多元复合函数和隐函数的求导法则

1、6.3 多元复合函数和隐函数求导法则631 复合函数的求导法则思考：设， 而，如何求？ 设，而，如何求和？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数及都在点t可导,函数在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数在点t可导,且有.简证1：因为具有连续的偏导数,则它是可微的,即有.又因为，都可导, 因而可微, 即有,代入上式得：,从而.简证2：当t取得增量Dt时,u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz，由、及的可微性,有,令Dt®0,上式两边取极限,即得.注：.推广：设，则对t的导数为：.上述称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2：如果函数

2、，都在点(x,y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数, 则复合函数在点(x,y)的两个偏导数存在, 且有，。推广：设，则，。讨论：(1)设z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y), 则？ 提示:,.(2)设z=f(u,x,y),且u=j(x,y),则？ 提示:,.这里与是不同的,是把复合函数z=fj(x,y),x,y中的y看作不变而对x的偏导数,是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数.与也有类似的区别.3复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理3如果函数u=j(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数, 函

3、数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(x,y),y(y)在点(x,y)的两个偏导数存在, 且有,.例1设z=eusin v,u=xy,v=x+y,求和.解=eusin v×y+eucos v×1=exyy sin(x+y)+cos(x+y),=eusin v×x+eucos v×1=exyx sin(x+y)+cos(x+y).例2 设,而.求和.解.例3设z=uv+sin t,而u=et,v=cos t.求全导数.解=v×et+u×(-sin t)+cos t=etc

4、os t-etsin t+cos t=et(cos t-sin t)+cos t.例4设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数,求及.解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v)，引入记号:，；同理有,等.,. 注:,.例5 设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1);(2).解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u=f(x,y)=f(rcos,rsin)=F(r,),其中x=rcos,y=rsin,.应用复合函数求导法则, 得：,.两式平方后相加, 得：.再求二阶偏导数, 得：.同理可得.两式相加, 得：.632 全微分形式不变性设z=f

5、(u,v)具有连续偏导数,则有全微分：.如果z=f(u,v)具有连续偏导数,而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有连续偏导数,则.由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.例6设z=eusin v,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不变性求全微分.解= eusin vdu+ eucos vdv= eusin v(ydx+xdy )+ eucos v(dx+dy)=( yeusin v+ eucos v)dx+(xeusin v+ eucos v )dy=exy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ exy x

6、 sin(x+y)+cos(x+y)dy.633 隐函数的求导法则1一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)¹0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有. 求导公式证明:将y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式：F(x,f(x)º0,等式两边对x求导得：,由于Fy连续,且Fy(x0,y0)¹0,所以存在(x0,y0)的一个邻域,在这个邻域同Fy¹0,于是得

7、. 例1 验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值. 解 设F(x,y)=x2+y2-1,则Fx=2x,Fy=2y,F(0, 1)=0,Fy(0, 1)=2¹0. 因此由定理1可知,方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x).,;,.隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F(x,y)=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F(x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2 设函数F

8、(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)¹0 ,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有,. 公式的证明:将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F(x,y,f(x,y)º0,将上式两端分别对x和y求导,得,.因为Fz连续且Fz(x0,y0,z0)¹0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,使Fz¹0,于是得,. 例2. 设x2+y2+z2-4

9、z=0,求.解 设F(x,y,z)= x2+y2+z2-4z,则Fx=2x,Fy=2z-4,.2方程组的情形在一定条件下,由个方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0可以确定一对二元函数u=u(x,y),v=v(x,y), 例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以确定两个二元函数,.事实上, xu-yv=0ÞÞÞ,. 如何根据原方程组求u,v的偏导数？隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)

10、=0, 且偏导数所组成的函数行列式:在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零, 则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y), 它们满足条件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0), 并有,.隐函数的偏导数:设方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),则偏导数,由方程组确定;偏导数,由方程组确定.例3设xu-yv=0,yu+xv=1,求,和.解两个方程两边分别对x 求偏导,得关于和的方程组,当x2+y2¹0时,解之得,.两个方程两边分别对x 求偏导,得关于和的方程组,当x2+y2¹0时,解之得,.另解 将两个方程的两边微分得, 即.解之得：,.于是,.例4设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一领域内连续且有连续偏导数, 又. (1)证明方程组在点(x,y,u,v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,