圆锥曲线上各种类型归纳

1、二、圆锥曲线上点关于直线对称的问题例2 已知椭圆C的方程，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。弦长问题6已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是（是大于0的常数） （）求椭圆的方程；（）设是椭圆上的一点，且过点的直线与轴交于点，若，求直线的斜率例2椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于两点()求椭圆的方程及离心率；（II）若求直线的方程；（III）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明1与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组

2、），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围2圆锥曲线中最值的两种求法：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值3椭圆的短轴为，点是椭圆上除外的任意一点，直线在轴上的截距分别为，则 4 例2已知椭圆的焦点、，且与直线有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程解：（法一）设椭圆方程为（），由得，由题意，有解，或（舍），此时椭圆方程是（法二）先求点关于直线的对称点，直

3、线与椭圆的交点为，则，此时椭圆方程是小结：本题可以从代数、几何等途径寻求解决，通过不同角度的分析和处理，拓宽思路8已知椭圆的两个焦点分别是，离心率，（1）求椭圆的方程；（2）一条不与坐标轴平行的直线与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线的倾斜角的范围例2从点出发的一束光线射到直线上后被该直线反射，反射线与椭圆交于两点，与直线交于点，为入射线与反射线的交点，若，求反射线所在直线的方程2电影放映机上聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分，灯泡在焦点处，且与反射镜的顶点距离为，椭圆的通径为，为了使电影机片门获得最强的光线，片门应安装在另一焦点处，那么灯泡距离片门应是（）3中心在原点，焦点

4、在轴上的椭圆，短半轴长为，当两准线间距离最小时，椭圆的方程为 4椭圆上一点到两焦点的距离之比为，则点到较远的准线的距离是 5以轴为准线的椭圆经过定点，且离心率，则椭圆的左顶点的轨迹方程为 方程与性质1椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与它的短轴两端点连线的夹角是 2椭圆的离心率，则实数 k= 定义的运用3.已知定点A（），F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，则当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的坐标是 。最值问题上任一点,F1、F2是左右焦点，F1PF2的最大值是 .1以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为8，焦距为4的椭圆方程是（ ）A. B. C. D.

5、2如果椭圆 64+ =64上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 1，那么点 P 到另一个焦点的距离是（ ）4在北京繁华的长安街南侧，2004年国庆前将矗立起当代中国的一个标志性建筑中国国家大剧院 .大剧院屋顶的最大横截面的边缘线是椭圆，它的东西跨度约为 212米，南北跨度约为144米 .在给定的坐标系中，该椭圆的方程是（ ）A. B. C. D. 8、已知椭圆（ab0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。 9、求以直线为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程。10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与

6、两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。11、已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.15、在RtABC中，CAB=90°，AB=2，AC=。DOAB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设， 试确定实数的取值范围8、解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=

7、9的圆心O（0，1），半径r=3。 设正方形的边长为p，则，又O是正方形ABCD的中心，O到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。 （1）设AB：y=x-2 由 y=x-2 CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0 得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，a2=12，b2=4，椭圆的方程为。 （2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得，此时b2a2（舍去）。综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。 9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点

8、的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。 解：设M（x，y），过M作于A，又过M作轴于O，因为点M为短轴端点，则O必为椭圆中心，化简得y2=2x，短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x0）。 10、解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由椭圆的几何意义可知，解之得：，此时椭圆的方程为，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为或。11、解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理，得 线段AB的中点坐标为（）. 由已知得 故椭圆的离心率为 . （2）由（1）知

9、从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 故所求的椭圆方程为 . 14、分析：的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，|F1F2|=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。 证明：（1）在中，由正弦定理可知，则 （2）在中由余弦定理可知 y。 C15、解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . A O B| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = 动点P的轨迹是椭圆 . 曲线E的方程是 . （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得 设M1（, 则 i) L与y轴重合时， ii) L与y轴不重合时，

