大学物理实验指导(2010)_0

1、 大学物理实验指导书 物理与光信息技术学院大学物理教研室2007年12月 目 录 绪论力学和热学实验1、密度的测量2、单摆实验3、杨氏弹性模量的测定4、切变模量测定5、金属线胀系数的测量6、空气比热容比测定实验 电磁测量7、万用表的使用8、静电场描绘9、示波器原理及使用 光学实验10、分光计的调节及棱镜折射率的测定11、等厚干涉12、迈克尔孙干涉仪的调节和使用 附录 1 绪 论 物理学是一门以实验为基础的科学，物理现象及其规律的研究都以严格的实验事实为基础，并且不断地受到实验的检验。在物理学的发展中物理实验一直起着非常重要的作用，今后在探索和开拓新的科技领域中，物理实验仍然是一门有力的工具。物

2、理实验课是学生进入大学后系统学习科学实验知识和技能的开端，是后继课程的基础。它在培养学生用实验手段去发现、观察、分析和研究问题，最终解决问题的能力方面起着至关重要的作用.。一、物理实验课的目的(1) 通过对物理实验现象的观测和分析,学习运用理论指导实验、分析和解决实验问题的方法.从理论和实际的结合上加深对理论的理解。(2) 培养学生从事科学实验的初步能力。这些能力是指：通过阅读教材或资料，能概括出实验原理和方法的要点；正确使用基本实验仪器，掌握基本物理量的测量方法和实验操作技能；正确记录和处理数据，分析实验结果和撰写实验报告；自行设计和完成某些不太复杂的实验任务等等。(3) 培养学生实事求是的

3、科学态度，严肃认真的工作作风，勇于探索、坚忍不拔的钻研精神以及遵守纪律、团结协作、爱护公物的优良品德。二、物理实验课的主要教学环节为达到物理实验课的目的，学生应重视物理实验教学的三个重要环节。1 实验预习课前要仔细阅读实验教材或有关的资料，并学会从中整理出实验所用原理、方法、实验条件及实验关键，根据实验任务画好记录数据的表格。有些实验还要求学生课前自拟实验方案，自己设计线路图或光路图，自拟数据表格等。因此，课前预习的好坏是实验中能否取得主动的关键。2 实验操作学生进入实验室后应遵守实验室规则，像一个科学工作者那样要求自己，井井有条地布置仪器，安全操作，注意细心观察实验现象，认真钻研和探索实验中

4、的问题。不要期望实验工作会一帆风顺，在遇到问题时，应看作是学习的良机，冷静地分析和处理它。仪器发生故障时，也要在教师指导下学习排除故障的方法。总之，要把重点放在实验能力的培养上，而不是测出几个数据就以为完成了任务。对实验数据要严肃对待，学生要用钢笔和圆珠笔记录原始数据。如确系记错了，也不要涂改，应轻轻划上一道，在旁边写上正确值（错误多的，须重新记录），使正误数据都能清晰可辨，以供在分析测量结果和误差时参考。不要用铅笔记录，给自己留有涂抹的余地，也不要先草记在另外的纸上再誉写在数据表格里，这样容易出错，况且，这已不是“原始记录”了。希望同学注意纠正自己的不良 2习惯，从一开始就不断培养良好的科学

5、态度。实验结束时，将实验数据交教师审阅签字，整理还原仪器后方可离开实验室。3 实验总结实验后要对实验数据及时处理。如果原始数据记录删改较多，应加以整理，对重要的数据要重新列表。数据处理过程包括计算、作图、误差分析等。计算要有计算式（或计算举例），代入的数据都要有根据，便于别人看懂，也便于自己检查。作图要按作图规则，图线要规范，美观。数据处理后应写出实验结果以及对有关问题进行讨论。最后要求撰写一份字迹工整、原理简洁明了、对问题的讨论要有自己的独特见解的实验报告。这是每一位大学生必须具备的报告工作成果的能力。实验报告是实验工作的总结，是交流实验经验、推广实验成果的媒介，学会编写实验报告是培养实验能

6、力的一个方面。写实验报告要用简明的形式将实验结果完整、准确地表达出来，要求文字通顺字迹端正，图表规范，结果正确，讨论认真，实验报告要求在课后独立完成。用学校统一印刷的“实验报告纸”来书写。实验报告通常包括以下 表示做什么实验。实验目的 说明为什么做这个实验，做该实验达到什么目的。实验仪器 列出主要仪器的名称、型号、规格、精度等。实验原理 阐明实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要过程，画出有关的图（原理图或装置图），如电路图、光路图等。数据记录 实验中所测得的原始数据要尽可能用表格的形式列出，正确表示有效数字和单位。数据处理 根据实验目的对测量结果进行计算或作图表示，并对测量结果进行评定，计

