微积分-经管类-第四版-课件-(吴赣昌)-第二章

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分2.1 导数概念导数概念 导数的定义导数的定义 左、右导数左、右导数 用定义计算导数用定义计算导数 可导与连续之间的关系可导与连续之间的关系一、引例1.变速直线运动的瞬时速度问题变速直线运动的瞬时速度问题0ts 0,t求求 时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度t,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度00( )( )s ts ttt ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得000(tt)svlimlimt2ttttg 瞬瞬时时速速度度.0gt t物物体体下下降降的的距距离离与与所所经经时时间间 的的21(

2、).2s tgt 关关系系为为自自由由落落体体运运动动中中，2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, MT为曲线为曲线C在在M点处的切线，下面考点处的切线，下面考虑求该切线的斜率。虑求该切线的斜率。).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT0000( )()tanlim tanlimxxxxf xf xkxx 0lim.xxfx 3 产品总成本的变化率产品总成本的变化率设某产品的总成本设某产品

3、的总成本C是产量是产量q的函数的函数, ,即即).(qfC 当产量由当产量由0q变到变到qq 0时时, ,总成本相应的改变量为总成本相应的改变量为),()(00qfqqfC 故当产量由故当产量由0q变到变到qq 0时时, ,总成本的平均变化率总成本的平均变化率为为qqfqqfqC )()(00 当当0q 时时, ,如果极限如果极限qCq 0limqqfqqfq )()(lim000 存在存在, , 则称此极限是产量则称此极限是产量0q为为时的总成本的变化率时的总成本的变化率. .二、导数的定义二、导数的定义定义定义设函数设函数 在点在点 的某个领域内有定的某个领域内有定)(xfy 0 x义义,

4、 当自变量当自变量 在在 处取得增量处取得增量 (点点 仍在仍在0 xxx 0 x x该领域内该领域内)时时, 相应地函数相应地函数 取得增量取得增量y);()(00 xfxxfy 若若 与与 之比当之比当x y 0 x时的极限存在时的极限存在,处可导处可导, 并称这个极限为函数并称这个极限为函数 在点在点 处处)(xfy 0 x的导数的导数, 记为记为则称函数则称函数 在点在点)(xfy 0 x00),(,0 xxxxdxdyxfy 或或,)(0 xxdxxdf 即即.)()(limlim)(000000 xxfxxfxyxfyxxxx 导数定义的其它形式导数定义的其它形式:令令,xh .)

5、()(lim)(0000hxfhxfxfh 令令,0 xxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 例例2试按导数定义试求下列各极限试按导数定义试求下列各极限(假设各极限假设各极限均存在均存在).)1(;)2()2(limaxafxfax )2(,)(lim0 xxfx其中其中. 0)0( f解解)1(axafxfax )2()2(lim)22(21)2()2(lim22axafxfax axafxfax22)2()2(lim222 ).2(2af 因为因为, 0)0( f于是于是)2(xxfx)(lim00)0()(lim0 xfxfx).0(f 三、左右导数三、左右导数左导数

6、左导数xxfxxfxfx )()(lim)(0000;)()(lim000 xxxfxfxx 右导数右导数xxfxxfxfx )()(lim)(0000.)()(lim000 xxxfxfxx 定理定理 1函数函数 在点在点 处可导处可导)(xf0 x左导数左导数)(0 xf 和右导数和右导数 都存在且相等都存在且相等.)(0 xf 例例3解解求函数求函数 , , , ,00sin)(xxxxxf处的处的导数导数.在在0 x当当0 x时时, ,)0()0(fxfy 0sin x, ,x sin故故xyfx 0lim)0(. .1sinlim0 xxx当当0 x时时, ,)0()0(fxfy 0

7、 x, ,x 故故xyfx 0lim)0(. .1lim0 xxx由由, , 1)0()0( ff得得. .1lim)0(0 xyfx关于导数的几点说明关于导数的几点说明(3), Ix 都对应着都对应着 的一个确定的导数值的一个确定的导数值,)(xf个函数叫做原来函数个函数叫做原来函数 的导函数的导函数,)(xf记作记作这这dxdyxfy),(, 或或.)(dxxdf注意注意:;)()(00 xxxfxf (1)就称函数就称函数 在开区间在开区间 内可导内可导;I)(xf(2)且且 及及)(af )(bf 都存在都存在, 就称就称 在闭区间在闭区间 上可导上可导;)(xf,ba导导,)(xfy

