n维向量及其运算（课堂PPT）

1、数数=线线性性代代第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 本章将介绍本章将介绍n维向量的基本概念及其运维向量的基本概念及其运算，讨论算，讨论n 维向量的线性相关性，并利用维向量的线性相关性，并利用矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性相关性。这些都是线性代数和近代数学中相关性。这些都是线性代数和近代数学中的最基本概念和基本性质，并为学习后面的最基本概念和基本性质，并为学习后面的内容提供了必要的预备知识。的内容提供了必要的预备知识。3.1 n维向量及其运算 在空间在空间(或平面或平面)解析几何中，从有向线段出发，解析几何中，从有向线段出发，引进了向量

2、的概念，并进一步引进了向量的加法和数引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数数数=线线性性代代乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应关系。所以，由所有三维数组构成的集合应关系。所以，由所有三维数组构成的集合 即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的线和平面的平行、相交等等，

3、都可以用向量空间的语言来刻划。语言来刻划。123123(,)|,a a aa a aR一、n 维向量空间的概念几何空间中：几何空间中：),(:321aaaOPa点点P的坐标的坐标数数=线线性性代代n 维向量空间 ( Rn ):n 维向量: (有序数组) ),(21naaan 维维行向量行向量 的的分量分量n 维列向量: nbbb21实（复）向量:分量为实（复）数12(,)(1,2,),ijiiinaaaaimnAm n同时,我们可以将行向量看成一行矩阵,列向量看成一列矩阵.对于矩阵A=() 中的 每一行都是 维行向量 称为矩阵 的 行向量.行向量.数数=线线性性代代121212,.(1,2,

4、),.mmjjmjAAAaajnmaAAAm 12n12n因此 矩阵 可表示为 其中为矩阵 的行向量 同理,A的每一列是 维列向量称为 的故 也可以表示为 A=(, ,)其中, ,为 的 维列向量列向量列向量列向量数数=线线性性代代确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)( 20机身的仰角机身的仰角)( 22机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa n维向量的实际意义维向量的实际意义数数=线线性性代代 = a

5、i = bi = (0, 0, , 0)负向量： - = (-a1, -a2, , -an )n维向量的线性运算: = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)， + = (a1 +b1, a2 +b2, , an+ bn), k =(ka1, ka2, , kan ), k R. 向量相等： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)零向量：Rn : n 维向量的全体.数数=线线性性代代;)();,0;,()0; 容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足 1) 交换律 2) 结合律 ( 3) 对任一向量有 4) 对任一向量

6、有 (2) 向量的数乘运算满足 1) 1= ;()()() ;(3);2);, ,k ll kklkklklnk l 2) 向量的线性运算成立分配律 1) k()=k () =上述均为 维向量均为实数.数数=线线性性代代线性方程组与n维向量的线性运算： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,2121222122121111 mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaax即即,2211bxxxnn 即即,21 nxxxX mbbbb21,),(21bXn即.bAX 数数=线线性性代代定义 若有有，且且,RkVRVn ,VkV 则称V是 Rn 的一个子空间. 例1 设V = (x1, x2) | x1+x2 = 0 , V是否是 R2 的子空间？ 例2 设V = (x1, x2) | x1+ x2 = 1 , V是否是 R2 的子空间？二、 Rn 的子空间数数=线线性性代代1 122.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),nnaaa12n 称为求例例 3 3n n维维单单位位坐坐标标向向量量组组1 122121212(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)( ,0,0)(0,0)(0,0,)( ,)nnnnnaaaaaaaaaa aa解: 由向量的加法和数乘运算得 = = 数数=线线性性代代1212121