7、算不确定度，计算要写出主要的计算公式和 要正确写出实验结果表达式并扼要写出实验结论，必要时还需要与公认值进行比较。问题讨论 讨论实验中观察到的异常现象及其可能的解释，分析实验误差的主要来源，对实验仪器的选择和实验方法的改进提出建议，简述自己做实验的心得体会，回答实验思考题。实验报告必须在做完实验一周内完成，按时交实验报告。实验报告是学生实验成绩考核的主要依据，学生必须认真进行实验总结，撰写合格的实验报告，努力提高科学实验的表达能力。 3第一章 测量误差与数据处理误差理论及数据处理，是一切实验结果中不可缺少的基本内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科，随着科技事业的发展，近年来误差理

8、论的基本概念和处理方法也有很大发展，误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差的性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对测量结果作出评定，最大限度地减少测量误差，或指出减少测量误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。本课程仅限于介绍误差分析的初步知识，着重几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证。第一节律。进行物理实验，不仅要进行定性的观察，而且还要进行定量的测量，以取得物理量数量的表征。测量就是将待测量与同类标准量（量具）进行比较，得出结果，这个比较的过程就叫测量，比较的结果记录下来就是实验数据。测量数据应包含测量值的大小和单位，二者缺一

9、不可。一、测量的分类根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测物体的长，用天平称衡物体的质量，用电流表测电流等，都是直接测量。间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出所要求的物理量。例如钢球的直径D由直接测量测出，则由公式V=D36求出钢球的体积就是间接测量。 物理实验中有直接测量，也有间接测量。但大量的物理量是间接测量量，这是因为在某些情况下实现直接测量比较复杂，或者说直接测量精度不高。此外，根据测量条件来分，有等精度测量和非等精度测量。等精度测量是指在同一（相同）条件下进行的多次测量。如同一个人，用同一个仪器，每次测量时周围环境条件相

10、同，等精度测量每次测量的可靠程度相同。反之，若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、条件改变，这样所进行的一系列测量叫非等精度测量。非等精度测量的结果，其可靠程度自然也不相同。物理实验中大多采用等精度测量。二、误差与偏差在任何测量过程中，由于测量仪器、实验条件及其它种种原因，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，测量值N与真值N0之差定义为误差，即N = N N0显然误差N有正负大小之分，因为它是指与真值的差值，常称为绝对误差。注意：绝对误差不是误差的绝对值！误差存在于测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降 4 测量与误差 物理

11、实验主要是再现物体运动形态，探索物理量之间的关系，从而验证理论或发现规低到最低限度，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，是实验中的一项重要工作，也是实验的基本技能。实验总是根据对测量结果误差限度的一定要求来制定方案和选用仪器的，不要以为仪器精度越高越好，因为测量的误差是各个因素所引起的误差的总合，要以最小的代价来取得最好的结果，要合理的设计实验方案，选择仪器，确定采用这种或那种测量方法，如比较法、替代法、天平的复称法等，都是为了减少测量误差；对测量公式进行这种或那种的修正，也上为了减少某些误差的影响；在调节仪器时，如调节器铅直、水平、要考虑到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略

12、不计；电表接入电路和选择量程都要考虑到引起的误差大小。在测量过程中某些对结果影响大的关键量，就要努力想办法将它测准；有的量测不太准对结果没什么影响，就不必花太多的时间和精力去对待。处理数据时，某个数据取到多少位，怎样使用近似公式，作图时坐标比例、尺寸大小怎样选取，如何求直线的斜率等，都要考虑到引入误差的大小。由于客观条件所限、人的认识的局限性，测量不可能获得待测量的真值，只能是近似值。设某物理量真值为0，进行n次等精度测量，测量值分别为1，2，n，（测量过程无明显系统误差）。它们的误差为Dc1=c1-c0Dc2=c2-c0Dcn=cn-c0求和åDci=åci-nc0i=1

13、i=1nn即 åDcåcii=1nnin=i=1n-c0n当测量次数 n®¥，可以证明近真值。 åDci=1nin而且®0，åci=1in=c是 c0的最佳估计值，称 c 为为了估计误差，定义：测量值与近真值的差值为偏差：即Dci=ci-c。偏差又叫残差，实验中真值得不到，因此误差也无法知道，而测量的偏差可以准确知道，实验误差分析中要计算这种偏差，用偏差来描述测量结果的精确程度。 5三、相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫相对误差，用E表示： E=DN´100 N0由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用N代替N

14、0。在这种情况下，N可能是公认值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，其值用百分数表示，保留两位数。四、系统误差与随机误差根据误差的性质和产生的原因，可分为系统误差与随机误差。系统误差 - 是指在一定条件下多次测量结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化，系统误差的特征是它的规律的确定性。系统误差的来源有以下几方面：仪器误差 -由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。理论误差 -由于测量所依据的理论公式本身的近似性；或实验条件不能达到理论公式所规定的要求；或测量方法所带来的。观测误差 -由于观测者本人生理或心理特点造成的。例如，用