8、 I如果函数如果函数 在开区间在开区间 内的每点处都可内的每点处都可)(xf),(ba如果如果 在开区间在开区间 内可导内可导,例例4 求函数求函数)()(为常数为常数CCxf 的的导数导数. .解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 , , 0lim0 hCCh即即. .0)( C例例5 5 设函数设函数, ,xxfsin)( 求求)(sin x及及. .4)(sin xx解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh , ,xcos 即即. .xxcos)(sin 4)(sin xx4cos xx. .22 例例6解解求函数求函数)( 为正

9、整数为正整数nxyn 的的导数导数. .hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx, ,1 nnx即即. .1)( nnnxx更一般地更一般地. . )()(1Rxx 例如例如, ,. .xxx2121)(121 111)1()(1 xxx. .21x 例例7解解求函数求函数)10()( aaaxfx, ,的的导数导数. .haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 , ,aaxln 即即, ,aaaxxln)( . .xxee )(例例解解求函数求函数)10(log aaxya, ,的的导数导数. .hxhxyaahlog)(logli

10、m0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 exalog1即即. . exxaalog1)(log . .xx1)(ln 例例8解解求曲线求曲线xy 在点在点)24( , ,处的切线处的切线方程方程. .因为因为故所求切线故所求切线方程为方程为即即, ,xxy21)( , ,414214 xy, , )4(412 xy. .044 yx五、导数的几何意义五、导数的几何意义六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系定理定理则它在点则它在点0 x处连续处连续.证证因为函数因为函数 在点在点 可导可导,)(xf0 x所以所以).(lim00 xfxyx 于是于是0

11、,)(0 xfxy(当当 ),0 x,)(0 xxxfy , 0)(limlim000 xxxfyxx 证毕证毕.故函数故函数 在点在点 连续连续.)(xf0 x如果函数如果函数)(xfy 0 x可导可导,在点在点注注:但在该点不一定可导但在该点不一定可导.该定理的逆命题不成立该定理的逆命题不成立. 即函数在某点连续即函数在某点连续,例例9讨论函数讨论函数xxf )(在在0 x处的连续性与可处的连续性与可导性导性. .注注: : 一般一般地地, , 若曲线若曲线)(xfy 的图形在点的图形在点0 x处出现处出现尖点尖点, , 则它在该点则它在该点不可导不可导. .例例10 讨论讨论 0, 00

12、,1sin)(xxxxxf在在0 x处的连处的连续性与可导性续性与可导性.1. 函数函数)(xf在某点在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 与导函数与导函数)(xf 有什么区别与联系有什么区别与联系 ？2. 设设)(x 在在ax 处连续，处连续，),()()(22xaxxf 求求).(af 3. 求曲线求曲线32xxy 上与上与x轴平行的切线方程轴平行的切线方程 .课堂练习课堂练习1. 函数函数)(xf在某点在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 与导函数与导函数)(xf 有什么区别与联系有什么区别与联系 ？解解)(0 xf 是是)(xf 在点在点0 x的导数值，的导数值， 是一个具体的

13、是一个具体的数值数值.)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一点都可导上每一点都可导而定义在而定义在I上的一个新函数：上的一个新函数： 即即，Ix 有唯一值有唯一值)(xf 与之对应与之对应 .两者的区别两者的区别两者的联系两者的联系一个是数值，另一个是函数一个是数值，另一个是函数 .在某点在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导函数即是导函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值 .完完2. 设设)(x 在在ax 处连续，处连续，),()()(22xaxxf 求求).(af 解解axafxfafax )()(lim)(axxaxax 0)()(lim22 )()(li

14、mxaxax ).(2aa 3. 求曲线求曲线32xxy 上与上与x轴平行的切线方程轴平行的切线方程 .解解,322xy 令令0 y. 0322 x,32,3221 xx切点为切点为， 9643296432所求切线方程为所求切线方程为964 y和和.964 y完完作业作业Page 90 EX. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 9 Ex. 102.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线

15、位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.2 函数的求导法则函数的求导法则 导数的四则运算导数的四则运算 反函数的导数反函数的导数 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 初等函数的求导法则初等函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、

16、商的求导法则定理定理 1若函数若函数 在点在点 处可导处可导,x)(),(xvxu则它们则它们的和、差、积、商的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)并且并且(1);()( )()(xvxuxvxu (2);()()()( )()(xvxuxvxuxvxu (3).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxux在点在点 处也可导处也可导,证证 (3),0)()()()( xvxvxuxf 设设hxvxuhxvhxuhxfhxfxfhh)()()()(lim)()(lim)(00 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxv

