导数及其应用单元复习与巩固 (2)

1、导数及其应用单元复习与巩固知识网络 目标认知考试大纲要求：1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念.2熟记基本导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；3掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.4能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数 的最大值、最小值.对多项式函数一般不超过三次. 5了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的概念和几何意义.直观了解微积分 基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分.6应用定

2、积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题.重点：导数的概念及几何意义；用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数的最大值、最小值；正确计算定积分，利用定积分求面积.难点：复合函数的导数；利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习；将实际问题化归为定积分问题.学习策略：导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等函数问题提供了一般的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间、极值与最值以及有关的实际问题等，在具体问题中，应根据问题的具体条件适当选用方法。知识要点梳理知识点一： 导数的相关概念1导

3、数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量x，函数y相应有增量.若极限存在，则此极限称为在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导.即：（或）注意：增量x可以是正数，也可以是负数.2导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况.3导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即.也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线的

4、斜率是，切线方程为.知识点二：导数的运算1常见基本函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8），2函数四则运算求导法则设，均可导（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）3复合函数的求导法则一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或知识点三：导数的应用1、确定函数的单调区间设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数.注意：在区间(a,b)内，是f(x)在

5、(a，b)内单调递增的充分不必要条件！2、函数的极值一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)<f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值=f(x0)；(2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作 y极小值=f(x0).注意：极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.3、函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可

6、以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值.注意：最值与极值的区别与联系：函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.知识点四：定积分1定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3,n），作和式，当

7、时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.2定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形面积的负值； 在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在

8、轴下方的图形的面积赋予负号；在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.3定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数在区间上是奇函数，则； 若函数在区间上是偶函数，则.（5）基本公式：，知识点五：微积分基本定理微积分基本定理（或牛顿莱布尼兹公式）:如果在上连续，且，则。其中叫做的一个原函数.注意：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.由于也是的原函数，其中c为常数.知识点六：定积分的应用1应用定积分求曲边梯形的面积（1）如

9、图，由三条直线，轴及一条曲线()围成的曲边梯 形的面积为S,则；（2）如图，由三条直线，轴及一条曲线()围成的曲边梯 形的面积为S,则；（3）如图，由曲线及直线，围成图形的 面积为S,则.2利用定积分解决物力问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1、求曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程.注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；

10、若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、利用导数判断函数单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数；(3)在定义域内解不等式；(4)确定f(x)的单调区间.3、求函数的极值的基本步骤确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值. (最好通过列表法)4、利用导数求区间a，b上函数y=f(x)的最大与最小值的步骤求函数y=f(x)在(a，b)内的导数求函数y=f(x)在(a，b)内的极值将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.5、求定积分的方法：（1）用定义求定积