15、落球法测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小，是测量方法不完善造成的；用停表测运动物体通过某段路程所需的时间，若停表走时太快，即使测量多次，测量的时间t总是偏大为一固定值，是仪器不准确造成的；在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化，是由于环境因素变化引起的.在任何一项实验工作和具体测量中，首先必须要办法，最大限度地消除或减少一切可能存在的系统误差。消除系统误差，首先要找到引起系统误差的原因，针对性地采取措施才能消除它的影响，或者对测量结果进行修正。发现系统误差需要改变实验条件和测量方法，反复进行对比，系统误差的减小或消除是比较复杂的问题。随机误差 -实验

16、中即使采取了措施，对系统误差进行修正或消除，并且进行了精心观测，然而每次测量值仍会有差异，其误差值的大小和符号的正负，起伏不定，无确定性，这种误差是由于感官灵敏度和仪器精密度所限，周围环境的干扰以及随着测量而来的其它不可预测的随机因素的影响造成的，因而把它叫做随机误差。当测量次数很多，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论都证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点是：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大；绝对值相等的正负误差出现的概率相同；绝对值很大的误差出现的概率趋于零。因此增加测量次数，可以减小随机误差，但不能完全消除。由于测量者的过失，如实验方法不合理，用错

17、仪器，操作不当，读错刻度，记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采取严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。实验中，精密度高是指随机误差小，而数据很集中；准确度高是指系统误差小，测量的平均值偏离真值小；精确度高是指测量的精密度和准确度都高，数据集中而且偏离真值 6小，即随机误差和系统误差都小。五、随机误差的估算关于随机误差的分布规律和处理方法，涉及较多的概率论和数理统计知识，这里只引用结论，不进行论证。大量实践证明：对某一观测量进行多次重复测量，其结果服从一定的统计规律，也就是正态分布（或高斯分布）见附录1。我们用描述高斯分布的两个参数（ c和s ）来估算随机误差

18、。设在一组测量值中，n次测量的观测值分别为：X1，X2，Xn。1、 算术平均值根据最小二乘法原理证明，多次测量的算术平均值：1c=nåci=1ni (1-1)是待测量真值X0 的最隹估计值。称c为近真值，以后我们将用c来表示多次测量的近似真实值。2、标准偏差Sc=sc=å(ci=1ni-c)2n-1 (1-2)其意义表示某次测量值的随机误差在-sc+sc 之间的概率为68.3%。六、算术平均值的标准偏差 scn sc=å(c=i=1ni-c)2n(n-1) (1-3)其意义表示测量值的算术平均值的随机误差在-sc+sc之间的概率为68.3%，或者说待测量的真值在

19、-sc+sc 范围内的概率为68.3%。因此sc反映了平均值接近真值的程度。七、标准偏差sc的意义：作为随机误差大小的描述，sc小表示测量值密集，即测量的精密度高；sc大表示测量值分散，即测量的精密度低。估计随机误差还有用)1nåci=1ni-c（算术平均误差）、2sc、3sc、或然误差等其他方7法，本书采用“贝塞尔公式法”计算标准偏差，同时用它来表述A类不确定度Sc。八、异常数据的剔除统计理论表明，测量值的偏差超过3sc的概率已小于1%，因而，可以认为偏差超过3sc的测量值是其他因素或过失造成的，为异常数据，应当剔除。剔除的方法是将多次测量所得的一系列数据，算出各测量值的偏差Dci

20、(其中Dci=ci-c)和标准偏差sc（其中å(cSc=sc=i=1ni-c)2n-1），把其中最大的Dcj与3sc比较，若Dcj> 3sc，则认为第j个测量值是异常数据，舍去不计。剔除cj后，对余下的各测量值重新计算偏差和标准偏差，并继续审查，直到各偏差均小于3sc为止。第二节差范围）。（一） 不确定度的含义不确定度是“误差可能数值的测度”，表征所测量结果代表被测量的程度，也就是因测量误差存在而对被测量不能肯定的程度，因而是测量质量的表征。具体说来，不确定度是指测量值（近真值）附近的一个范围，测量值与真值之差（误差）可能落于其中。不确定度小，测量结果可信赖程度高不确定

21、度大，测量结果可信赖程度低。在实验和测量工作中，不确定度一词近似于不确知，不明确，不可靠，有质疑，是作为估计而言；误差是未知的。因此，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能值去说明可信赖程度，所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。用不确定度评定实验结果的误差，其中包括了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律。（二）测量结果的表示和合成不确定度科学实验中要求表示出的测量结果，既要包含待测量的近真值，又要包含测量结果的不确定度并写成物理含意深刻的标准表达形式，即c=±sc （单位）式中c为待测量，c是测量的近真值，s

