随机变量及其分布

1、数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计1 1、随机变量及其分布函数、随机变量及其分布函数 随机变量就是随机变量就是“取值随机会而定取值随机会而定”的变量，正的变量，正如如随机事件是随机事件是“发生与否随机会而定发生与否随机会而定”的事件。机会的事件。机会表表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一种要看机会，即有一定的概率。到底出现哪一种要看机会，即有一定的概率。 例如，掷一枚骰子出现的点数例如，掷一枚骰子出现的点数X就是一个随机就是一个随机变量，它可以取变量，它可以取1,2,3,4,5,6的六个值，到底

2、取哪个值的六个值，到底取哪个值要等掷了骰子后才知道。可见，随机变量就是试验要等掷了骰子后才知道。可见，随机变量就是试验结果的函数。结果的函数。数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 设随机试验设随机试验E：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H与反面与反面T的出现情况。的出现情况。 样本空间为样本空间为=H，T，现在我们将，现在我们将试验的每个试验的每个结果结果(样本点样本点)与一个实数建立联系与一个实数建立联系,即相当于在即相当于在上定上定义一个函数义一个函数:0,( )1,.TXXH 这样一来这样一来,“出现正面出现正面H”的事件为的事件为X=1, “出

3、现反面出现反面T”的事件为的事件为X=0,且易知且易知.2101XPXP数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 设随机试验设随机试验E：测试灯泡寿命：测试灯泡寿命(小时小时). 样本空间为样本空间为 =t|t0，现在我们将，现在我们将试验的灯泡寿试验的灯泡寿命记为命记为X,令令( ),XXtt 事件事件“灯炮寿命在灯炮寿命在10002500小时小时”就可表示就可表示为为2500100 X则则X是定义在样本空间为是定义在样本空间为 =t|t0上的函数，其值域上的函数，其值域为为| 且取值具有随机性且取值具有随机性., 0XR数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论

4、与数理统计概率论与数理统计一、随机变量一、随机变量X=X() ( ) X,Y,Z, , 数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 普通函数的定义域是实数普通函数的定义域是实数集集, ,而随机变量的定义域是样本空而随机变量的定义域是样本空间间( (样本点不一定为实数样本点不一定为实数); ); 随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区别 普通函数随自变量的变化所取的函数值无概普通函数随自变量的变化所取的函数值无概率可言率可言, ,而随机变量随样本点而随机变量随样本点( (试验结果试验结果) )的变化所取的变化所取的函数值是具有一定概率的的函数值是具有一定概率的,

5、 ,且因试验的随机性使得且因试验的随机性使得随机变量的取值也具有随机性随机变量的取值也具有随机性, ,即知道随机变量的取即知道随机变量的取值范围值范围, ,但在一次试验前无法确定它取何值但在一次试验前无法确定它取何值. . 数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计用随机变量来描述随机事件用随机变量来描述随机事件 一般一般, ,对于任意实数集对于任意实数集L,L,随机变量随机变量X X在在L L上取值上取值, ,记记为为XL,XL,它表示事件它表示事件|X()L,|X()L,即一切使随机变即一切使随机变量量X X取值在取值在L L上的样本点所构成的事件上的样本点所构成

6、的事件, ,从而从而|( )P XLPXL 在随机试验在随机试验E E的样本空间的样本空间上定义了一个随机变上定义了一个随机变量后，就可以利用它来表示随机事件。量后，就可以利用它来表示随机事件。 可见，随机事件是包含在随机变量这个更广的概可见，随机事件是包含在随机变量这个更广的概念之中。随机变量的研究是概率论的中心内容。念之中。随机变量的研究是概率论的中心内容。数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 例例: :在试验在试验E:“E:“掷一枚骰子掷一枚骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数”中中, , 如果定义随机变量如果定义随机变量X=k(=“X=k(=“出现出现

7、k k点点”,k=1,2,3,4,5,6),”,k=1,2,3,4,5,6),则事件则事件“出现偶数点出现偶数点”就可表示就可表示为为 显然显然,X1,3,5,X1,3,5表示表示“出现奇数点出现奇数点”, , X1 X1为为不可能事件不可能事件,XR,XR为为必然事件必然事件, ,等等等等. .X2,4,6,X2,4,6,事件事件“出现出现3 3点点”就可表示为就可表示为 X=3.X=3.数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 总之，随机变量总之，随机变量X有如下有如下: X是定义在样本空间是定义在样本空间上的单值实值函数上的单值实值函数,其定其定义域为样本空间