17、xuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 u x v xu x v xv x 2( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ). . ( ) ( )推论推论(1); )()(11 niiniixfxf(2);( )(xfCxCf (3) )(1xfini)()()()()()(2121xfxfxfxfxfxfnn ).()(11xfxfkininikk 例例1 求求xxxysin223 的导数的导数.解解)(sin)2()(23 xxxy.cos432xxx 例例2解解求求xxysin2 的导数的导数.)sin(2)sin2( xxxxy)(sin)sin)(2 xx

18、xx xxxxcossin212.cos2sin1xxxx 例例3 求求 的导数的导数.xytan xxxycossin)(tan解解,cos)(cossincos)(sin2xxxxx ,seccos1cossincos22222xxxxx 即即.sec)(tan2xx 同理可得同理可得.csc)(cot2xx 解解xxxxy2cos)(coscos1)(sec .tanseccossin2xxxx 同理可得同理可得.cotcsc)(cscxxx 完完例例求求 的导数的导数.xysec 二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理 2 若函数若函数 在某区间在某区间 内单调、可内单调、可( )x

19、y yI导导则它的反函数则它的反函数 在对应在对应( )yf x 区间区间 内也可导内也可导,xI且有且有1 ( )( )f xy 或或dydxdxdy1 即即: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.( )0,y 且且证证任取任取,xIx 给给 以增量以增量x), 0(xIxxxx 由由 的单调性可知的单调性可知)(1xfy , 0 y于是于是,1yxxy )(1xf 连续连续,),0(0 xy又又, 0)( yf,)(11limlim )(001yfyxxyxfyx 证毕证毕.完完例例6解解求函数求函数 的导数的导数.xyalog 且且yax 在在 内单调、

20、可导内单调、可导,),( yI, 0ln)( aaayy在对应区间在对应区间 内有内有), 0( xI.ln1ln1)(1)(logaxaaaxyya 特别地特别地.1)(lnxx 完完例例5 求函数求函数 的导数的导数.xyarcsin 解解yxsin 在在 内单调、可导内单调、可导, 2,2 yI且且, 0cos)(sin yy在对应区间在对应区间 内有内有)1 , 1( xIyyxcos1)(sin1)(arcsin .11sin1122xy 21(arccos ).1xx 同理可得同理可得三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理 3若函数若函数 在点在点 可导可导,)(xg

21、u x而而)(ufy 在点在点 可导可导,)(xgu 则复合函数则复合函数 在点在点)(xgfy 可导可导,x且其导数为且其导数为)()(xgufdxdy 或或dxdududydxdy 链式法则链式法则证证由由 在点在点 可导可导,u)(ufy ),(lim0ufuyu 故故)0lim()(0 uufuy,)(uuufy xuxuufxyxx )(limlim00).()(limlimlim)(000 xgufxuxuufxxx 注注:例如例如, 则复合函数则复合函数)(xfy 的导数为的导数为.dxdvdxdududydxdy 复合求导法则可推广到多个中间变量的情形复合求导法则可推广到多个中

22、间变量的情形.),(),(),(xvvuufy 设设完完例例7求函数求函数 的导数的导数.xysinln 解解设设,lnuy .sin xu 则则dxdududydxdy xucos1 xxsincos .cot x 完完例例8求函数求函数 的导数的导数.102)1( xy解解设设. 1,210 xuuy则则xudxdududydxdy2109 .)1(202)1(109292 xxxx例例10 求函数求函数 的导数的导数.32)sin(xxy 解解)sin(32 xxy)sin()sin(3222 xxxx)(sinsin21)sin(322 xxxx).2sin1()sin(322xxx

23、完完例例求函数求函数 的导数的导数.)1(sin2xey 解一解一设中间变量设中间变量, 令令.1,sin,2xwwvvueyu 于是于是xwvuxwvuyy )1()(sin)()(2 xwveu)1(cos2 wveu)1cos()1sin(2)1(sin2xxex .)1(2sin)1(sin2xex 例例求函数求函数 的导数的导数.xxxy 解解)(21 xxxxxxy )(21121xxxxxxx )211(21121xxxxxx.812422xxxxxxxxxx 完完例例11 求导数求导数).0( aaaxyxaaaxa解解)(ln)(ln1 xaaxaaaaaxaaxayxaa.

