【13朝阳二模】北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理科数学.解析版

1、北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试理工类2022.5考试时间120分钟总分值150分本试卷分为选择题共40分和非选择题共 110分两局部第一局部选择题 共40分、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1集合 M 0,1,3，集合Nxx 3a,a M ，那么 M U N =A. 0B. 0,3C. 1,3,9D. 0,1,3,9【答案】D【解析】N 0,3,9,MUN 0 ,1 ,3,9【考点】集合的运算、并集12假设ox2 mxdx 0，那么实数m的值为12C.1A.B.33【答案】B【解析】1(x201 312 1mx)dx (

2、_ xmx ) 1°1 1(m) 00323 2解得m 3【考点】微积分根本定理D.23执行如下列图的程序框图假设输出的结果是16，那么判断框内的条件是A. n 6?B. n 7C.8?D. n 9?第3题图第5题图【答案】C【解析】列举法：S=0 14 9 16n=1 3 5 7 9那么7不满足条件，9满足条件，应选择 C【考点】程序框图、条件的判断2y x 2有公共点，那么此双曲线2 24假设双曲线X2每1(a 0,b 0)的渐近线与抛物线a b的离心率的取值范围是A. 3,)【答案】A2【解析】双曲线仔aB. (3,)C. (1,3D. (1,3)2b 1(a 0,b0)的渐近

3、线为y xabxa2x得x22-x 20,a(-)2 8a0，那么(-)2a所以【考点】1 圆锥曲线、双曲线的离心率5某三棱锥的三视图如下列图，那么该三棱锥的体积为1A.-6【答案】A【解析】1B.-3C.D. 1S3 26【考点】三视图、求椎体体积6某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一 天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A. 10种B. 12种C. 18种D. 36种【答案】C【解析】c3 c3 A2 18【考点】排列组合7函数f(x) a 2x 1(a 0)，定义函数F(x) f(x)， x 0,给出以下命题： f(x), x 0

4、. F(x) f(x)； 函数F(x)是奇函数； 当a 0时，假设mn 0, m n 0 ,总有F(m) F(n) 0成立，其中所有正确命题 的序号是A.B.C.D.【答案】D【解析】画出函数f (x) a 2鬥1(a0)的草图当a 0时当a 0时显然，错；正确；对于，mn 0,m n 0,m n由图知，F(x)为减函数，所以F(m) F( n)F(n)，推出 F(m) F(n) 0 ,正确;如图，建系当P与A重合时，PAPC1 PA PC10故A、b排除;A(1,0,0) G(0,1,1)P(x,y, 0)(0 x1,0y1),，设PA (1 x, y, 1),PG(x ,1 y ,0)亠L

5、 221 21 211PAPC1x x y y(x J (y122所以答案选D【考点】函数的性质、指数函数、分段函数8点P是棱长为1的正方体ABCDABQiDi的底面ABiGDi上一点，贝U PA PCi的取值范围是1A. 1,-4【答案】DB.-C. 1,0【解析】【考点】空间向量与立体几何第二局部非选择题 共110分、填空题：本大题共 6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上9i为虚数单位，计算【答案】2 i【解析】口(3 i)(1 ° 2 i1 i (1 i)(1 i) 2【考点】复数的运算x 2cos10假设直线I与圆C :'为参数相交于 A , B两点，y 1

6、 2si n且弦AB的中点坐标是(1, 2)，那么直线I的倾斜角为 .【答案】n4【解析】将C: X 2cos ,化为直角方程得x2 (y 1)2 4，圆心为(0, 1)y 1 2si n圆心与AB的中点连线的斜率为1 ,所以I斜率为1，故倾斜角为-4【考点】参数方程、直线与圆11如图,那么tanPC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O , PCCOP , OBC的面积是.4,PB【答案】-3【解析】由切割线定理，PC2PAPB，又 PC 4,PB8，故PA所以AB 6,那么OC3 ,易知，OC CP，那么 tanCOPPCOC过C作CD OP ,由OCPCOP CD ,得 CD 1251q c