22、c是合成不确定度，一般只保留一位有效数字。 直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值 作为近真值；实验中有时只需要测一次或只能测一次，该次测量值就为被测量的近真值。 8 测量结果的评定和不确定度 测量的目的不但要得到待测量的近真值，而且要对近真值的可靠性作出评定（指出误若要求对被测量进行已定系统误差的修正，通常是将已定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量）从算术平均值 或一次测量值中减去，从而求得被修正后的直接测量结果的近真值。例如，用螺旋测微计测长度时，从被测量结果中减去螺旋测微计的零差。在间接测量中，c 即为被测量的计算值。测量结果的标准表达

23、式，给出了一个范围（c-sc）（c+sc），表示待测量的真值在（c-sc）（c+sc）之间的概率为68.3%，不要误认为真值一定在（c-sc）（c+sc）之间。认为误差一定在-sc+sc之间是错误的。标准式中，近真值、不确定度、单位这三要素缺一不可，否则就不能全面表达测量结果。同时近真值 c 的末尾数应与不确定度的所在位数对齐，近真值c与不确定度sc的数量级、单位要相同。合成不确定度 s是由不确定度的两类分量（A类和B类）求“方和根”计算而得。为使问题简化，本书只讨论简单情况下（即A类和B类分量各自独立变化，互不相关）的合成不确定度。A类不确定度（统计不确定度）用 Si 表示，B类不确定度（非

24、统计不确定度）用 sB 表示，合成不确定度为2 s=Si2+sB（三） 合成不确定度的两类分量实验不确定度，一般来源于测量方法、测量人员、环境波动、测量对象变化等。计算不确定度是将可修正的系统误差修正后，将各种来源的误差按计算方法分为两类，即用统计方法计算的不确定度（A类）和非统计方法计算的不确定度（B类）。A类；统计不确定度，是指可以采用统计方法（即具有随机误差性质）计算的不确定度，如测量读数具有分散性，测量时温度波动影响等，这一类不确定度被认为它是服从正态分布规律，因此可以像计算标准偏差那样，用贝塞尔公式计算被测量的A类不确定度见附录。A类不确定度 Si为å(ci-)n2Si=i

25、=1åDc=i=1n2in-1n-1式中 i =1，2，3，n，表示测量次数。计算A类不确定度，也可以用最大偏差法、极差法、最小二乘法等，本书只采用贝塞尔公式法，并且着重讨论读数分散对应的不确定度。用贝塞尔公式计算A类不确定度， 9可以用函数计算器直接读取，十分方便。B类：非统计不确定度，是指用非统计方法求出或评定的不确定度，如测量仪器不准确，标准不准确，量具质量老化等。评定B类不确定度常用估计方法，要估计适当，需要确定分布规律，同时要参照标准，更需要估计者的实践经验、学识水平等。因此，往往是意见纷纭，争论颇多。本书对B类不确定度的估计同样只作简化处理，只讨论因仪器不准对应的不确定度

26、，仪器不准确的程度主要用仪器误差来表示，所以因仪器不准对应的B类不确定度为sB=D仪D仪为仪器误差或仪器的基本误差，或允许误差，或示值误差。一般的仪器说明书中都有以某种方式注明仪器误差，是制造厂或计量部门给定。物理实验教学中，由实验室提供见附录。（四）直接测量的不确定度如前所述，对A类不确定度主要讨论多次等精度测量条件下。读数分散对应的不确定度，并且用贝塞尔公式计算A类不确定度。对B类不确定度，主要讨论仪器不准确对应的不确定度，并直接采用仪器误差。然后将A、B两类不确定度求“方和根”，即合成不确定度。将测量结果写成标准形式。因此，实验结果的获得，应包含待测量近真值的确定。A、B两类不确定度以及

27、合成不确定度的计算，下面通过几个例子加以说明。例1、用毫米刻度的米尺，测量物体长度十次，其测量值分别为L=53.27,53.25,53.23,53.29,53.24,53.28,53.26,53.20,53.24,53.21(cm)试计算合成不确定度,并写出测量结果.解：1、计算 l 的近真值1l=nål110i=1(53.27+53.25+53.23+L+53.21) 10=53.24(cm)2、计算A类不确定度Sl=å(c-c)ii=1n2n-1=(53.27-53.24)2+(53.25-53.24)2+L+(53.21-53.24)210-1= 0.03(cm)3、

28、计算B类不确定度米尺的仪器误差D仪= 0.05(cm)10sB=s仪=0.05(cm)4、合成不确定度2=0×032+0×052=0.06(cm) sl=Sl2+sB5、测量结果的标准式为L = 53.24±0.06(cm)例2、用感量为0.1g的物理天平称衡物体的质量，其读数为35.41g，求测量结果。解：用物理天平称衡物体的质量，重复测量读数值往往相同，故一般只须进行单次测量。单次测量的读数即为近真值，m = 35.41g。物理天平的示值误差通常取感量的1/2，并且作为仪器误差，即s=sB=s仪=0.05(g)测量结果：m = 35.41±0.05(