24、lnln211aaaaaaxxaxaaaxxaaa 完完例例9求函数求函数 的导数的导数.)2(21ln32 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(2131)1(112122 xxxxy)2(31211212 xxx.)2(3112 xxx完完例例求导数求导数.log/1 xxxey 解解.ln1lnlnlogxxeex )()(log/1 xxxey xxexln1ln1 xxexxxxln1ln1ln12.ln1ln1212 xxxxxx完完例例12 求函数求函数 的导数的导数. 21, 110,2)(2xxxxxf解解 求分段函数的导数时求分段函数的导数时, 在每一段

25、内的导数可按在每一段内的导数可按一般求导法则求之一般求导法则求之, 但在分段点处的导数要用左但在分段点处的导数要用左右导数的定义求之右导数的定义求之.当当 时时,10 x, 2)2()( xxf当当 时时,21 x,2)1()(2xxxf 当当 时时,1 x2122lim1)1()(lim)1(11 xxxfxffxx121lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx2)1(lim11lim121 xxxxx由由 知知, 2)1()1( ff. 2)1( f所以所以.21,210, 2)( xxxxf完完例例13 已知已知 可导可导,)(uf求函数求函数 的导数的导数.)(sec

26、xfy 解解)(sec)(sec )(sec xxfxfyxxxftansec)(sec 注注:求此类含抽象函数的导数时求此类含抽象函数的导数时, 应特别注意记号应特别注意记号表示的真实含义表示的真实含义, 此例中此例中,)(sec xf 表示对表示对xsec求导求导, 而而 表示对表示对 求导求导. )(sec xfx例例求导数求导数),(tan)(tanxfxfy 且且)(xf可导可导.解解).()(sec)(tansec22xfxfxfxy 完完例例求函数求函数 (n为常数为常数)的导数的导数.)(sinnnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy 11cos)(sin

27、)(sin nnnnnnxxxxn )(sincos113nnnnnxfxxn ).(sin)(sin)(sin1nnnnnxxfx 完完1. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：;ln41tan2)1(2xxxy ,.)2(bxaxbay 且且ba,(为常数，为常数，).0, 0 ba.11ln)3(22xxxxy 课堂练习课堂练习2. 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，可导，且且),(00 xgu 则则)(xgf在在0 x处处 ( ) .(1) 必可导；必可导；(2) 必不可导；必不可导； (3) 不一定可导不一定可导.3. 幂函数在其定义域内幂函数在其定义域

28、内( ).(1) 必可导；必可导；(2) 必不可导；必不可导； (3) 不一定可导不一定可导.课堂练习课堂练习完完;ln41tan2)1(2xxxy 解解xxxxxxy4)1()1(tan2)1()tan2()1(2222 .4)1(tan4)1(sec22222xxxxx ,.)2(bxaxbay 解解 bxbxaxbaaxbay.)2(.ln.1bbxbxabxbabaaxba 且且ba,(为常数，为常数，).0, 0 ba.11ln)3(22xxxxy 解解(3) 先化简，再求导先化简，再求导xxxxy 11ln212222221)1(ln21xxxx ),1ln(2xx )1(1122

29、 xxxxy分母分母有理化有理化 11221122xxxx.112 x2. 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，可导，且且),(00 xgu 则则)(xgf在在0 x处处 ( ) .(1) 必可导；必可导；(2) 必不可导；必不可导； (3) 不一定可导不一定可导.解解(3) .(1) 例例|)(uuf 在在0 u处不可导，处不可导，xxgusin)( 在在0 x处不可导，处不可导，|sin|)(xxgf 在在0 x处不可导处不可导;解解(2) 例例|)(uuf 在在0 u处不可导，处不可导，4)(xxgu 在在0 x处可导，处可导，44|)(xxxgf 在在0 x

30、处可导处可导.完完3. 幂函数在其定义域内幂函数在其定义域内( ).(1) 必可导；必可导；(2) 必不可导；必不可导； (3) 不一定可导不一定可导.解解(3) (1)例例),(,)(32 xxxf在在0 x处不可导；处不可导；(2)例例),(,)(2 xxxf在定义域内处处可导在定义域内处处可导. 完完作业作业Page 97 Ex. 1 (单号题单号题) Ex. 4 (单号题单号题) Ex. 5 (单号题单号题) Ex. 6, Ex. 11, Ex. 122.3 导数的应用导数的应用 瞬时变化率瞬时变化率 质点的垂直运动模型质点的垂直运动模型 经济学中的导数经济学中的导数三、经济学中的导数

31、三、经济学中的导数 1、边际分析、边际分析在经济学中在经济学中, ,函数的导函数称为函数的导函数称为边际函数边际函数. .设函数设函数)(xfy 可导可导, ,函数的增量与自变量增量的函数的增量与自变量增量的比值比值xxfxxfxy )()(00 表示表示)(xf在在),(00 xxx 内的内的平均变化率平均变化率(速度速度). .根据导数的定义根据导数的定义, ,导数导数)(0 xf 表示表示)(xf在点在点0 xx 处的处的变化率变化率, ,在经济学中在经济学中, ,称其为称其为)(xf在点在点0 xx 处的处的边际函数值边际函数值. .当函数的自变量当函数的自变量x从从0 x改变一个单位