10、 由得 又, 或 01 , . 而 , , 的取值范围是。 16已知椭圆 C：.设斜率为 1且过椭圆 C 的右焦点的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的长；设斜率为 1的动直线 m 与椭圆 C 交于两个不同点 P、Q，试判断：m 在何位置时线段PQ 最长？请证明你的结论17已知：、分别是椭圆的左、右焦点 .点 P 在椭圆上，且，求点P的坐标；设 为第一象限内满足（1）的条件的点，与 y轴交于点 C，求的面积.18平面内一个动点 P 到两定点 A（ ，0），B（，0）的距离之和为 6，设动点 P 的轨迹为E，求轨迹E的方程；在轨迹E上是否存在点 P（x，y）到点 Q（m，0）（0&

11、lt; m <3）的距离的最小值为 1，若存在，求出 m 的值及点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .19已知，在平面直角坐标系中，点 A（-2，0），B（2，0），动点 C 满足 AC BC，点 C 在 x 轴上射影为 D，点 P 为线段 CD 中点 .求动点 P 的曲线 L 的方程；若（1）中曲线 L 与 y轴正半轴交于 E 点，问曲线 L 上是否存在一点 M ，使得|ME |=；若存在，求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由 .例10、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，（）求椭圆方程； （）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成

12、的比为2，求线段AB所在直线的方程。解：（）设椭圆方程为 由2c=4得c=2 又 故a=3， 所求的椭圆方程为（）若k 不存在，则，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2 又设A 由 得 点M坐标为M（0，2） 由代入、得 由、 得 线段AB所在直线的方程为：。说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。例11、已知直线l与椭

13、圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 解：从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后，得关于的一元二次方程 于是其判别式由已知，得=0即 在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 代入式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程说明：方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?例13、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直

14、接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入椭圆方程得：，即，此时 令直线的倾角为，则即OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。例14、（2003年江苏高考题）已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.解：=（1，0），=（0，a）

15、， +=（，a）， 2=（1，2a）.因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得： （i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点； （iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。例15、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通

16、过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；解：（1），。是共线向量，b=c,故。（2）设当且仅当时，cos=0，。说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。例16、一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程。 解： 椭圆离心率为，所以椭圆方

17、程为，设方程为：，由消去得 （1） （2） 所以而所以 所以（3）又， 从而（4） 由（1）（2）（4）得（5）由（3）（5）解得， 适合，所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。 例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，ABF2的面积最大值为12 （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程 解法一

18、：（1）设, 对 由余弦定理, 得 ， 解出 （2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 .则x1、x2是上述方程的两根且，AB边上的高 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 解法二：设过左焦点的直线方程为：椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得：于是是上述方程的两根.,AB边上的高,从而 当且仅当m=0取等号，即 由题意知, 于是 . 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：

19、15椭圆的两焦点分别为，直线是椭圆的一条准线。（I）求椭圆的方程；（）设点在椭圆上，且求的最大值和最小值。16设圆：，离心率为的椭圆：相交于两点。若线段恰为圆的直径，求直线和椭圆的方程。4. 如图所示，在RtABC中,CAB=90°, AB=2, AC=, D是线段AB的垂直平分线上的一点, D 到AB的距离为2, 过点C的曲线E上任一点P满足为常数.建立适当的坐标系,并求出曲线E的方程.过点P的直线 l与曲线E相交于不同的两点M , N , 且M点在D, N 之间,若 , 求的取值范围.4以AB、OD所在直线分别为X轴、Y轴建立直角坐标系动点的轨迹为以A、B为焦点的椭圆（4分）l与

20、y轴重合，DM=1，DN=3，（5分） l不与y轴重合，D（0，2）令直线MN的方程为：y=kx+2与曲线C的方程联立得 （8分） = （10分）（12分）5.如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.5.解：（1）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.2分又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 5分曲线E的方程为6分（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设8分，10

