二重积分概念

1、第二十一章 二重积分1 二重积分概念教学目的与要求：1.掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的可积条件.2.了解有界闭区域上的连续函数的可积性.3.了解平面点集可求面积的充要条件.教学重点：二重积分的定义和性质.教学难点：二元函数可积条件.教学过程一、平面图形的面积（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念直线网分割平面图形P，的网眼中小闭矩形的分类：（）含的全是P的内点,（）含的全是P的外点（不含P的点）,（）内含有P的边界点,记为的第类的面积的和记为的第和第三类的面积的和记=，称为P的内面积记=，称为P的外面积定义1 若平面图形P的内面积等于它的外面积，则称P为可求面积，并称其共同值=

2、为P的面积（约当，黎曼测度）定理21.1 平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的，总存在直线网，使得. （2）证明 必要性设平面有界图形的面积为由定义1，有=对任给的，由及的定义知道，分别存在直线网与，使得，记为由与这两个直线网合并的直线网，可证得， (3)于是由（3）可得，从而得到对直线网有 ，充分性对任给的，存在直线网，使得（2）式成立但，所以 ，由的任意性，因此=，因而平面图形P可求面积推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积，即对任给的，存在直线网，使得，或对任给的，平面图形P能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖定理21.2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的

3、边界K的面积为零 证明 由定理211，P可求面积的充要条件是：对任给的，存在直线网，使得由于，所以也有由上述推论，P的边界K的面积为零定理21.3 若曲线K为由定义在上的连续函数的图象，则曲线K的面积为零证明 由于在闭区间上连续函数，从而一致连续因而对任给的，总存在，当把区间分成个小区间并且满足时，可使在每个小区间上的振幅都成立现把曲线K按自变量分成个小段，这时每一个小段都能被以为宽，为高的小矩形甩覆盖由于这个小矩形面积的总和为，所以由定理211的推论即得曲线K的面积为零还可证明得到：由参量方程所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零二、 二重积分的定义及其存在性背景：求某曲顶柱体的体积时，

4、通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义定义设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，用任意曲线把分成个可求面积的小区域：以表示的面积，这些小区域构成的一个分割，以表示的直径，称为分割的细度，在每一个上任取一点（），作和式： ，称之为函数在上属于分割的一个积分和定义2 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作=，其中称为二重积分的被积函数，称为积分变量

5、，称为积分区域几何意义：当时，二重积分在几何上表示以为曲顶，为底的曲顶柱体的体积.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为D直角坐标系下可表示为： =.可积的必要条件：在可求面积的区域D上有界函数在可求面积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个可求面积的小区域，令，关于分割T的上和与下和：,.定理21.4在D上可积的充要条件是：=.定理21.5在D上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在D的某个分割，使得定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积定理21.7 设是定义在有界闭区域D上的有界函数若的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则在D上可积.证明 不失一般性，可

6、设的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上记L的长度为，于是对任给的0，把L等分成段：，在每段上取点，使段与其一端点的弧长为，以为中心作边长为的正方形，则，从而有记，则为一多边形设的面积为，那么，现在把区域D分成两部分第一部分第二部分由于在上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在的分割，使得又记，以表示由与多边形的边界所组成的区域D的分割，则有，其中是在D上的振幅由于在D上有界，故是有限值于是由定理21，5就证明了在上可积.三、二重积分的性质二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：1. 若在区域D上可积，为常数，则在D上也可积，且=2若,在D上都可积，则在D上也可积，且 =.3. 若在和上都可积，且与无公共内点，则在也可积，且=+.4若与在D上可积，且，D，则5若在D上可积，则函数在D上也可积，且.6. 若在D上可积且 mM， D则.这里是积分区域D的面积7(中值定理) 若在