相变物理习题集

1、 Z = å s 1Ts 2 s 2Ts 3 s 3 LTs N s N Ts 1 T T T T s i = å så L så s T s 1 = ±1 2 = ±1 N N = ±1 1 s 1T = Tr (T N Z = l+ + l- N N F (T , h = - k BT ln Z æ é æ l öN ù ö N ç ÷ - = - k BT ln l+ ê1 + ç çl ÷ 

2、7; ú÷ ç ê ë è +ø ú ûø è = - k BT ln l+ = - Nk BT b J + ln cosh( b h + sinh 2 ( b h + exp(-4 b J ( ) N ( N ®¥ ) 22、什么是点渗流；什么是键渗流；什么是波茨模型；三参量波茨模型的平均场 理论。 点渗流，用绝缘球和导电球堆成一个立体。设定格点被导电球占据的概率为 P， （也就是导电球在总球数的比例 P ） 。如果 P 太小，一定不会出现通路。如果 P 1，整个

3、立体就是一个导体。 考虑系统的自旋被限制于一个平面内，每个自旋取被 q 等分的自旋取向，角度为 q= 2pn q n = 0,1,L , q - 1 （1）自旋可以有 q 种取态i（2）可以仅在最近邻间存在相互作用 （3）在任何状态下，系统的势能可以由对的相互作用能相加得到。 Es i = - J å d (s i , s j i < j ij d (s , s ' = í ì1 s = s ' î0 s ¹ s ' F 1 2 = - Jz å ni + kT å ni ln ni N 2 i

4、 i 23、伊辛模型的平均场理论，并给出的序参量，比热，极化率相关的临界指数。 Eint = -å J ijs is j < ij > = J å (s i - < s i > + < s i > × (s j - < s j > + < s j > < ij > é(s i - < s i >× < s j > + (s j - < s j >× < s i > ù = Jåê 

5、50; < ij > ê ë+ < s i >< s j > + (s i - < s i > × (s j - < s j >ú û Es i » - J å (s i + s j m - m 2 - hå s i < ij > i =1 N Es i » - J å (s i + s j m - m 2 - hå s i <ij > i =1 N = -2 Jmå s i + J 

6、9; m 2 - hå s i <ij > <ij > i =1 N = -2 Jm N z Nz 2 s + J m - h si å i 2 å 2 i =1 i =1 N N = -( Jzm + hå s i + i =1 NJz 2 m 2 N 2 æ ö Z (T , h = å expç ( b Jzm + b hå s i - b NJzm ÷ 2 s i i =1 è ø 2 æ ö = expç - b

7、 NJzm ÷åÕ exp( b Jzm + b hs i ) 2 è øs i i =1 2 æ = expç - b NJzm 2 è N ö ÷2 cosh( b Jzm + b h ø N 1 k BT ln Z N é 1 bNJzm 2 Nù = - k BT ln êexp(- 2 cosh( b Jzm + b h ú N 2 ë û 2 Jzm = - k BT ln2 cosh( b Jzm + b h 2

8、 f (T , h = - m(T , h = tanh( b Jzm + b h m0 (T µ ± (TC - T b b= 1 2 ± c (T ,0 µ T - TC c (T ,0 µ T - TC -g ± T ® TC g ± = 1 T ® TC a - = 0 ± -a ± d =3 24、伊辛模型的布拉格威廉近似。 m= 序参量 N+ - N- N æ ö ç ÷ æ ö N! N! ç 

9、7; S = k lnç ç N !( N - N ! ÷ ÷ = k lnç é 1 ÷ 1 ù é ù + ø è + ç ê N (1 + mú! ê N (1 - mú! ÷ û ë2 ûø è ë2 ln( N ! » N ln( N - N N >> 1 1 E = - J å m 2 = - JNzm 2 2 &

10、lt;ij > f = (E - TS ) N 1 1 = - Jzm 2 + kT (1 + m ) ln (1 + m ) + (1 - m ) ln (1 - m ) - Tk ln 2 2 2 m(T , h = tanh( b Jzm + b h 25、伊辛模型的朗道理论。 平均场结果的级数展开朗道理论 ln (cosh x ) = 1 2 1 4 x - x + 0( x 6 2 12 2 4 é 1 æ TC Jzm 2 1 æ TC ö ö ù f (T , h = f 0 + - k BT ê 

11、31; m + b h ÷ - ç m + b h ÷ ú 2 ø 12 è T ø û ê2 è T ú ë a - = 0b = 1 / 2d = 3g = -1 26、临界指数的不等式，拉什布鲁克不等式的推导。 a '+2 b + g ' ³ 2 27、什么是广义齐次函数，了解它们的变化性质。在给定热力学势的标度函数形 式下，推导给出相关临界指数；在给定关联函数的标度函数形式下，推导给出相 关临界指数。 28、简述什么叫普适类。 各种物理系统可

12、以分为若干普适类， 每个普适类的临界特性完全一样， 而普适类是以空间维 数 d 和内部自由度的数目（序参量的个数）n 来划分。 若几个系统的临界哈密顿量都在一个临界面上， 则它们的临界行为属于同一个普适类。 所有 临界模式展现的相变， 由重整化流的非平庸不动点主导， 可以取任意的无关参量普适性 29、重整化群的应用，一维渗流，二维键渗流，一维伊辛模型。 重整化群不是一个描述性的理论，而是一个构造方案型的物理理论。 重整化群是一个一般性的方法，构造出对于不同尺度系统的理论描述。 这个群理论不可以简单直接与数学上的群相联系。 这样通过重整化群，我们可以： a、构造适合不同尺度的物理描述 b、给出不同的尺度系统的定量联系 c、理解为何集体行为（collective properties）没有与具体的构成单元