32、改变一个单位(即即)1 x 时时, ,函数的增量为函数的增量为)()1(00 xfxf 但当但当x改变的改变的“单位单位”很小时很小时, ,或或x的的“一个单位一个单位”与与0 x值相对来比很小时值相对来比很小时, ,则有近似式则有近似式),()()1(000 xfxfxf 它表明它表明:当自变量在当自变量在0 x处产生一个单位的改变时处产生一个单位的改变时, ,函数函数)(xf的改变量可近似地用的改变量可近似地用)(0 xf 来表示来表示. .经济学中经济学中, , 解释边际函数值的具体意义时解释边际函数值的具体意义时, ,去去“近似近似”二字二字. .在在通常略通常略例如例如, ,设函数设

33、函数,2xy 则则,2xy 边际函数值边际函数值,20)10( y它表示当它表示当10 x时时, ,变一个单位变一个单位, ,y(近似近似)改变改变20个单位个单位. .在点在点10 x处的处的x改改边际收入与边际利润边际收入与边际利润在估计产品销售量在估计产品销售量x时时, ,给产品所定的价格给产品所定的价格)(xP称为称为价格函数价格函数, ,可以期望可以期望)(xP应是应是x的递减函数的递减函数. .于是于是收入函数收入函数)()(xxPxR 利润函数利润函数)()()(xCxRxL )(xC是成本函数是成本函数)收入函数的导数收入函数的导数)(xR 称为称为边际收入函数边际收入函数;利

34、润函数的导数利润函数的导数)(xL 称为称为边际利润函数边际利润函数. .为求最大利润为求最大利润, ,令令)(xL 0)()( xCxR)()(xCxR 例例4 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为,1001000Px 求量求量300 x时的总收入时的总收入, , 平均收入和边际收入平均收入和边际收入. .解解 销售销售x件价格为件价格为P的产品收入为的产品收入为,)(xPxR 由需求函数由需求函数Px1001000 xP01. 010 代入得总收入函数代入得总收入函数.01. 010)01. 010()(2xxxxxR 平均收入函数为平均收入函数为.01. 010)()(xxxRxR

35、边际收入函数为边际收入函数为.02. 010)01. 010()(2xxxxR 求当需求当需平均收入为平均收入为, 730001. 010)300( R边际收入为边际收入为. 430002. 010)300( R当当300 x时的总收入为时的总收入为,210030001. 030010)300(2 R2、弹性分析、弹性分析前面所引入的边际函数的概念前面所引入的边际函数的概念实际上是研究函数实际上是研究函数的绝对改变量与绝对变化率的绝对改变量与绝对变化率, ,经济学中常需研究一经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况个变量对另一个变量的相对变化情况, ,为此引入下为此引入下面定义面定义

36、. .定义定义设函数设函数)(xfy 可导可导, ,函数的相对改变量函数的相对改变量)()()(xfxfxxfyy 与自变量的相对与自变量的相对改变量改变量,/xxyy xx 之比之比称为函数称为函数)(xf从从x到到xx 两点间的弹性两点间的弹性(或相对变化率或相对变化率). .而极限而极限xxyyx/lim0 称为函数称为函数)(xf在点在点x的的弹性弹性(或或相对变化率相对变化率), ,记为记为xxyyEExxy/lim0 yxxyx 0lim.yxy 或或灵敏度灵敏度. .数值上数值上, ,)(xfExE表示表示)(xf在点在点x处处, ,的改变时的改变时, ,函数函数)(xf近似地改

37、变近似地改变)%,(xfExE当当x产生产生1%用问题中解释弹性的具体意义时用问题中解释弹性的具体意义时, ,通常略去通常略去“近似近似”二字二字. .在应在应注注:函数函数)(xf在点在点x的弹性的弹性ExEy反映随反映随x的变化的变化)(xf变化幅度的大小变化幅度的大小, ,即即)(xf对对x变化反应的强烈程度变化反应的强烈程度例如例如, ,求函数求函数xy23 在在3 x处的弹性处的弹性. .解解, 2 yyxyExEy ,232xx 3 xExEy32332 .3296 完完需求弹性需求弹性设需求函数设需求函数),(PfQ 这里这里P表示产品的价格表示产品的价格. .是是, ,可具体定