8、义域为样本空间,值域为实数集值域为实数集 ; 利用利用X可以描述随机事件可以描述随机事件; X的取值是随机的的取值是随机的,且取值具有一定的概率且取值具有一定的概率.随机变量随机变量离散型离散型非离散型非离散型连续型连续型其它其它数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计在实际问题中，有两类重要的随机变量：在实际问题中，有两类重要的随机变量： 1、离散型随机变量、离散型随机变量取值有限或可列无限取值有限或可列无限实例实例1 观察掷一个骰子出现的点数。随机变量观察掷一个骰子出现的点数。随机变量X的可的可 能值是能值是1，2，3，4，5，6； 则事件则事件“出现偶出现偶数

9、数 点点”就可以表示为就可以表示为XL=|X() L,其中其中 L=2,4,6；事件；事件“出现出现3点点”可表示为可表示为X=3； X1为不肯能事件；为不肯能事件；XR 为必然事件；为必然事件；实例实例2 若随机变量若随机变量X记为记为“连续射击，直至命中时的连续射击，直至命中时的 射击次数射击次数”，则，则X可能值可能值1，2，3，数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 2、连续型随机变量、连续型随机变量取值充满一个区间取值充满一个区间实例实例1 随变量随变量X为为“灯泡的寿命灯泡的寿命“，则，则X的取的取值值 范围为范围为 ;0,实例实例2 随机变量随机变量

10、X为为“测量某零件尺寸时的测量误测量某零件尺寸时的测量误 差差”，X的取值范围为的取值范围为(a,b)的任意值。的任意值。数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计二、分布函数二、分布函数 设设X X为随机变量为随机变量,x,x为为任意实数任意实数, ,函数函数)(xXPxF称为随机变量称为随机变量X X 分布函数分布函数F(x)F(x)是随机事件是随机事件XxXx的的概率概率, ,它是一它是一个个普通函数普通函数, ,因而可用微积分的方法来研究随机变量因而可用微积分的方法来研究随机变量. .xxX随机点随机点实数点实数点定义域为定义域为全体实数全体实数数学科学学院数

11、学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什么区二者有什么区 别？别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X X是随机变量是随机变量, x, x是参变量是参变量. .F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率. .xxXPxF),()(数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落随机点落在区间在区间（ x1 , x2 的概率为的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X

12、x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X X的分布函的分布函数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述. . xxXPxF),()(数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 分布函数分布函数F(x)F(x)具有下列性质具有下列性质: : 、 0F(x)1; 、F(-)=0,F(+)=1；确定待定参数确定待定参数 、F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,且在间断点处是且在间断点处是右连续函数。右连续函数。 确定待定参数确定待定参数注意这些性注意这些性质在图形上质在图形上的表现的表现 、

13、F(x)是单调不减函数是单调不减函数,即当即当x1x2时有时有 F(x1) F(x2) 。 、PaXb=F(b)-F(a) 分布函数计算概率分布函数计算概率 函数函数F(x)为一个随机变量的分布函数的充要条件为一个随机变量的分布函数的充要条件是是F(x)满足上述前满足上述前4条。条。数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 证明证明,bXaaXbX 因因为为, bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以).()(aFbFbXaP 故故(3) (0).P XaF a(4) 1(0).P X

14、aF a (5) ( )(0).P XaF aF a数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计【例【例1 1】)(arctan)(xxBAxF 设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为 试求试求: (1) : (1) 系数系数A A，B B；（；（2 2）X X落在（落在（-1-1，11中的概率。中的概率。,2)arctan(lim)(0BAxBAFx解解（1）因为）因为 F(-)=0， F(+)=1,所以所以,2)arctan(lim)(1BAxBAFx解得解得1,21BA数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计（2）由分布函数得）由分布函数得) 1() 1 (11FFXP21)4121()4121(数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计0( )00 xABexF xx0【例【例2】 已知随机变量已知随机变量X X在整个实数轴上取值，其在整个实数轴上取值，其 分布函数为：分布函数为： 其中其中 为常数，求常数为常数，求常数A，B的值。的值。 由分布函数的性质可知由分布函数的性质可知F(+)=A=1， 由分布函数的右连续性可知由分布函数的右连续性可知F(0)=A+B=0 解得解得A=1，B=-1数学科学学院数学科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数