信号与系统教案第3章

1、第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 一、差分与差分方程一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应一、单位序列响应 二、阶跃响应二、阶跃响应3.3 卷积和卷积和 一、序列分解与卷积和一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解二、卷积的图解 三、不进位乘法三、不进位乘法 四、卷积和的性质四、卷积和的性质3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程 设有序列设有序列 f (k

2、)，则，则，f (k+2)，f (k+1)，f (k-1)，F (k-2)等称为等称为f (k)的的移位序列移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算差分运算。 1. 差分运算差分运算ttfttft )(limd)(d0离散信号的变化率离散信号的变化率有两种表示形式：有两种表示形式：kkkfkfkkf )1()()1()()1()1()()( kkkfkfkkfttfttft )()(lim0tttftft )()(lim0（1）一阶前向差分定义：）一阶前向差分定义： f (k) = f (k+1) f (k)（2）一阶后向差分定义：一阶后

3、向差分定义： f (k) = f (k) f (k 1) 式中，式中， 和和 称为差分算子称为差分算子，无原则区别。本书主要用，无原则区别。本书主要用后向差分后向差分，简称为，简称为差分差分。（3）差分的线性性质）差分的线性性质 af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义）二阶差分定义 2f (k) = f (k) = f (k) f (k-1) = f (k) f (k-1) = f (k)f (k-1) f (k-1) f (k-2)= f (k) 2f (k-1) + f (k-2)（5） m阶差分阶差分 mf (k) = f (k) +

4、b1f (k-1) + bmf (k-m)因此有：因此有：2. 差分方程差分方程 差分方程差分方程-包含未知序列包含未知序列 y(k)及其各阶差分的方程式及其各阶差分的方程式，展开为展开为移位序列移位序列的一般形式为的一般形式为 y(k) + an-1 y(k-1) + a0 y(k-n) = bm f (k)+ b0 f (k-m) 若已知若已知初始条件和激励，初始条件和激励，利用利用迭代法迭代法可求得其可求得其数值解数值解。 例：例：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f (k) 初始条件初始条件y(0)=0，y(1)=2

5、，激励，激励 f (k)= 2k(k)，求求y(k)。 解：解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + 2k(k) y(2) = 3y(1) 2y(0) + f (2) = - -2 y(3) = 3y(2) 2y(1) + f (3) = 10 一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的(闭合闭合)解。解。二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解y(k) + an-1 y (k-1) + a0 y (k-n) = bm f (k)+ b0 f (k-m)差分方程经典解差分方程经典解 y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解齐次解 yh(k) 齐次方程齐次方程： y

6、 (k) + an-1 y (k-1) + + a0 y (k-n) = 0特征方程特征方程： 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ， 即即 n + an-1n 1 + + a0 = 0 特征根特征根i ( i = 1，2，n)决定齐次解的形式决定齐次解的形式。（1）当）当为单根时为单根时，齐次解形式：，齐次解形式： Ck（2）当）当为为r重根时重根时，齐次解形式：，齐次解形式： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k 齐次解齐次解特解特解（1）当）当为单根时为单根时，齐次解形式为：，齐次解形式为： Ck（2）当）当为为r重根时重根时，齐次解形式为：，齐次解形式

7、为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k （3）当）当为一对共轭复根为一对共轭复根12= ajb =ej 时时， 齐次解形式为：齐次解形式为：（4）当）当为为r重共轭复根时重共轭复根时，齐次解形式为：，齐次解形式为： )sin()cos(kDkCk )cos()cos()cos(00222111 kAkkAkkArrrrrrk)cos(0 kAk2. 特解特解 yp(k) 特解的形式特解的形式与激励的形式雷同与激励的形式雷同(r1)。 （1） 激励激励 f (k)= km (m0） 所有特征根均不等于所有特征根均不等于1时，时，yp(k) = Pmkm + P1k +

8、P0 有有r重等于重等于1的特征根时，的特征根时，yp(k) = krPmkm+P1k+P0 （2） 激励激励 f (k)= ak 当当a不等于特征根时，不等于特征根时， yp(k) = Pak 当当a是是r重特征根时，重特征根时， yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励）激励 f (k)=cos(k)或或sin(k) 且且所有特征根均不等于所有特征根均不等于ej : yp(k) = P cos(k) + Q sin(k) )(kf)(pky 01110111PkPkPkPkPkPkPkPmmmmrmmmm mkka 011101krrrrkkaPkPkPkPa