38、义该产品在价格为可具体定义该产品在价格为P时的时的需求弹性需求弹性如如)(P PPQQP/lim0 QPPQP 0lim)()(PfPfP 当当P 很小时很小时, ,)()(PfPfP ,)(PQPfP 故需求弹性故需求弹性 近似地表示在价格为近似地表示在价格为P时时, ,价格变动价格变动1%, ,需求量将变化需求量将变化%, 通常也略去通常也略去“近似近似”二字二字. .于于下下:注注: 一般地一般地, ,需求函数是单调减少函数需求函数是单调减少函数, ,需求量随价需求量随价格的上涨而减少格的上涨而减少(当当), ,0 P 时时, ,0 Q 故需求弹性故需求弹性注注: 一般地一般地, ,需求

39、函数是单调减少函数需求函数是单调减少函数, ,需求量随价需求量随价格的上涨而减少格的上涨而减少(当当), ,0 P 时时, ,0 Q 故需求弹性故需求弹性一般是负值一般是负值, ,它反映产品需求量对价格变动反应的它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度强烈程度(灵敏度灵敏度). .完完例例6 设某种商品的需求量设某种商品的需求量x与价格与价格P的关系为的关系为.411600)(PPQ (1) 求需求弹性求需求弹性);(P (2) 当商品的价格当商品的价格10 P(元元)时时, , 再上涨再上涨1%, ,品需求量变化情况品需求量变化情况. .解解 (1) 需求弹性为需求弹性为)()()(PQPQ

40、PP PPP 41160041ln411600PPP 41160041160041ln P求该商求该商P)2ln2( .39. 1P 需求弹性为负需求弹性为负, ,说明商品价格说明商品价格P上涨上涨1%时时, ,商品需求商品需求Q将减少将减少1.39%. .量量这表示价格这表示价格10 P(元元)时时, , 价格上涨价格上涨1%, , 商品的需求商品的需求若价格降低若价格降低1%, ,加加13.9%. .(2)当商品价格当商品价格10 P(元元)时时, , 9 .131039. 1)10( 13.9%. .量将减少量将减少商品的需求量将增商品的需求量将增内容小结内容小结1. 边际函数边际函数

41、函数的变化率函数的变化率函数函数)(xfy 在在0 xx 处的处的边际函数值边际函数值为为.lim)(00 xyxfx 函数函数)(xfy 在在),(00 xxx 内的内的平均变化平均变化率率为为;xy 2. 函数的弹性函数的弹性 函数的相对变化率函数的相对变化率函数函数)(xfy 在点在点x的的弹性弹性.limlim00yxyyxxyxxyyExEyxx 它反映了它反映了)(xf对对x变化反应的强烈程度或变化反应的强烈程度或灵敏度灵敏度 .作业作业Page 102Ex. 1Ex. 6Ex. 92.4 高阶导数高阶导数高阶导数的定义高阶导数的定义定义定义 如果函数如果函数的导数的导数在点在点处

42、可导处可导, ,)(xf)(xf x即即xxfxxfxfx )()(lim) )(0存在存在, ,则称则称为函数为函数) )( xf)(xf在点在点处的处的二阶二阶x记为记为导数导数, ,二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数, ,记为记为),(xf ,y .33dxyd),(xf ,y 或或.)(22dxxfd22dxyd一般地一般地, ,的的阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的)(xf1 n)(xfn阶导数阶导数, ,记为记为),()(xfn,)(nynndxyd.)(nndxxfd或或相应地相应地, ,)(xf称为称为零阶导数零阶导数; ;)(xf 称为称为一阶导数一阶导数

43、. .注注: :二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数. .完完计算高阶导数的方法计算高阶导数的方法1. .直接法直接法: : 由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数. .例如例如, , baxy 则有则有,ay , 0 y).3(0,)( nyn,xey 通过导数的通过导数的则有则有,xey ,xey ,xey ).3(,)( neyxn一般地一般地, ,xney )(2. .间接法间接法: : 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, ,四则运算四则运算, ,变量代换等方法变量代换等方法, ,求出求出n阶导数阶导数. .见例见例7-

44、例例8. .完完例例2解解设设,arctan)(xxfy ,112xy 211xy,)1(222xx ()()xyx 2221,)1()13(2322xx 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 完完求求).0(f 例例4 设设(),ayxaR求求( ).ny解解( )(1)(1)(1),na nya aanxn 若若a为自然数为自然数,n则则( )( )()!,nnnyxn(1)( !)0.nyn ,1 aaxy,)1()(21 aaxaaaxy,)2)(1()1(32 aaxaaaxaay例例5设设ln(1),yx求求( ).ny解解(4)43!,(1)yx ( )1(1)!( 1

