不等式放缩法

1、利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。对32O13n1,2,3±2n例1设数列an的前n项的和Sn设Tnn1,2,3±,证明：Tii1（2）先放缩通项，然后将其裂成n （n 3 ）项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2已知数列an和bn满足62,an 1 an(an 1 1), bn an 1,数列bn的前 n 和为 Sn, Tn S2n S. ;( I )求

2、证：1（ii）求证：当n 2时，S2n7n 11122n2n 1市，然后再求和，即可达到目标。2n 1 1点评:关键是将（2n11）（2n1）裂项成点评：此题（II ）充分利用（1 ）的结论，Tn递增，将Sn裂成S2 nS?n 1S2 n 1S?n 2L S2 Si S的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩 法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3已知数列an的首项为ai3,点3n,3n1在直线3xy0（nN*）上。,不等式若Cnlog3an2(nN),证明对彳£意的nN111(1)(1+)L(1+)33n1恒成立.CCC点评：此题

3、是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。（1+一）3（竺，）3可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项cn3n2假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，（？口）3竺3n竺旦，3n23n23n13n3n23n1而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。3n23、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解11i2例4已知数列Xn满足，为2,JN*,证明：Xn16（5）n1点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列,再求和，最后二次放缩实现目标转化。已知数列an的各

4、项均为正数，且满足aiani12,一an2an(nN),记an1bn2anan,数列bn的前n项和为为，且f(Xn)(I数列bn和3的通项公式;(II)求证:f(X,)f(X2)f(X2)f(X3)f(X、n)n(nf(Xn1)反思：右边是一，感觉是n个一的和，而中间刚好是n项，所以利用n1(一 f(n )(f( n)0），试着考虑将边是不能用同样的方式来实现，想到2222养+缩小成1Cn（Cn是等比数列），从而找到了此题的突破口。5.放缩后转化为等比数列。例？bn满足：b1,bnibn2(n2)bn3（1）用数学归纳法证明:bnn(2)Tn3D3b23ba-A,求证：3bn点评：把握“bn3

5、”这一特征对“bn1bn2(n2)bn3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的，为什么？值得体味！5、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较(作差或作商)，再进行放缩。例6在单调递增数列an中，ai1,a22,且a2n1,a2n,a2n1成等差数列，a2n,a2ni,a2n2成等比数列，n1,2,3,.(I) 分别计算a3,as和a4,a6的值；(II) 求数列an的通项公式(将an用n表示)；(III) 设数列-的前n项和为证明:Sn4n,nN*.ann2点评：此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0

6、,从而得证。6、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。2例 8 设函数 f(x) x bln(x 1)，其中b 0 ?证明对任意的正整数n,不等式111八In123都成立.nnn111分析：欲证上述结论，直接作差比较In1(-八),无从下手；接着想到令nnn111g(n)In-1(飞一)，判断函数g(n)(nN*)的单调性，由于定义域为正整数，nnn不能用导数，只能计算g(n1)g(n),其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函132数，将命题加强，令一X(0,)，判断函数h(x)x3x2ln(x1)(x0)的单调n性，如果在(0,)单调，则函数g(n)也单调7

7、、二项式定理放缩在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型:(1)部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩例6已知数列an满足a!a(a2),a-一堇学J(nN).an2(I)证明数列-是等比数列，并求出通项 an ;2n 1(n)如果a1时，设数列an的前n项和为Sn，试求出Sn，并证明当n3时，有L±L±±.21SBS4Sn10反思：为什么会想到将Sn(2n 1)(2放缩成1)(2n 1)(2n 1)?联想到± L 一1 ±2 3 n (n 1) n 11,因为要证明L10而

8、SS3S4一曰 个数Sn是列前n项的和，最后通过放缩很可能变成f (n)(f(n) 0)10 10的形式，而一应是由1S3放缩后裂项而成，1/11£乔 2(3 5)(2n 1)(2 n 1)(2n1)(2n 1)2 2n 1 2n 1),此时刚好得到，LS3 S4Sn110,接下来就要处理2n12n1,想到用二项式定理。(2)完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列an的前n项和为S,且对任意的nN*，都有anO,$、a3a2La.(I)求a1,a2的值；(ll)求数列an的通项公式an;(III)证明：a2n1a；na2n1点评：利用二项式定理结合放缩法

9、证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。二、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。k(k 1)(k3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：k(k 1) k(2)在分式中放大或缩小分子或分母：(1)根式的放缩：111；kk1.2k.kk1真分数分子分母同时减一个正数，则变大；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如nn1；,n1n2n12n2n2n1(3)

10、应用基本不等式放缩:2、n2nYn2n(4)二项式定理放缩：如2n12n1(n3)；(5)舍掉(或加进)一些项，如：|an印|aa1|a34、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点刃而解。再看例2,若构造函数f(n)则f(n1)f(n)(111nn212223L422S/2(11尹前后不等号不不能确定11(1-23-2n2222nnnn2Ann2Aa2|L|anani|(n2)。是应用放缩法证明中最关键、只有这样，才能使问题迎f(n)f(1)1n)11223零)(11271%。2022122121217n11(nN*),歹12L17

11、n11)3班12f(n)的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩n)，则f(n1)f(n)2n2)1n.221(121,11n222221n32n11-0,所以1 22 22cLc0,所以S2nf(n1)f(n)，从而f(n)(nN*)递增,(12)成立此时用单调函数放缩法可行。同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同5、放缩法的策略以及精度的控制例10已知数列an的前n项和为Sn,且满足Lan2SnSn120(n2)(I)数列右是否为等差数列？并证明你的结论；(II)求Sn和an；2(III)求证：S；S2SLS；简解：(1)(2)SiA,an2n2n(n1)(n2)(3)证法一

12、：当n1时，SS2S21±),-成立；当n2,n211n44(13LS2114(1)n证法二：综上所述，S211)(2n1)i(2n14n24n2(2n12(1点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将1122第二项起，要分类讨论；而方法二是将111一放大成4n2。明显4n14n111)2n12(12n1)12放大成2-亦，需从4n24n2比4n4n大很多，一比2更接近2。从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子,4n4n14n4n缩小放缩度，提高放缩精放缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽量度，避免运算上的麻烦。选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度，从中我们可以发现放缩法是证明数列型