9、PkPPa 特特解解yp(k):1r重重=1aa=a为为r重重例例1：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f (k)初始条件初始条件y(0)=0，y(1)= 1；f (k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解：解： 特征方程为特征方程为 2 + 4+ 4 = 0 特征根特征根 1=2= 2， 齐次解为齐次解为 yh (k)= ( C1k +C2 ) ( 2)k 特解为特解为 yp(k) = P (2)k ，k0代入差分方程得代入差分方程得 P(2) k + 4P(2)k 1 + 4P(2)k2 = f (k) = 2k

10、 解得解得 P= 1/4 = 22得特解：得特解： yp(k) = 2k2，k0故全解为故全解为 y(k) = yh+ yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 ，k0 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1，C2= -1/4 y(k) = yh+ yp = (k - -1/4) ( 2)k + 2k2例例2：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 6y(k) - - 5y(k 1) + y(k 2) = f (k)初始条件初始条件 y(0)=0，y(1)= 1；激励；激励f (k)=10cos(0.5k)，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解：解： 特征方程为特征

11、方程为 62 - -5+ 1 = 0 特征根特征根 1=1/2，2= 1/3， 齐次解为齐次解为 yh (k)= C1(1/2)k +C2 (1/3)k 特解为特解为 yp(k) = Pcos(0.5k ) + Qsin(0.5k )，k0 求得求得yp(k-1)和和yp(k-2)，代入差分方程解得，代入差分方程解得 P = Q =1 得得特解特解： yp(k) = cos(0.5k ) + sin(0.5k )，k0代入初始条件代入初始条件y(0)=0，y(1)= 1解得解得 C1= 2，C2= - -3 则全解则全解y(k) = yh(k) + yp(k) = 2(1/2)k - -3 (

12、1/3)k + cos(0.5k ) + sin(0.5k ) = 2(1/2)k - -3 (1/3)k + 2cos(0.5k /4) k0自由响应自由响应强迫响应强迫响应（瞬态响应）（瞬态响应）（稳态响应）（稳态响应）故全解故全解 y(k) = yh+ yp = C1(1/2)k +C2 (1/3)k + cos(0.5k ) + sin(0.5k ) 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应 y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以也可以分别用经典法分别用经典法求解。求解。设设 激励激励 f (k)在在 k=0 时接入系统时接入系统，通常以通常以 y(1)，y(

13、2) , ，y(n) 描述系统的描述系统的初始状态初始状态。 则有则有 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1 而且而且 yf(1) = yf(2) = = yf(n) = 0 所以所以 y(1) = yx(1) ，y(2) = yx(2), ，y(n) = yx(n) 然后然后利用迭代法利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应分别求得零输入响应和零状态响应的的初始值初始值 yx(j) 和和 yf(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1)例：例：描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k

14、 2) = f (k)激励激励 f (k)=2k ，k0，初始状态初始状态 y(1)=0，y(2)=1/2，求系求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（解：（1）零输入响应）零输入响应 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0其初始状态其初始状态 yx(1)= y(1)= 0，yx(2) = y(2) = 1/2 yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2)递推求出初始值递推求出初始值 yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1， yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)= 3方程的特征根为方程的特征根为 1= 1 ，2= 2

15、 ，其解为其解为 yx(k)= Cx1( 1)k + Cx2(2)k 将初始值代入并解得将初始值代入并解得 Cx1=1，Cx2= 2 所以所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k ，k0满足满足 yf (k) + 3yf (k 1) + 2yf (k 2) = f (k) 初始状态初始状态 yf(1) = yf (2) = 0， yf (k) = 3yf (k 1) 2yf (k 2) + 2k，k0递推求初始值递推求初始值 yf(0) = 3yf (1) 2yf (2) + 1 = 1 yf(1) = 3yf (0) 2yf (1) + 2 = 1求出求出齐次解齐次解和和特解，特解，得得

16、yf(k) = Cf1(1)k + Cf2(2)k + yp(k) = Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k代入初始值代入初始值求得求得 Cf1= 1/3，Cf2=1 所以所以 yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k，k0 （2）零状态响应）零状态响应（3）全响应）全响应 y (k)yx(k)=( 1)k 2( 2)kyf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2ky (k) = yx(k) + yf(k) = 2/3( 1)k ( 2)k + (1/3)2k k0 例例2：描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为 y(k