45、)(1)nnnnyx (1,0!1).n 完完,11xy ,)1(12xy ,)1(! 23xy 例例6解解y y ,22sin2 kxky kxkcos ,2sin kxk)( y 22sin2 kxk 2cos2 kxk)( y 22cos3 kxk求求sinykx , , 求求.)(ny,23sin3 kxk)(ny,2sin nkxkn即即.2sin nkxkn)()(sinnkx同理可得同理可得)()(cosnkx.2cos nkxkn完完常用初等函数的高阶导数公式常用初等函数的高阶导数公式aaanxnxln)()( ),0( a xnxee)()( )2sin()(sin)( nk

46、xkkxnn )2cos()(cos)( nkxkkxnn.)1()1()()(nnxnx .)!1()1()(ln)1()(nnnxnx .!)1()1(1)()( nnnxnx完完(1)(2)(3)(4)(5)(6)莱布尼茨公式莱布尼茨公式高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则设函数设函数)(xu和和)(xvn具有具有 阶导数阶导数, ,则则(1);()()()()()()(xvxuxvxunnn (2);()()()(xCuxCunn (3);()()()(baxuabaxunnn (4)vunnvnuvuvunnnn )2()1()()(! 2)1()()()()(!)1()1(nkkn

47、uvvukknnn .0)()( nkkknknvuC例例7解解设设,112 xy求求.)100(y)1)(1(1 xx,111121 xx)100(y.)1(1)1(12!100101101 xx完完112 xy 101101)1(!100)1(!10021xx例例8解解因为因为所以所以于是于是, , 利用高阶导数运算法则和已知高阶导数公利用高阶导数运算法则和已知高阶导数公式式, , 得得设设),321ln(2xxy 求求.)(ny)321ln(2xxy ).31ln()1ln(xx )(nynnnnnnxnxn)31()!1(3)1()1()!1()1()1(11 )()()31ln()1

48、ln(nnxx .)1(1)31(3)1()!1(1 nnnnxxn完完)(ny1. 求函数求函数xxylncos2 的二阶导数的二阶导数.完完2. 设设)(xg 连续，连续， 且且),()()(2xgaxxf 求求).(af 3. 求函数求函数232 xxxy的的n阶导数阶导数 .课堂练习课堂练习1. 求函数求函数xxylncos2 的二阶导数的二阶导数.解解xxxxxy2coslnsincos2 xxxx2cosln2sin 22cossincos22sinln2cos2xxxxxxxxxy .cos2sin2ln2cos222xxxxxx 完完2. 设设)(xg 连续，连续， 且且),(

49、)()(2xgaxxf 求求).(af 解解)(xg可导，可导，).()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在 . 故用定义求故用定义求).(af axafxfafax )()(lim)(axxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax ).(2ag 完完3. 求函数求函数232 xxxy的的n阶导数阶导数 .解解)2)(1(11232 xxxxxx)2)(1(121 xxx,1122 xx( )( )( )( )( )( )nnnyxx212111)1(!)1()2(!)1(2 nnnnxnxn.)1(1)2(2!)1(11 nnnxxn完完作业作

50、业Page 106 Ex. 1 (7) (8) (9) Ex. 5 Ex. 62.5 隐函数的导数隐函数的导数 隐函数的导数隐函数的导数 对数求导法对数求导法 参数方程表示的函数的导数参数方程表示的函数的导数4,xdyyedx则则例例：4443()4xxexx e lncos(),xdyyedx则则1cos()xe( sin()xe xe( )0f x 已已知知且且可可导导，求求下下列列例例：函函数数的的导导数数. .2()(1)( )(2)( )(3)ln(sin )(4)f xfxxf xfxeln|_.yxy ，则则1x0( )xyxyeeyy x 思思求求由由方方程程确确定定考考：的的

51、函函数数的的导导数数. .0(0)( )xxyexyy x 求求由由方方程程确确例例：定定的的函函数数的的导导数数. .一一、隐函数的导数、隐函数的导数定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用用复合函数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导.例例.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数

52、求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2解解在题设方程两边同时对自变量在题设方程两边同时对自变量x求导求导, , 得得解得解得求由方程求由方程所确定的函数所确定的函数1ln yxy在点在点处的切线方程处的切线方程. .)(xfy )1 , 1(M01 yyxyy12 xyyy在点在点处处)1 , 1(M1111211 yxy21 于是于是, , 在点在点处的切线方程为处的切线方程为)1 , 1(M)1(211 xy即即. 032 yx

53、完完例例解解设设, 144 yxyx求求在点在点处的值处的值.y )1 , 0(方程两边对方程两边对求导得求导得x, 04433 yyyxyx)1(代入代入1, 0 yx得得;4110 yxy将方程将方程(1)两边再对两边再对求导得求导得x, 04)(122123222 yyyyyxyx代入代入, 1, 0 yx4110 yxy.16110 yxy二、对数求导法二、对数求导法问题问题32(1)1(1),(4)xxxyxxe 的求导问题的求导问题. .xxytan 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, ,然后利用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数. .

