运筹学-习题答案(熊伟)

1、教材习题答案部分有图形的答案附在各章PPT 文档的后面，请留意。第1章 线性规划第2章 线性规划的对偶理论 第3章 整数规划 第4章 目标规划第5章 运输与指派问题 第6章 网络模型 第7章 网络计划 第8章 动态规划 第9章 排队论 第10章 存储论 第11章 决策论 第12章 对策论习题一1.1 讨论下列问题：（1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A 有5台，利用率为0.8, 设备B 有7台，利用率为0.85, 其它条件不变，数学模型怎样变化（2）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，7 为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化（3）在例1

2、.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路（4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1，模型如何变化（5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化1.2 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 , 单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表122所示 310和130. 试建立该问题的数学模型, 使每月利润最大【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为max Z =10x 1+14x

3、2+12x 31.5x 1+1.2x 2+4x 325003x +1.6x +1.2x 1400231 150x 1250260x 2310120x 3130x 1, x 2, x 301.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架两种窗架所需材料规格及数量如表123所示： 【解】 设x j （j =1,2,，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为min Z =x jj =1142x 1+x 2+x 3+x 4300x 2+3x 5+2x 6+2x 7+x 8+x 9+x 10450x 3+x 6+2x 8+x 9+3x 11+2x 12+x

4、13400x +x +2x +x +x +3x +2x +3x +4x 6004791012131423x j 0, j =1, 2, ,14用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 ;Z=534 X (2=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 ;Z=534 （2）余料最少数学模型为min Z =0.6x 1+0.3x 3+0.7x 4+0.4x 13+0.8x 142x 1+x 2+x 3+x 4300x 2+3x 5+2x 6+2x 7+x

5、 8+x 9+x 10450 x 3+x 6+2x 8+x 9+3x 11+2x 12+x 13400x +x +2x +x +x +3x +2x +3x +4x 6004791012131423x j 0, j =1,2, ,14用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 ;Z=0，用料550根 X (2=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 ;Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。1.4 A、B 两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单

6、位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售赢利，其余的只能加以销毁出售单位产品A 、B 、C 的利润分别为3、7、2元，每单位产品C 的销毁费为1元预测表明，产品C 最多只能售出13个单位试建立总利润最大的生产计划数学模型【解】设x 1, x 2分别为产品A 、B 的产量，x 3为副产品C 的销售量, x 4为副产品C 的销毁量，有x 3+x 4=2x 2,Z 为总利润，则数学模型为maxZ=3x

7、 1+7x 2+2x 3-x 4x 1+2x 2112x +3x 1712-2x 2+x 3+x 4=0x 133x j 0, j =1, 2, , 41.5 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资： 方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20，下一年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60，这种投资最多不超过1.5万元；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投

8、资，一年结算一次，年收益率是30，这种投资最多不超过1万元投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型. 【解】是设x 为第i 年投入第j 项目的资金数，变量表如下数学模型为max Z =0.2x 11+0.2x 21+0.2x 31+0.5x 12+0.6x 23+0.3x 34x 11+x 1230000-1.2x 11+x 21+x 2330000-1.5x 12-1.2x 21+x 31+x 3430000x 1220000x 1500023x 3410000x ij 0, i =1, ,3; j =1, 4最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0 ；

9、Z 847201.6 IV发展公司是商务房地产开发项目的投资商公司有机会在三个建设项目中投资：高层办公楼、宾馆及购物中心，各项目不同年份所需资金和净现值见表124三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项目所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金，也获得同样比例的净现值例如，公司按10投资项目1，现在必须支付400万，今后三年分别投入600万、900万和100万，获得净现值450万公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后2000万，两年后2000万，三年后1500万当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用IV 公司管理层希望设计一个组合投资

10、方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得的净现值最大 【解】以1为单位，计算累计投资比例和可用累计投资额，见表（2）。表（2） 设x j 为j 项目投资比例，则数学模型：max Z =45x 1+70x 2+50x 340x 1+80x 2+900x 32500100x 1+160x 2+140x 34500 190x 1+240x 2+160x 36500200x +310x +220x 8000123x j 0, j =1,2,3最优解X （0，16.5049，13.1067）；Z=1810.68万元 1.7 图解下列线性规划并指出解的形式：max Z =-2x 1+x 2x 1+x

