条件【答案】A【解析】b 0, a2 0,a2b 0；又a20, a2b 0, ba2,b不一定大于等于0;因此,是充分非必要条件，选 A.14 .我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？ ”两鼠相逢需要的最少天数为()A 3B 4C 5D 6【答案

8、】B【解析】设t天打通，则(12 42t1)0.50.250.5t 18 , t 4 ,因此最少4天,所以选B.15.记椭圆2 ny4n1围成的区域(含边界)为(n 1,2,L ),当点(x,y)分别在y的最大值分别是Mi, M2,L ,则 limMnnA B 【C】 D2 、5432216.当当2 令土42 cos2 cos已知函数f(x)0时，方程64 ia 时,9若方程若方程2ny而14n 1sin nsin xf2(x)2 sinx 2 cos4n 14 sin2 sinx ,关于x的方程4n 1sinlimnf 2(x) 、, af(x)limn4n 14 n1 0有以下结论:括f(

9、x) 1 0在0,2冗内最多有3个不等实根;方程 f2(x) ,af (x)f2(x) 、af(x)1 0 在 0,62、21 0在0,2冗内有两个不等实根;内根的个数为偶数，则所有根之和为15 7t.f 2(x) 、a f(x)1 0 在 0,6内根的个数为偶数，则所有根之和为36九.其中所有正确结论的序号是) .A B 【C】 D【解析】由题意令t f (x),t0,3 ,则方程f2(x) Vaf(x) 1 0可转化为t2 Vat 1 0,若方程有实根，则根为t (舍)，t，+a4，又a 0 , t时，所给方程一定有根，正确；当0 a 空时，t Ga4 92则当t 1时，原方程有三个不同实

10、数根,1+ ，故当a 01,3 ,有图像可知若x 0,2错误；由函数f(x)图像可知，当方程f2(x) Jf(x) 1 059在0,6 内根的个数为偶数时，根的个数必为6,且6个根之和为2 +2 +2 9=15 ,正确.三、解答题(本大题满分 76分)本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17.如图，在正四棱柱 ABCD AB1cD)中，B1AB 60 .(1)求直线AC与平面ABCD所成的角的大小;(2)求异面直线B1C与AC1所成角的大小.【答案】(1) arctan 6 (2) arccos-2 24C【解析】(1)因为在正四棱柱 ABCD AB1

11、c21中，AA 平面ABCD, A是垂足,所以 ACA是AC与平面ABCD所成的角,设AB1,又正四棱柱 ABCD AB1C1D1中,B1AB 60AB12, BB1 & AA，ACtanACA a 1 叁AC .22ACAarctan2AC与平面ABCD所成的角的大小为6 arctan 2(2)如图所示：连接Q AC1/ AC ,B1CA是异面直线BQ与Ag所成角,Q AB1cosB1CA_ _ 2_ 2_ 2B1c AC AB12B1C AC2B1CA arccos4所以异面直线BiC与AiCi所成角的大小的大小为arccos418.已知函数 f(x) 2sin(x；)sin xcos x

12、(1)若函数yf (x)的图像关于直线x a(a0)对称，求a的最小值;(2)若存在飞0,当，使mf(x0) 2 。成立，求实数m的取值范围.12【答案】(1)(2)m , 2 U 1,12【解析】(1) Q f x 2sin xsin x3cosx 、3sin2xsin x , 3cosx sin x cosx3sin2 x2sin x 、.3 cosxcosx , 3sin2 x2sin xcosx,3 cos2 x sin2x sin 2x 3 cos2x2sinQ 2a 3九I-7k kZ,2k 九 tt .,k2 12又Qa 0(2)因为存在x0加%成立，所以f Xo0, 一 TTa

13、的最小值为12mf x0Xosin2xoQXo2xosin 2x0 一 31 又 sin 2x0 0,31,19.上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利.已知该线路通车后，地铁的 发车时间间隔t (单位：分钟)满足 2 t 20, t N*.经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间1200人，当2 t 10时，载客量会减少，减隔t相关，当10 t 20时地铁可达到满载状态，载客量为少的人数与(10 t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t).(1)求p(t)的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量;(2)若该