21、分又当直线GH斜率不存在，方程为12分19一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆交于两点，直线与轴交于点，且，求直线和椭圆的方程。9椭圆和（）具有（ C ）A相同的长、短轴 B相同的焦点C相同的离心率 D相同的顶点11已知（）表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（ C ）A（，） B，C（，） D（，）26已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，求椭圆的方程26，或 27已知椭圆，直线l：P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线27（x，y不同时为零） 28已知A

22、，B是椭圆（）上两点，线段AB的中垂线与x轴交于点P（m，0），求m的取值范围2814、F1,F2是椭圆+=1的两个焦点，AB是经过F1的弦，若=8，则+=_15、F1是椭圆+=1的一个焦点，M为椭圆上一点，且=2，N是线段MF1的中点，则=_(O为坐标原点)16、点P是椭圆+=1上一点，F1,F2是其焦点，若F1PF2=60°,则F1PF2的面积是_17、设椭圆+=1，F1,F2是其焦点，P为椭圆上一点，且PF1PF2,则F1PF2的面积是_18、在面积为1的PMN中，tgM=,tgN=-2,适当建立坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程30、经过椭圆+=1（a>b&g

23、t;0）的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为_32、椭圆ax2+by2=1与直线 x+y-1=0 相交于A,B两点，C是AB的中点，若=2，O为坐标原点，OC的斜率为, 求a,b的值33、 椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心，并交椭圆于点M,N，若MF1(F1为椭圆左焦点)是圆F2的切线，则椭圆的离心率为_直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,弦MN的中心为P，若kop=(O为坐标原点)，则=_椭圆的中心在原点，右焦点坐标为（1，0），过右焦点的弦AB的斜率为1，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求该椭圆的方程4椭圆的焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的

24、 倍例5、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)若求直线PQ的方程； 思路分析(I)：由题意，可设椭圆的方程为（a）由已知得：，解得 所以椭圆的方程为，离心率(II) 由(I)可得 设直线PQ的方程为由方程组，得 依题意 得设 则 由直线PQ的方程得 于是由得从而所以直线PQ的方程为或 简要评述利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新题型和发展趋势。平面向量的知识与解析几何的知识得到了很好的结合，是一个典型的考查综合能力的试题。例、已知椭圆，

25、椭圆上有不同的三点A，B，且 成等差数列，（1）求弦AC的中点M的横坐标；（2）设弦AC的垂直平分线的方程为思路分析（1）由题意可得，由焦半径公式，得，由此有，故弦AC的中点的横坐标（2）将代入，故点M的坐标为（），则，又，由得，即简要评述此题的难点在“如何建立参数m的不等关系”利用程序二求出弦AC的中点M的坐标（坐标中含参数m），由点M 必在椭圆内，得关于m 的不等关系。这是解决二次曲线弦中点问题的通法，大家要认真领会，熟练掌握。8、在椭圆为直角三角形，则这样的点P有 （ ）(A) 2个 (B) 4个 (C)6个 ( D) 8个11、已知椭圆_15、已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F

26、2(2,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。解 设椭圆C：+=1，由题意知a=3,c=2，于是b=1。椭圆C的方程为+y2=1。由 得10x2+36x+27=0因为该二次方程的判别式>0，所以直线与椭圆有两个不同交点。设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2= -,故线段AB的中点坐标为(-,)。19、设、yR，i、j为直角坐标平面内、轴正方向上的单位向量，向量axi(y2)j，bxi(y2)j ，且| a | b |8(1)求点M (x，y)的轨迹C的方程；(2)过点(0，3)作直线与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由解：（1）axi(y2)j，bxi(y2)j ，且| a | b |8点M(x，y)到两个定点F1(0，2)，F2(0，2)的距离之和为8， 轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为。（2）过轴上的点(0，3)，若直线是轴，则A、B两点是椭圆的顶点 0，P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾直线的斜率存在，设方程为ykx3，A(x1，y1)，B