7、口 rn185432【考点】几何证明选讲12丨某公司一年购置某种货物 600吨，每次都购置x吨，运费为3万元/次，一年的总存储 费用为2x万元，假设要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么每次需购置 吨.【答案】30【解析】y 600 3 2x 1800 2x 2 3600120，当且仅当 1800 2x，即 x 30xxx【考点】均值不等式、实际应用题3x 4y 19,13将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组 x 1,所构成的三角形区域内，那么y 1该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是.【答案】1 -12【解析】如图，画出区域,y71只需求质点落入阴影局部的概率,【考点】

8、线性规划、几何概型12 n1271121,3,7,' ',2n 1(n N )，从集合 An14数列2n 1的前n项1,3,7,2n 1组成集合An中任取k (k 1,2,3，,n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk假设只取一个数,规定乘积为此数本身，记£T1T2"Tn.例如当n 1时，A1 , T11 , S11 ；当 n 2 时，A,1,3 , T13 ,T21 3 , S213 1 37 .那么当n 3 时，S3 ;试写出Sn .n(n 1)【答案】63, 2丁 1【解析】当 n 3 时，A 1,3,7 , T1 1 3 7, T2 1 3 1

9、7 3 7, T3 1 3 7令 an 2n 1Sn(ai a2 an)(禺比 禺氏 an ian) a£2an(a 1)(a21)(an 1) 121 22 2n 1n(n 1)2= 1【考点】新定义型数列三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程15本小题总分,值13分在厶ABC 中，A, B,C所对的边分别为a,b,c，且f(A)AA2A2 A2cos sin()sinCOS222 2I求函数f(A)的最大值;假设 f (A) 0,C, a .6，求 b 的值.12【答案】I2n3【解析】15本小题总分值13分解:I因为 f (A) 2cos

10、 sin_A sin2"A cos2 2 2 2 2si nA cos A2 si n(A ).4因为A为三角形的内角，所以 0 A ,所以a .444所以当A，即A 时，f(A)取得最大值，且最大值为2 .424n由题意知 f (A)2 sin(A) 0，所以 sin( A ) 0 .44又因为一 A ，所以A0 ,所以A -.44444又因为C ，所以B .123由正弦定理 asin Ab得，b sin Ba sin B6 sin33 .sin 413分sin A【考点】三角函数、解三角形16本小题总分值14分如图，四边形 ABCD是正方形,EA 平面 ABCD , EA 用 P

11、D , AD PD 2EA 2 ,F , G , H分别为PB, EB , PC的中点.DCI求证：FG 平面PED ;求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小;川在线段PC上是否存在一点 M ,使直线FM与直线PA所成的角为60 ?假设存在，求出线段PM的长；假【答案】I略n-川耳44【解析】16本小题总分值14分不存在，请说明理由设I证明：因为 F ,G分别为PB , BE的中点, 所以FG PE .又FG 平面PED , PE 平面PED , 所以FG 平面PED .因为 EA 平面 ABCD , EA PD ,所以PD 平面ABCD ,所以 PD AD , PD CD .又因为四边形

12、 ABCD是正方形，所以AD CD .如图，建立空间直角坐标系，因为 AD PD 2EA 2 ,所以 D 0,0,0 , P 0,0,2 , A 2,0,0 ,C 0,2,0 , B 2,2,0 , E(2,0,1).因为F , G , H分别为PB , EB , PC的中点,叫.设n1Xi，yi，zi为平面FGH的一个法向量，那么ni GFXi再令yi i，得 ni(0,1,0) . PB (2,2, 2) , PCni GH(0,2, 2)2x!1zi 02丄z 02设韭X2,y2,Z2为平面PBC的一个法向量，那么n2 PBn2 PC2x2 2y2 2z22y2 2z200，令 Z2i，

