三角形中最值问题

1、-第42课 三角形中的最值问题考点提要1掌握三角形的概念与根本性质2能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题根底自测11ABC中，则A的值为30°或90°；2ABC中，当A=时，取得最大值2在ABC中，则的取值围是解由， 令，由，得3锐角三角形ABC中，假设A=2B，则B的取值围是 30ºB45º 4设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和切圆半径，则的最大值为5在ABC中，角A，B，C所对边的边长分别是，假设，则B的取值围是0°B120° 6在ABC中，假设A>B，则以下不等式中，正确的为 >；<

2、； >；<解A>B>>>，故正确；<<A>B，故正确或由余弦函数在上的单调性知正确；由<<>A>B，故正确知识梳理1直角ABC中，角A，B，C所对边的边长分别是，C=90°，假设切圆的半径为r，则2在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是根底，起到工具性的作用它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用例题解析例1直角三角形的周长为1，求其面积的最大值点评例2ABC中，1求最小角的最大值； 2假设ABC是锐角三角形，求第三边c的取值围解1由三角形三边关系

3、得第三边c满足解得，故最小角为A又当且仅当时等号成立，所以A30°，即最小角的最大值为30°2因为ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为ab，所以AB，故只需说明B，C为锐角即可由B，C为锐角得 即解得点评在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件另外要注意变形的等价性，如"角A为锐角例32021求满足条件的ABC的面积的最大值解设BC，则AC根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=，由三角形三边关系有解得，故当时取最大值点评例4如图，A=30°，P，Q分别在A的两边上，PQ=2当P，Q处于什么位置时，APQ的

4、面积最大.并求出APQ的最大面积点评表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，此题解法一运用了余弦定理和根本不等式，解法二运用了正弦定理和根本不等式建立目标函数例5ABC的周长为6，成等比数列，求：1ABC的面积S的最大值； 2的取值围解设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b 2 =ac由得当且仅当a=c时，等号成立，又由余弦定理得当且仅当a=c时，等号成立，故有， 1，即当且仅当a=b= c时，等号成立； 2点评 此题运用均值定理进展放缩，再运用不等式的性质求解1为不等式问题，2为函数问题方法总结1三角形中角的最值围问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的围，根据余弦函数的单调性处理要注意

5、三角形三边关系和角围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系2三角形中边的最值围问题，主要由有三角形三边关系决定3三角形中面积的最值围问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的围练习42三角形的最值问题班级*1假设直角三角形斜边的长m定值，则它的周长的最大值是2在锐角ABC中，假设，则的取值围是，解，而，3在ABC中，假设，则A的取值围是 0ºB45º 4假设2、3、*分别是锐角三角形的三边长，则*的取值围是5假设三角形两边之和为16 cm，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是，周长的最小值是 24 6ABC中，A = 60°

6、;，BC = 4，则AB + AC的最大值为_7钝角三角形的三边为，其中最大角不超过120°，则的取值围是解 由题意钝角三角形中，为最大边且最大角不超过120°，因此得，由得，得，得或，故8四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，假设SAOB=9，SCOD=16，则四边形面积的最小值是 49 92006全国用长度分别为2、3、4、5、6单位：cm的5根细木棒围成一个三角形允许连接，但不允许折断，能够得到的三角形的最大面积为cm2解由题意可围成以下几种三角形图1中，；图2中，；图3中，比拟上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为cm2点评当周长一定时，三边越是接近，其

7、面积越大这是等周问题中的一个根本结论可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，610在ABC中，1求证：a、b、c成等差数列； 2求角B的取值围解11如图，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是边BC、CD上的动点，EAF=30°，求AEF面积的最小值解设AEF的面积为S，BAE=15º45º，则由EAF=30°得DAF=正方形ABCD的边长为a，在RtBAE中，；在RtDAF中，122021延考在ABC中，角A，B，C对边的边长分别是，1假设，且A为钝角，求角A与C的大小；2假设，求ABC面积的最大值解1由题设及正弦定理，有故因A为钝角，所以

8、由，可得，C=，A=2由余弦定理及条件，有，故由于ABC面积，又，当时，两个不等式中等号同时成立，所以ABC面积的最大值为备用题1直角ABC的斜边AB=2，切圆的半径为r，则r的最大值为2在ABC中，sin2A + sin2B = 5sin2C，求证：解 等式sin2A + sin2B = 5sin2C立即联想正弦定理，有a2+b2=5c2 而a2+b2=5c2与余弦定理连起来也无可非议c2= a2+b22abcosC，5c2= c2+2abcosC，4c2=2abcosC 于是可知cosC0，C为锐角，而5c2= a2+b22ab， 故4c2=2abcosC5c2cosC cosC，sinC点评从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中3ABC的角满足1求A； 2假设ABC的面积为4，求ABC周长的最小值4如图