11、 21 (1 x 1-3x 2-1x , x 012【解】最优解X （1/2，1/2）；最优值Z=1/2min Z =-x 1-3x 2(2 2x 1-x 2-22x 1+3x 212x 0, x 021【解】最优解X （3/4，7/2）；最优值Z=45/4 min Z =-3x 1+2x 2x 1+2x 211-x +4x 1012 (32x 1-x 27x -3x 121x 1, x 20【解】最优解X （4，1）；最优值Z= 10max Z =x 1+x 23x 1+8x 212(4 x 1+x 22 2x 13x 1, x 20【解】最优解X （3/2，1/4）；最优值Z=7/4 mi

12、n Z =x 1+2x 2x 1-x 22(5 x 13x 26x 1, x 20【解】最优解X （3，0）；最优值Z=3 max Z =x 1+2x 2x 1-x 22(6 x 13x 26x 1, x 20【解】无界解。 min Z =2x 1-5x 2x 1+2x 26 (7x 1+x 22x , x 012【解】无可行解。max Z =2.5x 1+2x 22x 1+x 28(8 0.5x 11.5x 1+2x 210x 1, x 20【解】最优解X （2，4）；最优值 Z=13 1.8 将下列线性规划化为标准形式 max Z =x 1+4x 2-x 32x 1+x 2+3x 320

13、(1 5x 1-7x 2+4x 3310x 1+3x 2+6x 3-5x 10, x 20, x 3无限制' ' ' 【解】（1）令x 3=x 3-x 3, x 4, x 5, x 6为松驰变量 ，则标准形式为 ' '' max Z =x 1-4x 2-x 3+x 3' '' 2x 1+x 2+3x 3-3x 3+x 4=20' '' 5x 1-7x 2+4x 3-4x 3-x 5=3 ' '' -10x 1-3x 2-6x 3+6x 3+x 6=5' '&#

14、39; x 1, x 2, x 3, x 3, x 4, x 5, x 60min Z =9x 1-3x 2+5x 3|6x 1+7x 2-4x 3|20 (2 x 15 x 1+8x 2=-8x 10, x 20, x 30【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为max Z '=-9x 1+3x 2-5x 36x 1+7x 2-4x 3+x 4=20-6x -7x +4x +x =201235 x -x =516-x -8x =821x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 60max Z =2x 1+3x 21x 15(3-x 1+x 2=-1x 0, x 02

15、1【解】方法1：max Z =2x 1+3x 2x 1-x 3=1x +x =514x 1-x 2=1x 1, x 2, x 3, x 40'=x 1-1, 有x 1x 1'+1, x 1'5-1=4 方法2：令x 1'+1 +3x 2max Z =2(x 1'4x 1'+1 +x 2=-1-(x 1x , x 012则标准型为'+3x 2max Z =2+2x 1'+x 3=4x 1'+x 2=0-x 1x ', x , x 0123max Z =min(3x 1+4x 2, x 1+x 2+x 3x 1+2x

16、2+x 330(4 4x 1-x 2+2x 3159x 1+x 2+6x 3-5x 1无约束, x 2、x 30【解】令y 3x 1+4x 2, y x 1+x 2+x 3, x 1=x 1'-x 1''，线性规划模型变为max Z =y'-x 1'' +4x 2y 3(x 1y x '-x ''+x +x1123'-x 1''+2x 2+x 330 x 1'-x 1'' -x 2+2x 3154(x 19(x 1'-x 1'' +x 2+6x 3-5

17、', x 1'', x 2、x 30x 1标准型为max Z =y'+3x 1''-4x 2+x 4=0y -3x 1y -x '+x ''-x -x +x =011235'-x 1''+2x 2+x 3+x 6=30 x 1'-4x 1''-x 2+2x 3-x 7=154x 1-9x 1'+9x 1''-x 2-6x 3+x 8=5', x 1'', x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 80x 1