29、g)22+sB本例中，因单次测量（n =1），合成不确定度s=Sm 中的Sm=0，所以s=sB即单次测量的合成不确定度等于非统计（B类）不确定度，但并不表明单次测量的 s 就小，因为n = 1时，Sc发散愈高，因而测量的平均值就愈接近真值。例3、用螺旋测微计测量小钢球的直径，五次的测量值分别为d = 11.922，11.923，11.922，11.922，11.922(mm)。螺旋测微计的最小分度值为0.01mm，试写出测量结果的标准式.解1.求直径d的算术平均值1d=nn愈大，置信概率就åi=15di=1(11.922+11.923+11.922+11.922+11.922) 5=

30、11.922(mm)2.计算B类不确定度螺旋测微计的仪器误差为D仪=0.005(mm)sB=D仪=0.005(mm)3.计算A类不确定度å(dSd=i=15i-d)2n-1=(11×922-11×922)2+(11×923-11×922)2+L+(11×922-11×922)2 5-111= 0.00088 = 0.0009(mm)4.合成不确定度22+sB=0.00092+0.0052 s=Sd式中，由于0.0009<´0.005,故可略去Sd，于是：s=0.005(mm)5.测量结果d = d&#

31、177;s=11.922±0.005(mm)由例3可以看出，当有些不确定度分量的数值很小时，相对而言可以略去不计。在计算合成不确定度，求“方和根”时，若某一平均值小于另一平方值的1/9，则该项就可以略去不计。这叫微小误差准则，利用微小误差准则可以减少不必要的计算。不确定度计算结果，一般保留一位数，多余的位数按有效数字的修约原则取舍。 评价测量结果，有时需引入相对不确定度，定义为：Es=数， 此外，有时需将测量结果的近真值c与公认值c公进行比较，得到测量结果的百分偏差B。定义为 其结果取2位数。 （五）间接测量结果的合成不确定度间接测量的近真值和合成不确定度是由直接测结果通过函数式计算

32、出来的，设间接测量的函数式为N = F（x,y,z,L ）N为间接测量的量，它有K个直接观测量 x ，y ，z ， ，各直接观测量的结果分别为c=±scy=y±syz=z±sz（1）若将各直接观测量的近真值代入函数式中，即得间接测量的近真值。 12 13s´100， Es结果取2位cB=c-c公c公´100N=F(c,y,z,L)（2）求近真值合成不确定度，由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量。对函数式N = F (c，y，z ，)求全微分，即得,dN=¶F¶F¶Fdc+dy+dz+L ¶c&#

33、182;y¶z式中 dN，dc，dy，dz， 均为微小增量，代入各变量的微小变化，dN的变化由各自变量的变化决定。¶F¶F¶F¶F，将微分符号“d”,L为函数对自变量的偏导数，记为¶c¶y¶z¶AK改为不确定度符号，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度： sNæ¶F=çç¶cscèöæ¶Föæ¶Fö÷ç÷+s+sç&

34、#247;+L=yz÷ç¶y÷¶zøøèøè222å1Kæ¶Fçç¶AsAKèKö÷÷ø2 （1-4）K为直接观测量的个数，A代表c，y，z， 各个自变量（直接观测量）。上式表明，间接测量的函数式确定后，测出它所包含的直接观测量的结果，将各直接æ¶Fö÷ ，求“方观测量的不确定度sAK乘函数对各自变量（直接测量量）的偏导数çsAç

35、;K÷è¶AKøk2和根”，即 åæ¶Fçç¶AsAKKi=1èö÷÷ø 就是间接测量结果的不确定度。当间接测量的函数式为积商（或含和差的积商形式），为使运算简便起见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分。即dN¶lnF¶lnF¶lnF=dc+dy+dz+L N¶c¶y¶z同样改微分号为不确定度符号，求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度EN，即ENæ¶

36、;lnF=çç¶cscNèsNöæ¶lnFöæ¶lnFö÷ç÷+s+sçy÷z÷+L ÷ç¶yè¶zøøèø222=åæ¶Fçç¶AsAKKi=1èkö÷÷ø2 （1-5）已知EN，N，由定义式即可求出合成不确定度sN=N

37、3;EN （1-6）这样计算sN较直接求全微分简便得多，特别对函数式很复杂的情况，尤其显示出它的优 13越性。今后在计算间接测量的不确定度时，对函数式仅为“和差”形式，可以直接利用（1-4）式，求出间接测量的合成不确定度sN，若函数式为积商（或积商和差混合）等较为复杂，可直接采用（1-5）式，先求出相对不确定度，再求合成不确定度sN。例1已知电阻R1=50.2±0.5（），R2=149.8±0.5（），求它们串联的电阻R和合成不确定度sR。解：串联电阻的阻值为R = R1+ R2 = 50.2+149.8 =200.0（）合成不确定度222æ¶R

