非线性回归模型的线性化

1、（第（第4讲）讲） 第第4章章 非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化 （1）多项式函数模型多项式函数模型（2）双曲线函数模型双曲线函数模型（3）对数函数模型对数函数模型（4）生长曲线生长曲线 (logistic) 模型模型 （比教材中的模型复杂些）（比教材中的模型复杂些）（5）指数函数模型指数函数模型（6）幂函数模型幂函数模型file:li-4-1file:5nonli7file:5nonli3file:5nonli01file:li-4-2file:5nonli14 有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变

2、换，转化为线性模型，然后利线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。可线性化的非线性模型。 以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。这种计算变得非常

3、容易。但本章不是介绍这类模型的估计。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。 第第4 4章章 非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化 (1)多项式函数模型多项式函数模型(1)（第（第3版教材第版教材第90页）页）多项式方程多项式方程 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令令xt 1 = xt，xt 2 = xt2，xt 3 = xt3，上式变为，上式变为 yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 这是三元线性回归模型。经济学中的总成本与产品产量曲线与左

4、图相似。这是三元线性回归模型。经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。( b10, b20, b30) (b10, b30, b20) (b10, b2 0) yt = a + b Lnxt + ut , (b 0) (b 1) (0b 1) (b = -1) (b b -1) tubtteaxy b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得 Lnyt = Lna + b Lnxt + ut 令令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为则上式表示为 yt* = a* + b xt* + ut

5、 变量变量yt* 和和xt* 之间已成线性关系。幂函数模型也称作之间已成线性关系。幂函数模型也称作全对数模型全对数模型。（第（第3版教材第版教材第95页）页）8012016020024028080100120140160180200220LABOROUTPUT8012016020024028080 120 160 200 240 280 320 360 400 440CAPITALOUTPUT（第（第3版教材第版教材第95页）页）Cobb-Douglas生产函数（二元幂函数）生产函数（二元幂函数） 柯布（）柯布（） 道格拉斯道格拉斯(PaulH.Douglas)例例4.2：天津市天津市GDP函

6、数函数(教材第教材第95页页,file:li-4-2 )（第（第3版第版第95页）页）天津市对数的天津市对数的GDPt（亿元）对对数的从业人员数（亿元）对对数的从业人员数（Lt，亿元）和对数的资金（亿元）和对数的资金（Kt，亿元）散点图，亿元）散点图-.08-.04.00.04.084.55.05.56.06.57.07.51980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996ResidualActualFitted因为因为1.02 + 1.47= 2.47，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。例例4.2：天津市天津市GD

7、P函数函数（第（第3版第版第95页）页）非线性模型直接估计结果是非线性模型直接估计结果是 )1( 1 .1003 . 8xey R2 = 0.96EViews命令：命令：Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X) 样本内预测评价：样本内预测评价：案例案例5 5：硫酸透明度与铁杂质含量的关系：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（指数函数案例）（指数函数案例） (file:nonli01)样本点与指数拟合曲线样本点与指数拟合曲线 0408012016020024020406080100 120 140 160 180 200 220XYYF（7）不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）不可线性化

8、的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）综合案例综合案例：中国家用汽车拥有量决定因素分析中国家用汽车拥有量决定因素分析 （多元非线性回归）（多元非线性回归）（file: nonli14）1985-2002年中国家用汽车拥有量以年增长率年中国家用汽车拥有量以年增长率23%，年均增长，年均增长55万辆万辆的速度飞速增长。的速度飞速增长。建立中国家用汽车拥有量模型时，主要考虑如下因素：（建立中国家用汽车拥有量模型时，主要考虑如下因素：（1）城镇居）城镇居民家庭人均可支配收入；（民家庭人均可支配收入；（2）城镇总人口；（）城镇总人口；（3）家用汽车产量；）家用汽车产量；（4）公路交通完善程度；（）公路交

9、通完善程度；（5）家用汽车价格。）家用汽车价格。由于国产家用汽车价格与进口家用汽车价格差距较大，而且家用汽车由于国产家用汽车价格与进口家用汽车价格差距较大，而且家用汽车种类很多，统计分种类的家用汽车销售价格与销售量非常困难，所以种类很多，统计分种类的家用汽车销售价格与销售量非常困难，所以因素因素“家用汽车价格家用汽车价格”暂且略去不用。定义变量名如下：暂且略去不用。定义变量名如下：Y：中国家用汽车拥有量（万辆）：中国家用汽车拥有量（万辆）X1：城镇居民家庭人均可支配收入（元）：城镇居民家庭人均可支配收入（元）X2：全国城镇人口（亿人）：全国城镇人口（亿人）X3：全国家用汽车产量（万辆）：全国家

10、用汽车产量（万辆）X4；全国公路长度（万公里）；全国公路长度（万公里） 轿车拥有量与人均可支配收入轿车拥有量与人均可支配收入 轿车拥有量与全国城镇人口轿车拥有量与全国城镇人口轿车拥有量与全国汽车产量轿车拥有量与全国汽车产量 轿车拥有量与全国公路长度轿车拥有量与全国公路长度综合案例综合案例：中国家用汽车拥有量决定因素分析中国家用汽车拥有量决定因素分析 （多元非线性回归）（多元非线性回归）（file: nonli14）Y = -925.66+ 0.0057X1+ 62.94 X2+ 0.41 X3 + 7.73X4 (-5.7) (0.2) (0.8) (0.8) (5.0) R2 = 0.99,

11、 DW=1.4，T= 18，（，（1985 2002）看相关系数阵，看相关系数阵，Y与与X1，X2，X3，X4的相关系数都在的相关系数都在0.9以上，以上，但输出结果中，解释变量但输出结果中，解释变量X1，X2，X3的回归系数却通不过显的回归系数却通不过显著性检验。著性检验。这预示解释变量之间一定存在多重共线性。这预示解释变量之间一定存在多重共线性。综合案例综合案例：中国家用汽车拥有量决定因素分析中国家用汽车拥有量决定因素分析 （多元非线性回归）（多元非线性回归）（file: nonli14）看散点图，把看散点图，把Y与与X3,X4处理成线性关系，把处理成线性关系，把Y与与X1,X2处理成幂函

12、数（抛物处理成幂函数（抛物线）关系，得结果如下，线）关系，得结果如下，Y = 317.19+ 0.00000326X12- 363 X2+ 74.41 X22+ 0.31X3+1.48X4 (2.9) (4.4) (-7.3) (9.5) (2.1) (3.0) R2 = 0.9991, DW=2.0，T= 17，（，（1985 2001）每个变量都具有很高的显著性。每个变量都具有很高的显著性。拟合优度也提高了，没有异方差拟合优度也提高了，没有异方差也没有自相关。样本内拟合如图。也没有自相关。样本内拟合如图。综合案例综合案例：中国家用汽车拥有量决定因素分析中国家用汽车拥有量决定因素分析 （多元

13、非线性回归）（多元非线性回归）（file: nonli14） 作样本外作样本外1期预测。预测期预测。预测2002年年Y = 929.5648。预测误差。预测误差0.04。EViews的计算结果。的计算结果。8808909009109209309409509609702002929.6963.1896.1YFForecast: YFActual: YForecast sample: 2002 2002Included observations: 1Root Mean Squared Error 39.41524Mean Absolute Error 39.41524Mean Abs. Percent Error 4.0677048909009109209309409509609702002YF?2 S.E.Forecast: YFActual: YForecast sample: 2002 2002Included observa