18、1.9 设线性规划max Z =5x 1+2x 22x 1+3x 2+x 3=504x -2x +x =60124x 0, j =1, , 4j2120取基B 1=(P1，P3 =分别指出B 1和B 2对应的基变量和非基变量，、B 241，40求出基本解，并说明B 1、B 2是不是可行基【解】B 1：x 1，x 3为基变量，x 2，x 4为非基变量, 基本解为X=（15，0，20，0）T ，B 1是可行基。B 2：x 1, x 4是基变量，x 2, x 3为非基变量，基本解X =（25，0，0，40）T ，B 2不是可行基。 1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每

19、一步的基可行解对应于图形上的那一个极点max Z =x 1+3x 2-2x 1+x 22 (12x +3x 1212x , x 012【解】图解法 最优解X =(, , Z =424min Z =-3x 1-5x 2x 1+2x 26 (2 x 1+4x 210x 1+x 24x 10, x 20【解】图解法 该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。1.11用单纯形法求解下列线性规划max Z =3x 1+4x 2+x 32x 1+3x 2+x 31(1x 1+2x 2+2x 33x 0, j =1, 2,3j max Z =2x 1+x 2-3x 3+5x 4x 1+5x 2+3x

20、 3-7x 430(2 3x 1-x 2+x 3+x 4102x 1-6x 2-x 3+4x 420x j 0, j =1, , 4【解】单纯形表： 因为73>0并且a i 7<0(i =1,2,3，故原问题具有无界解，即无最优解。max Z =3x 1+2x 2-18x 3-x 1+2x 2+3x 34 (34x 1-2x 3123x 1+8x 2+4x 310x 1, x 2, x 30 原问题具有多重解。 基本最优解X(11273427237=(3,0, ,0 及X (2=(,0, , ,0 T ; Z =, 最优解的通解可表841111114示为X =aX (1 +(1-a

21、 X (2 即X =(3411227272min Z =-2x 1-x 2-4x 3+x 4x 1+2x 2+x 3-3x 48(4 -x 2+x 3+2x 410 2x 1+7x 2-5x 3-10x 420x j 0, j =1, , 4 max Z =3x 1+2x 2+x 35x 1+4x 2+6x 325（5）8x +6x +3x 24123x 0, j =1, 2,3j max Z =5x 1+6x 2+8x 3(6x 1+3x 2+2x 350x 1+4x 2+3x 380x 0, x 0, x 0231【解】单纯形表： 1.12 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划：max

22、 Z =10x 1-5x 2+x 3(1 5x 1+3x 2+x 3=10-5x 1+x 2-10x 315x 0, j =1, 2,3j【解】大M 法。数学模型为max Z =10x 1-5x 2+x 3-Mx 55x 1+3x 2+x 3+x 5=10-5x 1+x 2-10x 3+x 4=15x 0, j =1, 2, ,5j 两阶段法。第一阶段：数学模型为min w =x 55x 1+3x 2+x 3+x 5=10-5x +x -10x +x =151234x 0, j = 1, 2, ,5j最优解X=(2,0,0；Z=20 min Z =5x 1-6x 2-7x 3x 1+5x 2-

23、3x 315(2 5x 1 -6x 2+10x 320x 1+x 2+x 3=5x j 0, j =1, 2,3【解】大M 法。数学模型为min Z =5x 1-6x 2-7x 3+MA 1+MA 3x 1+5x 2-3x 3-S 1+A 1=155x -6x +10x +S =201232x 1+x 2+x 3+A 3=5所有变量非负 第一阶段：数学模型为min w =A 1+A 3x 1+5x 2-3x 3-S 1+A 1=155x -6x +10x +S =201232x 1+x 2+x 3+A 3=5 所有变量非负 最优解：X=(0，3.75，1.25 ；Z=31.25 即 X =(0

24、,155T 125, , Z =- 444max Z =10x 1+15x 25x 1+3x 29(3-5x 1+6x 2152x 1+x 25x 1、x 2、x 30【解】大M 法。数学模型为max Z =10x 1+15x 2-Mx 75x 1+3x 2+x 4=9-5x +6x +x =151252x 1+x 2-x 6+x 7=5x j 0, j = 1, 2, ,7 因为两阶段法第一阶段：数学模型为min Z =x 75x 1+3x 2+x 4=9-5x +6x +x =151252x 1+x 2-x 6+x 7=5x j 0, j =1,2, ,7 因为max Z =2x 1+3x