38、6;æ¶Röæ¶Rö÷ç÷ç sR=åçs=s+sç¶RR1÷ç¶RR2÷÷ ç¶RRi÷i=1èiè1øè2øø222+s =R R12=0.52+0.52= 0.7()相对不确定度ER=sRR=0.7´10=3.5 20.0测量结果： R = 200.0±0.7（）例1中，由于后开方。间接测量的

39、不确定度计算结果只保留一位有效数字，相对不确定度保留二位有效数字。例2测量金属环的内径D1= 2.880±0.004(cm),外径D2=3.600±0.004(cm)，厚度为H=2.575±0.004(cm)，求金属环的体积V的测量结果。解：金属环的体积公式为： V=（1）金属环体积的近真值为：V=p422 hD2-D1¶R¶R=1，=1，R的总合成不确定度为各直接观测量的不确定度平方求和¶R1¶R2p422 hD2-D1()()3.1416´2.575´3.6002-2.8802 4= 9.436(cm

40、3) ()（2）首先将金属环的体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分：1422 lnV=ln()+lnh+ln(D2) -D1p4dVdh2D2dD2-2D1dD1 =0+22VhD2-D1则相对不确定度为：æsh EV=ççhVè2sV22D2sD2öæç÷+÷ç22øèD2-D1öæ-2D1sD1÷+ç÷çD2-D21øè222ö÷ ÷ø12ù

41、;2 éæ0.004öæ2´3.600´0.004öæ-2´2.880´0.004ö=êç÷+ç÷ú÷+ç5.575øè3.6002-2.8802øè3.6002-2.8802øúêèëû= 0.0081 = 0.81（3）总合成不确定度为：sV= V·EV= 9.436´0.0081=0

42、.08(cm3)（4）金属环体积的测量结果：V= 9.44±0.08（cm3）V的标准式中，V=9.436（cm3）应与不确定度的位数对齐，因此将小数点后的第三位数“6”按数字修约原则进到百分位，故为9.44(cm3).例3用物距像距法测凸透镜的焦距。测量时若固定物体和透镜的位置，移动像屏，反复测量成像位置，试求透镜焦距的测量结果。已知：物体位置A=170.15（cm）透镜位置B=130.03（cm）成像位置重复测量五次的测量值为C = 61.95，62.00，61.90，61.95，62.00。A，B为单次测量，刻度尺分度值为0.1cm。解：（1）由已知条件求出物距u 和像距u的结

43、果：物距u： u=170.15-130.03=40.12(cm)u=40.12±0.05(cm)其中，0.05cm为单次测量的仪器误差，也是单次测量物距的合成不确定度su。 由已知条件，成像位置 C=61.96(cm)：su=Su2+D2仪 其中：Su=åDCi=152in-1=0.04(cm) （可由函数计算器直接读取）152 D2仪=0×05(cm) （为B类不确定度）su=0.042+0.052=0.064(cm)像距u：u=130.03-61.96=68.07(cm)（2）求焦距的近真值：f=uu40.12´68.07=25.24(cm) u+u

44、40.12+68.07f所取位数是根据有效数字的运算法则所决定。22éæ11ö2æ11ö2Ef=êç-÷su+ç-÷suúfuu+uuu+uøèøêúëèûsf1ù2éæusö2æusuuö÷ç÷=êç+ç÷ç÷úêèuu+u&#

45、248;èuu+uøúëû12ù2= 8.5´10-4sf=f´Ef=25.24´8.5´10-4=0.0214(cm)焦距的测量结果：f=25.24±0.02(cm) 本例中将f=uu微分后，su、su均先后在不同的两项中出现，因此计算时应将相同的u+u项（含su或su）合并后，再求“方和根”。第三节 有效数字及其运算法则前面已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。实验数据的记录反映了近似值的大小，并且在某种程度上表明了误差，因此有效数字是测量结果的一种表示，它应当是有

46、意义的数码，而不允许无意义的数存在，如果把测量结果写成24.3839±0.05(cm)是错误的,由不确定度0.05(cm)得知,数据的小数点后第二位上的8已不可靠，把它后面的数字写出来没有多大意义，正确的写法应当是：24.38±0.05(cm)。（一）有效数字的概念若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm，其中“5”和“6”这两个数是从米尺上的刻度准确读出的，可以认为是准确的，叫可靠数。末尾“3”是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫欠准数（或叫可疑数）。虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有这位欠准数，就使测量