13、得 n2(0,i,i).所以cosni,门盯=卜n2|_血ni乜 2d d所以F i,i,i , G (2,i,丄),H (0,i,i).所以 GF ( i,0,-) , GH (2-所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为4川假设在线段 PC上存在一点M ,使直线FM与直线PA所成角为60 .依题意可设 PM PC ,其中0由 PC (0,2, 2),那么 PM (0,2又因为 FM FP PM , FP (i,i,i)，所以 FM ( i,2i,i 2 ).因为直线FM与直线PA所成角为60 , PA (2,0, 2),所以 cosSmIpA；#1，即 1' / 2 ：，解得

14、22 212(2 i)2所以PM 碍彳,PM所以在线段PC上存在一点M ,使直线FM与直线PA所成角为60，此时PM 口 .4 i4分【考点】空间向量与立体几何、动点问题 17本小题总分值13分为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛比赛成绩共有90分,70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了 30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表:成绩等级ABCDE成绩分9070604030人数名461073I根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛的小学生中任意抽取一人， 其成绩等级为“ A或B的概率；n

15、根据I的结论，假设从该地区参加“数独比赛的小学生参赛人数很多中任 选3人，记X表示抽到成绩等级为“ A或B的学生人数，求 X的分布列及其数学期 望EX ;川从这30名学生中，随机选取 2人，求“这两个人的成绩之差大于20分的概率.【答案】I1；3n随机变量 X的分布列为X0123P8421279927所以EX 0 11226131 .27272727川3487【解析】17本小题总分值13分解：I根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A或B 的频率为殳2 10 1 .30 30 30 3A或B的概率约从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛分数等级为为1 . 3分3 n由得，

16、随机变量 X的可能取值为0, 1 , 2, 3.所以PX0)C0(1)0 c3(3)(3)3827 ；P(X1)1 1 1C3(：)2 2 仁124 .-;332792 1 22 162P(X2)C3;33279_ 3x 31P(X3)。3-一3327随机变量X的分布列为X0123P_8_42丄279927所以 EX 0 1 12 2 3 1 . 9 分27272727川设事件 M :从这30名学生中，随机选取 2人，这两个人的成绩之差大于20分.所以P(M )3487所以从这30名学生中,3487 °【考点】概率分布列、二项分布随机选取2人，这两个人的成绩之差大于13分20分的概率

17、为设从这30名学生中，随机选取 2人，记其比赛成绩分别为 m, n .不妨设m n ,60或40或30,其根本领件数为c；(G1。c7 c3)；当m90 时，n当m70 时，n40或30 ,其根本领件数为&(c7；当m60 时，n30 ,其根本领件数为C；0c3 ；显然根本领件的总数为c3。.(c；o c7 c3)c6(c7 c；)C；oc318本小题总分值13分函数 f(x)专竺 1 m 0，g(x) X2eax(a R). x 1I求函数f(x)的单调区间；n当m 0时，假设对任意X1,X20,2 , f(X1)g(x2)恒成立，求a的取值范围【答案】I当m 0时，函数f(x)的单

18、调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(，1),(1,)当m 0时，函数f (x)的单调递增区间是(，1), (1,)，单调递减区间是(1,1).na的取值范围是(，In 2.【解析】18本小题总分值1 3分解：I函数f(x)的定义域为R , f(x)理一芈m(1 2x)(12x). 1分(x2 1)2(x2 1)2当m 0时，当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况如下表：x(,1)(1,1)(1,)f (x)f(x)/所以，函数f(x)的单调递增区间是(1,1),单调递减区间是(，1) , (1,).3分当m 0时，当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况如下表：x(,1)