25、 2-x 3+x 4x 1-x 2+2x 3+x 492x 2+x 3-x 45 (4 -2x 1+x 2-3x 3+x 4-1x +x 313x j 0, j =1, , 4【解】大M 法。数学模型为max Z =2x 1+3x 2-x 3+x 4-Mx 9-Mx 10-Mx 11x 1-x 2+2x 3+x 4-x 5+x 9=92x 2+x 3-x 4+x 6=52x 1-x 2+3x 3-x 4-x 7+x 10=1x +x 3-x 8+x 11=31x j 0, j = 1,2, ,11 211.13 在第1.9题中，对于基B =, 求所有变量的检验数j (j =1, , 4 , 并

26、判断B 是不40是最优基104-1【解】B =-4, B =,11-2=C -C B B -1A1023104=(5,2,0,0 -(5,014-2011-2=(5,2,0,0 -(5,-55952,0, 4 =(0,2,0, -4=(0,9,0, -524, B 不是最优基，可以证明B 是可行基。1.14已知线性规划max z =5x 1+8x 2+7x 3+4x 42x 1+3x 2+3x 3+2x 4203x +5x +4x +2x 30 1234x j0, j =1, , 4的最优基为B =23，试用矩阵公式求（1）最优解；25(31及3；(41和3。【解】-3B -1=5441, C

27、 B =(c 4, c 2 =(4,8,则 -122(1X T-15T5TB =(x 4, x 2 =B b =(2,5 , 最优解X =(0,5,0,2, Z =50(2=C B B -1=(1, 1 (3N 1=B -1P 54-314241=-1131222N 5333=B -1P 4-4342=-1151222(4(2单纯形乘子；141=c 1-C B N 1=5-(4,8=5-5=012343=c 3-C B N 3=7-(4,8=7-7=012注：该题有多重解：X (1=(0，5，0，5/2X (2=(0，10/3，10/3，0X (3=(10，0，0，0 ，x 2是基变量，X (

28、3是退化基本可行解 Z 501.15 已知某线性规划的单纯形表125, 求价值系数向量C 及目标函数值Z 【解】由j =c j -ii ijc i ij有c j =j +c ic 21（3×14×00×（1）2 c 31（3×24×（1）0×4）1 c 51（3×（3）4×20×（4）0 则(4,2,1,3,0,0,0,，Z=CB X B =12 1.16 已知线性规划max Z =c 1x 1+c 2x 2+c 3x 3a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3b 1a 21x 1+a 22x 2+

29、a 23x 3b 2 x , x , x 0123的最优单纯形表如表126所示，求原线性规划矩阵C 、A 、及b ，最优基B 及B -1116-2-1615【解】B =，c 4c 50， , B =05105仿照第15题方法可求出c 112，c 211，c 314-1由 =B A46-210=0501-3-1由 =B b326-26得 b = 10052得 A =6-23005-156-230则有 C =(12, 11, 1A 4= , b =, 05-151.17 已知线性规划的单纯形表127 11326-2-1615， B =05, B =11005当1=（ ）, 2=（ ）, a =（

30、）时，12为唯一最优解. 当b 1=（ ）, b 2=（ ）, a =（ ）时，有多重解，此时（ ）【解】(1b 10, b 20, a <-3 (2b 10, b 20, a =3,(-2,0,0,0习题二1某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分试为厂商制定一个药丸的

31、合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型表2-22 【解】（1）设x j 为每天第j 种食物的用量，数学模型为min Z =0. 5x 1+0. 4x 2+0. 8x 3+0. 9x 4+0. 3x 5+0. 2x 613x 1+25x 2+14x 3+40x 4+8x 5+11x 68024x +9x +30x +25x +12x +15x 1+7x 2+21x 3+34x 4+10x 5180x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 60（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为max w =80y 1+150y 2+180y