47、值更接近真实值，更能反映客观实际，因此应当保留到这一位。即使估计数是“0”，也不能舍去，测量结果应当而且也只能保留一位欠准数，故将测量数据定义为：几位可靠数加上一位欠准数称为有效数字，有效数字数码的个数叫做有效数位，如上述的5.63cm称为三位 16有效数。（二）直接测量的有效数字记录1、测量值的最末一位一定是欠准数，这一位应与仪器误差在哪一位发生，测量数据的欠准位就记录到哪一位，不能多记，也不能少记，即使估计是“0”，也必须写上，例如，用米尺（分度值为1mm）测量物体的长度时应记为25.4mm，这一数值说明仪器误差为十分之几毫米，改用游标卡尺（分度值为0.02mm）测量，测得值应记为25.4

48、0mm，仪器误差仅为百分之几毫米，显然25.4mm与25.40mm是不同的，属于不同仪器测量的，误差位也不同，不能将它们等同看待。2、凡是仪器上读出的，有效数字中间或末尾的“0”，均应算作有效位数。例如：2.004cm，2.200cm均是4位有效位数；在记录数据中，有时因定位需要，而在小数点前加“0”，这不应算作有效位数，如0.0563mm是3位有效数而不是4位有效数。3、在十进制单位换算中，其测量数据的有效位数不变，如5.63cm若以米或毫米为单位,记为0.0563m或56.3mm仍然是三位有效数；为避免单位换算中位数很多时写成一长串，或计位时错位，常采用科学记数法：即通常在小数点前只保留一

49、位整数，其余位数均采用10n表示，如5.63mm可以记为 5.63´10-3m，5.63´103m等等，这样既简单明了，又方便计算和定位。4、直接测量结果的有效位数，取决于被测物体身的大小和所使用的仪器精度，对同一个被测物，高精度的仪器，测量的有效位数多，低精度的仪器，测量的有效位数少，例如，长度约为2.5cm的物体，若用分度值为1mm米尺测量，其数据为2.50cm，若用螺旋测微器测量（最小分度值为0.01mm），其测量值为2.5000cm,显然螺旋测微器的精度较米尺高很多，所以测量结果的位数较米尺的测量结果多两位数，反之用同一精度的仪器，被测物大的物体测量结果的有效位数多

50、；被测物小的物体，测量结果的有效位数少。（三）有效数字的运算法则测量结果的有效数字，只能保留一位欠准数，直接测量是如此，间接测量的计算结果也是这样，根据这一原则，为了简化有效数字的运算，约定下列规则：1、加法或减法运算：例1、 + + 4位数 4位数 3位数 4位数注：有效数字下面加横线表示为欠准数。根据保留一位欠准数的原则，计算结果应为16.83，其欠准位与参与求和运算的各个数中（14.61）的欠准位最高者相同。例2、19.68 5.848 = 13.832 = 13.83 4位数 4位数 4位数17保留一位欠准数，结果为13.83，与欠准位最高的（19.68）欠准位相同。大量的计算表明，若

51、干个数进行加法或减法运算，其和或差的结果的欠准位与参与运算的各量中的欠准位最高者相同。由此结论，当若干个数进行加法或减法运算时，可先将多余位数修约，较应保留的欠准位置多留一位进行计算运算，最后结果按保留一位欠准数进行取舍。这样可以减少繁杂的数字计算。推论（1）：若干个直接测量量进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。2、乘法和除法运算：例3、 ³ 10.1 = 42.2978 = 42.2 4位数 3位数 3位数只保留一位欠准数，其结果应为42.2，即为三位数，与乘数中10.1的最少位数相同。 例4、 ÷ 12.3 = 391.1 = 391 5位数 3位数 3位

52、数只保留一位欠准数，其结果应为391。即为三位有效数，同样与除数的位数（12.3）最少的相同。由此得出结论：有效数进行乘法或除法运算，乘积或商的结果的有效位数与参与运算的各量中有效位数最少者相同。推论2、测量的若干个量，若是进行乘除法运算，应按有效位数相同的原则来选择不同精度的仪器。3、乘方、开方运算的有效位数与其底数的有效位数相同。4、自然数1，2，3，4，不是测量而得，不存在欠准数，因此可以视为无穷多位有效数，书写也不必写出后面的“0”，如D = 2R，D的位数仅由直接测量量R的位数决定。5、无理常数，的位数也可以看成很多位，计算过程中这些常数项参加运算时，其取的位数应比测量数据中位数最少

53、者多取一位。例如： L = 2r，若测量值R = 2.35³10-2m时,的取值应为3.142.则L = 2³3.142³2.35³10-2 = 1.48³10-1m.6、有效数字的修约，根据有效数字的运算规则，为使计算简化，在不影响最后结果应保留的位数（或欠准位置）的前提下，可以在运算前、后对数进行修约，其修约原则是“四舍六入五看左右”详见附录，中间运算过程较结果多保留一位数。第四节 数据处理用简明而严格的方法把实验数据所代表的事物内在规律性提炼出来就是数据处理。数据处理是指从获得数据起到得出结果止的加工过程，包括记录、整理、计算、分析等的处