19、(1,1)(1,)f (x)f(x)X所以，函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(1,)，单调递减区间是(1,1).5分依题意，"当m 0时，对于任意X1,X2 0,2 , f(xj g(x?)恒成立等价于 "当m 0时，对于任意 X 0,2 ,f (x)min g(x)max 成立当m 0时，由I知，函数f(x)在0,1上单调递增，在1,2上单调递减,因为 f(0)1,f(2)1,所以函数f (x)的最小值为f(0)1.所以应满足g(x)max 1.因为 g(x) x2eax,所以 g (x) (ax2 + 2x)eax.当a 0时，函数g(x) x2,x 0,2 ,

20、g(x)maxg(2)4 ,显然不满足g(x)max 1，故a 0不成立.8分2当a 0时，令g (x) 0得，捲0, X22.a2i当 2，即 1 a 0时，a在0,2上g (x)0 ,所以函数g(x)在0,2上单调递增，所以函数 g(x)max g(2) 4e2a .由 4e2a 1 得，a ln 2，所以 1 a In 2. 10 分2ii当 022，即 a 1 时，a22在0,)上 g(x) 0，在(,2上 g(x) 0,aa所以函数g(x)在0,2)上单调递增，在(-,2上单调递减,aa所以 g(x)maxg( -).a a e4211分12分13分由1得，a,所以a 1.a ee2

21、iii当 0 ,即 a 0时,显然在0,2上 g (x)0 ,a函数g(x)在0,2上单调递增，且g(x)max g(2) 4e2a.显然g (x) max4e2a 1不成立，故a 0不成立.综上所述，a的取值范围是(，In2.【考点】函数与导数、单调区间、恒成立问题双变量19本小题总分值14分2 2椭圆C:% 吿 1(a b 0)的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为 B1,B2, a b且 FBt FB2a .I求椭圆C的方程；n过点F且斜率为k (k 0)的直线l交椭圆于M ,N两点，弦MN的垂直平分线与 x轴相交于点D .设弦MN的中点为P，试求|3耳的取值范围.|mn|【答案】2

22、 2Ix_ y_431;n(0,(0,二).)4【解析】19本小题总分值14分解：I依题意不妨设B(0,b) , B2(0, b)，那么 FB1( 1, b) , FB2( 1,b)由 FB1 FB2a ,得1 b2a .又因为a2b2 1 ,解得a 2,b3.2 2 所以椭圆C的方程为1上1.43依题直线丨的方程为y k(x 1).y k(x由 22由 x y1)，1 得 (32 24k )x2 28k x 4k 120.设 M (xi, yi),N(X2,y2)，贝U Xi8k1 2 X 3 4k2XiX4k2 123 4k2所以弦MN的中点为P( 4 23 4k 3 4k所以 MN .

23、(Xi X2)4【考点】圆锥曲线、椭圆、弦长问题20本小题总分值13分 (yi y2)2. (k2 1)(xi x?)2 4x2(k21)64k2 2(3 4k )24(4 k 12)4k2 12(k2 i)4k2直线PD的方程为3k24k23于X厂4k33 . k2(k21)2 4 k233k2(k21)4 k2312(k21)所以DP14lk21k24 k23所以僦那么D(k(xk24k2k2出)2 丿?4k2311分12分又因为k20所以0的取值范围是1414分实数 Xi,X2,Xn n 2 丨满足 Ixl 1(i 1,2,3,n)，记 S(xX2,，x.)I求XiXj .1 i j n2n当n 3时，求SgKx)的最小值;川求S(Xi,X2，,Xn)的最小值.注:XXj表示X1,X2，Xn中任意两个数1 i j nXi ,Xj 1n丨的乘积之和.由得S(1,1, 1, 1)1111S(", 3)2.nSmin1(n 1)2【解析】20本小题总分值川Smin13分2) 13S(1,1, 1, 1) 1 11 11解：I由得S( 1,1,n设 s S(x1 ,x2, x3).当 n 3 时，S S(x! ,x2, Xg)XXjj 3NX2X1X3X2X3.假设固定X2, X3，仅让X1变动，此时SX1X2X1X3X2X3(X2X3)X1X2X3,S( 1,