32、 313y 1+24y 2+18y 30.525y +9y +7y 0.412314y 1+30y 2+21y 30.840y 1+25y 2+34y 30.98y +12y +10y 0.323111y 1+15y 2+0.5y 1, y 2, y 302写出下列线性规划的对偶问题max =-2x 1+4x 2（1）min w =-y 1+4y 2-x 1+3x 2-1-y 1+y 2-2【解】x 1+5x 243y 1+5y 24x , x 0y , y 01212y 1-y 2=2x 1+2x 2=10（2） 【解】2y 1-3y 2=-1 -x 1-3x 2+x 38x , x 无约束

33、，x 0y 23312y 1无约束；y 20min Z =2x 1-x 2+3x 3max w =10y 1+8y 210y 1+7y 2+4y 3110x +x -x -4x =81234y +6y -8y 2123（3）7x 1+6x 2-2x 3-5x 410 【解】 -y -2y +6y 41234x -8x +6x +x 61234-4y -5y +y =-3123x , x 0, x 0, x 无约束3412y 1无约束；y 20, y 30max Z =-2x 1+3x 2+6x 3-7x 43x 1-2x 2+x 3-6x 4=96x +5x -x 6134（4）-x 1+2x

34、 2-x 3+2x 4-25x 101x 10, x 2, x 3, x 4无约束max Z =x 1+2x 2+4x 3-3x 4min w =8y 1+10y 2+6y 3max Z =-2x 1+3x 2+6x 3-7x 43x 1-2x 2+x 3-6x 4=96x +5x -x 6341【解】-x 1+2x 2-x 3+2x 4-2x 15x 110x 10, x 2, x 3, x 4无约束min w =9y 1-6y 2-2y 3+5y 4+10y 53y 1-6y 2-y 3+y 4-y 5-2-2y +2y =312对偶问题为： y -5y -y =6123-6y +y +2

35、y =-7123y 1无约束；y 20，y 3, 0，y 40，x 503考虑线性规划min Z =12x 1+20x 2x 1+4x 24x +5x 2122x 1+3x 27x 1, x 20(1说明原问题与对偶问题都有最优解；(2通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；(3利用公式C B B 1求原问题的最优解； (4利用互补松弛条件求原问题的最优解 【解】(1原问题的对偶问题为max w =4y 1+2y 2+7y 3y 1+y 2+2y 3124y 1+5y 2+3y 320y 0, j =1, 2,3j容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X (2，1 、Y (1，0，1 ，

36、由定理2.4知都有最优解。(2 对偶问题的最优解Y (4/5,0,28/5，由定理2.6，原问题的最优解为X=(16/5，1/5，Z 42.41144-5555-1（3）C B =(7,4,B =, X =(7,4 =(16/5,1/5-32-325555(4由y 1、y 3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式x 1+4x 2=42x +3x =712得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5。4证明下列线性规划问题无最优解min Z =x 1-2x 2-2x 32x 1+x 2-2x 3=3x -2x +3x 2123x , x 0, x 无约束312证明：首先看到该问题存在可行解，

37、例如x=(2,1,1，而上述问题的对偶问题为max w =3y 1+2y 22y 1+y 21y -2y -212-2y 1+3y 2=-2y 20, y 1无约束由约束条件知y 10，由约束条件当y 20知y 11，对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解(无界解 。5已知线性规划max Z =15x 1+20x 2+5x 3x 1+5x 2+x 355x +6x +x 6 1233x 1+10x 2+x 37x 10, x 20, x 3无约束的最优解X =(,0,1419T，求对偶问题的最优解 4【解】其对偶问题是：min w =5y 1+6y 2+7y 3y 1+5y 2+3y 3155

38、y +6y +10y 20123y 1+y 2+y 3=5y 1, y 2, y 30由原问题的最优解知，原问题约束等于零，x 1、x 2不等于零，则对偶问题的约束、约束为等式，y 10；解方程5y 2+3y 3=15y 2+y 3=5得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0；w 55/227.5 6用对偶单纯形法求解下列线性规划（1）min Z =3x 1+4x 2+5x 3x 1+2x 2+3x 382x 1+2x 2+x 310x , x , x 0123【解】将模型化为min Z =3x 1+4x 2+5x 3-x 1-2x 2-3x 3+x 4=-8 -2x 1-2x 2-x 3