54、理方法，本章节主要介绍列表法，作图法，最小二乘法。（一）列表法列表法是记录数据的基本方法。欲使实验结果一目了然，避免混乱，避免丢失数据， 18便于查对，列表法是记录数据的最好方法。将数据中的自变量、因变量的各个数值一一对应排列出来，可以简单明确地表示出有关物理量之间的关系；检查测量结果是否合理，及时发现问题；有助于找出有关量之间的联系和建立经验公式，这就是列表法的优点。设计记录表格应要求：1、利于记录、运算和检查，便于一目了然地看出有关量之间的关系。2、表中各栏要用符号标明，数据所代表的物理量和单位要交代清楚。单位要写在标题栏。3、表格记录的测量值和测量偏差，应正确反映仪器的精度。 4、一般记

55、录表格还有序号和名称。例如：要求测量圆柱体的体积V，圆柱体高H和直径D的记录表格如下：测柱体高H和直径D记录表说明：Hi是测量值Hi的偏差，Di是测量值Di的偏差；测Hi是用精度为0.02mm的游标卡尺，仪器精度限仪=0.02mm；测Di是用精度为0.01mm的螺旋测微计，其仪器精度限仪=0.005mm；由表中所列数据，可计算出高、直径和圆柱体体积测量结果（近真值和不确定度）： H =35.32±0.03(mm) D =8.315±0.005(mm) V =(1.836±0.003)³103(mm3)(二) 作图法作图法是在坐标纸上用图形描述各物理量之间

56、的关系，将实验数据用几何图形表示出来，这就叫作图法。作图法的优点是直观、形象、便于比较研究实验结果，求某些物理量，建立关系式等。作图要注意以下几点：1、作图一定要用坐标纸，根据函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等，本书主要采用直角坐标纸。 192、坐标纸的大小及坐标轴的比例，应当根据所测得数据的有效数字和结果的需要来确定，原则上数据中的可靠数字在图中应当为可靠的，数据中的欠准位在图中应是估计的，要适当选取X轴和Y轴的比例和分度值，使图线充分占有图纸空间，不要缩在一边或一角；坐标轴分度值比例的选取一般选用间隔1，2，5，10等，这便于读数或计算，除特殊需要外，分度值起点

57、一般不必从零开始，X轴和Y轴的比例可以采用不同的比例。3、标明坐标轴：一般是自变量为横轴，应变量为纵轴。采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明所示物理量的名称，单位。坐标轴上标明分度值（注意有效位数）。4、描点：根据测量数据，用直尺笔尖使其函数对应点准确地落在相应的位置上，在一张图纸上要画几条实验曲线时，每条图线应用不同的标记如“”“”“³”等，以免混淆。5、连线：根据不同函数关系对应的实验数据点的分布，把点连成直线或光滑的曲线或折线，连线必须用直尺或曲线板，如校准曲线要连成折线，当连成直线或光滑的曲线时，图线并不一定通过所有的点，而是使数据点均匀地分布在图线的两侧，个别偏离

58、很大的点应当舍去，原始数据点应保留在图中。6、写图名：在图纸下方或空白位置处，写上图的名称，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“-”联接，图中附上适当的图注，如实验条件等。7、最后写明实验者姓名和实验日期，并将图纸贴在实验报告的适当位置。（三）图解法实验曲线作出后，可由曲线求经验公式，由曲线求经验公式的方法称图解法。在物理实验中经常遇到的曲线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线等，而其中以直线最简单。1、建立经验公式的一般步骤：(!)根据解析几何知识判断图线的类型；(2)由图线的类型判断公式的可能特点；(3)利用半对数、对数或倒数坐标纸，把原曲线改变为直线；

59、(4)确定常数，建立起经验公式的形式，并用实验数据来检验所得公式的准确程度。2、直线方程的建立：如果作出实验曲线是一条直线，则经验公式为直线方程y=kc+b （1-7）欲建立此方程，必须由实验直接求出k和b，一般有两种方法：（1）斜率截距法由解析几何知，k为直线的斜率，b为直线的截距。求k时，在图线上选取两点P1（1，1）和P2（2，2），则斜率为k=y2-y1c2-c1 （1-8） 20要注意，所取两点不得为原实验数据点，并且所取的两点不要相距太近，以减小误差。其截距b为= 0时的y值；若原实验图线并未给出= 0段直线，可将直线用虚线延长交y轴，则可求出截距。（2）端值求解法在直线两端取两点（但不能取原始数据点），分别得出它的坐标为P1（1，1）和P2（2，2），将这两个坐标值代入（1-7）式可得 y1=kc1+b y2