14、时段这条线路每分钟的净收益为Q 6 P(t) 3360360 (元)，问当发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大?【答案】(1) 1040 (2) 120【解析】(1)由题意知p t12002k 10 t ,2 t1200,10 t 20100 , t N , ( k为常数)，2p 21200 k 10 21200 64k 560,21200 10 10 t ,2 t 10k 10, p t1200,10 t 202p 61200 10 10 61040,故当发车时间间隔为 6分钟时，地铁的载客量1040人.2 一一 一10t200t 200,2 t 101200,10 t 2

15、0(2)由 Q J t3360360 ,可得_2_6 10t200t 2003360t3840360,10 t360,2 t2010840 603840360,10 tt 1020当2 t10 时，Q840 60 t36-840 t60 12 120,当且仅当t 6等号成立;7200 3360当10 t 20时，Q 360 384 360 24,当t 10时等号成立，由可知，当发车时间间隔为t 6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为 120元.2220.已知椭圆c：5 4 1(a b 0)的左、右焦点分别是F1, F2,其长轴长是短轴长的2倍，过F1且 a b垂直于x轴的直线被椭圆

16、 C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点p作斜率为k的直线l ,使得l与椭圆C有且只有个公共点，设直线PFi, PF2的斜率分别为(3)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,.11 、K ,卜2,若k 0,证明7T 1一为7E值，并求出这个7E值;kk1kk2设 F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M m,0 ,求m的取值范围.2【答案】(1)- y2 1 (2) 8(3)4【解析】(1)由于c2 a2 b2,将x2七1，得y b2由题意知2b2b2，所以 a 2, b 1.所以椭圆C的方程为(2)设 P(xo, yo)(yo0),则直线l

17、的方程为y yo k(x xo).2 x 联立得Tv整理得(1由题意得2v x02y04又知k1所以因此Vo 4k2)xk2k(x x)22、，28(ky0 k%)x 4( y0220,即(4 x0)k2%y0k 12. 221,所以 16y0k 8x0y0k x0x03V011 1x03V01k22x0V04y0x02kxoyo k2y。2% 1) 00,2x0V。8,xo为定值，这个定值为kk28.(3)设 P(%,y0)(y0 0),又匕(73,0), 1 PF1 : y0x (x0 V3) y /3y0 0 , lPF2F2 (73,0),所以直线PF1, PF2的方程分别为:yx (

18、X0回岛0 0.由题意知|my3y01|my。、3y0|(x0由于点P在椭圆上，所以x-4y21.所以因为所以因此|m v3|mX3|2. 32 x3- xo,421.对于无穷数列an32 xx02 ,可得m - 33万x01-1.- - * rttrmax a1,a2,L ,akmin a1,a2,L ,ak , k N，则称数列bn是数列an的“收缩数列”.其中 maxa，a2,L,ak、min &,a2,L,ak分别表示 ai,a2,L ,ak中的最大项和最小项.已知数列 an的前n项和为Sn,数列bn是数列an的“收缩数列” (1)若% 3n 1 ,求数列bn的前n项和;(2)证明：数

19、列 bn的“收缩数列”仍是bn ；n n 1 n n 1(3)右S1 S2 LSn a1 bn n 1,2,3,L ，求所有满足该条件的22数列an .3n n 1【答案】(1) (2)详见解析(3)详见解析2【解析】(1)由an 3n 1可得an为递增数列，所以bnmaxa1 ,a2,L, anmina1, a2,L,anana13n 12 3n 3,故bn的前n项和为n(0 3n 3) 3nn 122(2)因为 max a1,a2,L , anmax a1,a2,L ,an 1 n 1,2,3, L , min a1,a2,L ,an min a1,a2,L , an 1 n 1,2,3, Lmin a1,a2,L ,an所以 max a1,a2,L , an 1 min a1, a2,L , an 1 max a1,a2,L ,an所以 bn 1 bn n 1,2,3, L又因为 Da1a10,所以 maxt1,b2,L,bnminb1,b2,L,bnbnb1bn,所以bn的“收缩数列”仍是bn，、上n n 1 n n 1(3)由 S1 S2 LSn a1 bn n 1,2,3,L 可得22当 n 1 时，a1 a1;当 n2 时，2a1a23a1b2,即 2a2 a1,所以a2a1 ；当 n3时，3a12a2a36a13b3,即 3b3 2a2al a3a1(*),若aa