39、+x 5=-10x 0, j =1,2,3,4,5j b 列全为非负，最优解为x (2，3，0 ；Z 18（2）min Z =3x 1+4x 2x 1+x 242x 1+x 22x 0, x 021【解】将模型化为min Z =3x 1+4x 2-x 1-x 2+x 3=-4 2x +x +x =2124x 0, j = 1, 2,3, 4j 出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。(3min Z =2x 1+4x 22x 1+3x 224x +2x 1012x 1+3x 215x 1, x 20【解】将模型化为min Z =2x 1+4x 22x 1+3x 2+x 3=24-x -

40、2x +x =-10124-x 1-3x 2+x 5=-15x j 0, j =1, 2,3, 4,5 最优解X=(0，5 ；Z 20（4）min Z =2x 1+3x 2+5x 3+6x 4x 1+2x 2+3x 3+x 42-2x 1+x 2-x 3+3x 4-3x 0, j =1, , 4j【解】将模型化为min Z =2x 1+3x 2+5x 3+6x 4-x 1-2x 2-3x 3-x 4+x 5=-2-2x +x -x +3x +x =-312346x 0, j = 1, ,6j 原问题有多重解：X (7/5，0，1/5， ；最优解X (8/5，1/5，0 ；Z 19/5 7某工厂

41、利用原材料甲、乙、丙生产产品A 、B 、C ，有关资料见表2-23表2-23 （1）怎样安排生产，使利润最大（2）若增加1kg 原材料甲，总利润增加多少（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A 和C 两种产品（6）由于市场的变化，产品B 、C 的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划 （7）工厂计划生产新产品D ，每件产品D 消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg ，2kg 及1kg ，每件产品D 应获利多少时才有利于投产 【解】（1）设

42、 x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的月生产量，数学模型为max Z =4x 1+x 2+3x 32x 1+1x 2+x 3200x +2x +3x 500 1232x 1+x 2+x 3600x 10, x 20, x 30560元。（2）则最优表可知，影子价格为y 1=92, y 2=, y 3=0, 故增加利润1.8元。 55（3）因为y 2=0.4，所以叫价应不少于1.6元。 （4）依据最优表计算得8-3c 12, c 2, -1c 39513c 11,6,c 2(-, ,c 32,125（5）依据最优表计算得100b 1400, -400b 2100, -400b 33

43、 500b 1,600,b 2100,600,b 3200,+.3-（6）变化后的检验数为2=1,4=-2,5=0。故x 2进基x 1出基, 得到最最优解X=(0,200,0，即只生产产品B 200件, 总利润为600元。 (7设产品D 的产量为x 7, 单件产品利润为c 7，只有当7=c 7-C B B -1P 7>0时才有利于投产。292 22c 7>C B B -1P 7=YP 7= , ,0 2=55 51则当单位产品D 的利润超过4.4元时才有利于投产。8对下列线性规划作参数分析max Z =(3+2 x 1+(5- x 2x 14（1）x 263x 1+2x 218x

44、1, x 20 X1出基；>5 时X4进基X2出基，用单纯形法计算。参数变化与目标值变化的关系如下(5,Z=52(0,Z=27(-1.5,Z=19.5max Z =3x 1+5x 2x 14+（2）x 26 3x 1+2x 218-2x 1, x 2041+0b =b '+b ''=618-2=B -1(b '+b '' =B -1b '+B -1b ''00141+00.500=30-3-11-241+0=30-5 习题三1, 投资j 项目1设x j =0，不投资j 项目max Z =30x 1+40x 2+20x

45、 3+15x 4+30x 55x 1+4x 2+5x 3+7x 4+8x 530x +7x +9x +5x +6x 25234518x 1+2x 2+6x 3+2x 4+9x 530x j 0或1, j =1, ,5最优解X (1,1,1,0,1，Z=110万元。2设x j 为投资第j 个点的状态，x j =1或0，j =1,2,12max Z =400x 1+500x 2+450x 3+400x 12900x 1+1200x 2+1000x 3+850x 11+1000x 12900044771212 x 2, x 3, x 1, x 2, x 3, x 4j j j j j j j =1j