54、适用于多个函数相乘适用于多个函数相乘设设)()()(xvxuxf ),0)( xu两边取对数得两边取对数得),(ln)()(lnxuxvxf )()(xvxu的情形的情形. .指函数指函数和幂和幂两边对两边对x求导得求导得)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf 从而从而完完.)()()()(ln)()()()( xuxuxvxuxvxuxfxv例例4解解 等式两边取对数得等式两边取对数得设设),0(sin xxyx求求.yxxylnsinln 两边对两边对求导得求导得x,1sinlncos1xxxxyy xxxxyy1sinlncos.sinlncossin xxxxxx

55、完完例例5解解在题设等式两边取对数在题设等式两边取对数等式两边对等式两边对x求导求导, , 得得解得解得设设,)(sin)(cosyxxy 求求.yxyyxsinlncosln .sincossinlncossincoslnxxyxyyyyxy .sinlntancotcoslnxyxxyyy 完完例例6解解等式两边取对数得等式两边取对数得设设),1()4(1)1(23 xexxxyx求求.y,)4ln(2)1ln(31)1ln(lnxxxxy 上式两边对上式两边对求导得求导得x, 142)1(3111 xxxyy.142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx完完例例7解解求导数

56、求导数.xxxxxxy ,lnlnxxxxxeexy )ln()ln(1lnlnxxexxeyxxxxxx )1(ln1 xxx)1(ln1 xxx完完)(lnln)(xxxxxxxxx .ln)1(ln1 xxxxxxxxx三、参数方程表示的函数的导数三、参数方程表示的函数的导数若参数方程若参数方程( )( )xtyt 确定确定 与与间的函数关系间的函数关系, ,yx称此称此函数关系所表达的函数为函数关系所表达的函数为例如例如, , 22tytx,2xt ,42222xxty .2xy 由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数.存在问题存在问题 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消

57、参如何求导?一般地一般地, ,设设)(tx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数),(tx )(ty 都可导都可导, ,且且, 0)( t 则由则由复合函数及反函数的求导法则得复合函数及反函数的求导法则得).(1xy ),(1xt 则变量则变量 与与yx构成复合函数关系构成复合函数关系,)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 即即.dtdxdtdydxdy 若函数若函数),(tx )(ty 二阶可导二阶可导, ,则则dxdtttdtddxdydxddxyd )()(22 即即223( ) ( )( )( )( )d yttttdxt 2( ) ( )( )( )

58、1( )( )tttttt 完完例例8所表示所表示解解求由参数方程求由参数方程 )1ln(arctan2tytx的函数的函数的导数的导数. .)(xyy dtdxdtdydxdy 221112ttt .2t 完完例例解解求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程 )cos1()sin(tayttax所表示的函数所表示的函数的二阶导数的二阶导数. .)(xyy dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin ),2(Znnt dxdydxddxyd22 ttdxdcos1sindtdxttdtd1cos1sin 2)cos1(1)cos1(1cos11tatat ).,2(Znn

59、t 完完课堂练习课堂练习1.求由方程求由方程)ln(sinyxy 所确定函数的所确定函数的二阶导数二阶导数.22dxyd2.,)1(tan2xxy 求求.y 1.解解求由方程求由方程)ln(sinyxy 所确定函数的所确定函数的二阶导数二阶导数.22dxyd方程两边对方程两边对x求导得求导得),1(1cosyyxyy ,1cos)(1 yyxy故故21cos)(1cos)( yyxyyxy21cos)(sin)(cos)1( yyxyyyxyy.1cos)(sin)(cos)(32 yyxyyxyyx2.,)1(tan2xxy 求求.y 解一解一这是幂指函数，用对数求导法，这是幂指函数，用对数

60、求导法，取对数，得取对数，得).1ln(tanln2xxy 两边求导，得两边求导，得,12tan)1ln(sec1222xxxxxyy 即即.1tan2)1ln(sec)1(222tan2 xxxxxxyx先两边先两边内容小结内容小结1. 隐函数的导数隐函数的导数隐函数即由方程隐函数即由方程0),( yxF所确定的函数所确定的函数).(xfy 直接在方程直接在方程0),( yxF两边对两边对x求导再解出求导再解出,y 但应注意但应注意F对变元对变元y求导时，求导时，要利用复合求导法则要利用复合求导法则 .2. 对数求导法对数求导法当函数式较复杂当函数式较复杂(含乘、除、乘方、开方、幂指含乘、除