46、 =1j =5j =5j =8j =8x =1或0，j =1, ,12j最优解：x1x5=x12=0，其余xj=1,总收益Z=3870万元，实际完成投资额8920万元。 3设x j 为装载第j 件货物的状态，x j =1表示装载第j 件货物，x j =0表示不装载第j 件货物，有max Z =5x 1+8x 2+4x 3+6x 4+7x 5+3x 66x 1+5x 2+3x 3+4x 4+7x 5+2x 6203x 1+7x 2+4x 3+5x 4+6x 5+2x 656 x 4-x 50x +x 121x j =0或14设x ij （i =1，2，5；j 1，2，3，4）为第i 人参赛j 项

47、目的状态，即1x ij =0第i 人参赛j 项目第i 人不参赛j 项目54记第i 人参赛j 项目的成绩为C ij , ，目标函数max Z =C ij x iji =1j =1每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次, 约束条件：x i 1+x i 2+x i 3+x i 43i =1, 2, , 5 每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10，约束条件：x 1j +x 2j +x 3j +x 4j +x 5j 1j =1, 2, 3, 4xi =1j =154ij=10x ij 1或0，i =1，2，5；j 1，2，3，4x 1+2x 28+y 1M x 15-yM

48、x <5+(1-y M x 1=2y 1+4y 2+6y 3+8y 44x +x 10-y M 12215. (1 2x 1+6x 218+y 3M (2 x 210-yM (3 y 1+y 2+y 3+y 4=1x 8+(1-y M y =0或1，j =1, 2, 3, 4y +y +y 12122j y =0或1y j =0或1，j =1, 2, 3min Z =10y 1+6x 1+15y 2+10x 2x 1y 1M ; x 2y 2M x 8-y M31x 26-(1-y 3 M x 1-x 2=0y 4-4y 5+4y 6-8y 7+8y 86y 4+y 5+y 6+y 7+

49、y 8=1x 1+2x 220-y 9M 2x 1+x 220-y 10M x 1+x 220-y 11M y +y +y 21011911x 10, x 20; y j =0或1，j =1, 2, ，7(1X=(1,2,Z=3 (2 X=(5,0,Z=5 8(1X=(3,3,Z=15 (2X=(5,2,Z=16 9教材原题遗漏，请补上。条件（1）条件（2）条件（3）条件（4）-x 1+x 2+4x 3+5x 435x 1+2x 2-x 36（1） （2）3x 1-x 2+2x 3-2x 444x 1+2x 2+x 37x 1+3x 2+2x 3+4x 47x =0或1，j =1, 2, 3j

50、 x j =0或1，j =1, 2, 3, 4答案：(1X=(1,1,1,Z=8 (2X=(1,1,1,0,Z=4 10(1X=(1,0,1,1,Z=8 (2X=(1,1,0,0,0,Z=2max Z =4x 1+3x 2x 3min Z =4x 1-x 2+x 3+3x 4习题四4.1 工厂生产甲、乙两种产品，由、二组人员来生产。组人员熟练工人比较多，工作效率高，成本也高；组人员新手较多工作效率比较低，成本也较低。例如，A 组只生产甲产品时每小时生产10件，成本是50元有关资料如表4.21所示。 班生产的产品每件增加成本5元。工厂根据市场需求、利润及生产能力确定了下列目标顺序： P 1：每周

51、供应市场甲产品400件，乙产品300件 P 2：每周利润指标不低于500元P 3：两组都尽可能少加班，如必须加班由组优先加班 建立此生产计划的数学模型。4.1【解】 解法一：设x 1, x2分别为A 组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x 3, x4分别为A 组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量；x 5, x6分别为B 组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x 7, x8分别为B 组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量。 总利润为80(x 1+x 3+x 5+x 7 -(50x 1+55x 3+45x 5+50x 7 +75(x 2+x 4+x 6+x 8 -(45x 2+50x 4+40x 6+45x 8 =30x 1+30x 2+25x 3+25x 4+35x 5+35x 6+30x 7+30x 8生产时间为A 组：0.1x 1+0.125x 2+0.1x 3+0.125x 4 B 组：0.125x 5+0.2x 6+0.125x 7+0.2x 8 数学模型为：min Z =p 1(d 1-+d 2 +p