17、) - - 2y(k 1) + 2y(k 2) = f (k)激励激励 f (k)= k ，k0，初始状态初始状态 y(1)= 1，y(2)= 0.5，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（解：（1）零输入响应）零输入响应yx(k) yx(k) - 2yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0初始状态初始状态 yx(1)= y(1)= 0，yx(2) = y(2) = 0.5 yx(k)= 2yx(k 1) 2yx(k 2)递推求出初始值递推求出初始值 yx(0)= 2yx(1) 2yx(2)= 1， yx(1)= 2yx(0) 2yx(1)= 0

18、方程特征根为方程特征根为 1= 1+j1=2e+j/4 ，2= 1-j1=2e-j/4，其解为其解为 )4sin()4cos()2()(11 kDkCkykx 将初始值代入并解得将初始值代入并解得 C1=1，D2= 1 所以所以满足满足 yf (k)- -2yf (k 1) + 2yf (k 2) = k 初始状态初始状态 yf(1) = yf (2) = 0， yf (k) = 2yf (k 1) 2yf (k 2) + k，k0递推求初始值递推求初始值 yf(0) = 2yf (1) 2yf (2) + 0 = 0 yf(1) = 2yf (0) 2yf (1) + 1 = 1齐次解齐次解

19、（2）零状态响应）零状态响应 yf (k)4sin()4cos()2()(22 kDkCkykh )4sin()4cos()2()( kkkykx 设设特解特解 yp(k) = p1k + p0代入差分方程求得代入差分方程求得 p1= 1， p0 = 2 即即 yp(k) = k+2 k0全解为全解为代入初始值代入初始值求得求得 C2= 2，D2= 0 全响应为全响应为2)4sin()4cos()2()(22 kkDkCkykf 2)4cos()2(2)( kkkykf )(ky)4sin()4cos()2(kkk 2)44cos()2(1 kkk k02)4cos()2(2 kkk )(ky

20、f )(kyx3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应一、单位序列响应 单位序列响应单位序列响应-由单位序列由单位序列(k)所引起的零状态响应。所引起的零状态响应。也称也称单位样值响应单位样值响应或或单位取样响应单位取样响应，记为，记为h(k)。 h(k) = T 0,(k) 例例1 已知某离散系统的流图，已知某离散系统的流图，求单位序列响应求单位序列响应h(k)。 DDy(k)f (k) + + + +21y(k-1)y(k-2)y(k) = y(k-1)+ 2y(k-2)+ f (k)由图知由图知解：解：系统的差分方程为系统的差分方程为y(k) - -y(k-1

21、) - -2y(k-2) = f (k) 解：解：根据根据h(k)的定义的定义 有有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) =(k) （1） h(1) = h(2) = 0（1）递推求初始值）递推求初始值 h(0) 和和 h(1)。 h(k) = h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0) = h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1) = h(0) + 2h(1) + (1) = 1 方程（方程（1）移项）移项（2）求）求h(k)。 对于对于k 0，h(k)满足齐次方程满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 特征方程为特征方程为 (+1) ( 2

22、) = 0 所以所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k 0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1) = C1+2C2 = 1 解得解得 C1= 1/3，C2=2/3得单位序列响应得单位序列响应 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) 例例2：已知系统如图所示，已知系统如图所示，求单位序列响应求单位序列响应h(k)。DDx(k-1)x(k-2)x(k)f (k) + + + +21+ +- -y (k)1解：解：x(k) = x(k-1)+ 2x(k-2)+ f (k)设中间变量设中间变量 x(k)，对输入端列出方程：对输入端列出方程：移

23、项有：移项有：x(k) - - x(k-1) - -2x(k-2) = f (k) 对输出端列出方程：对输出端列出方程：y(k) = = x(k) - -x(k-2)系统的差分方程：系统的差分方程： y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f (k) f (k 2)单位序列响应单位序列响应 h(k) 满足满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2)令只令只有有(k)作用作用时，系统的单位序列时，系统的单位序列响应响应h1(k) , 满足满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 根据线性时不变性，根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k 2)

24、 =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2) 二、阶跃响应二、阶跃响应g(k) = T (k), 0由于由于 0)()()(jkijkik (k) =(k) (k 1) = (k) 所以所以 0)()()(jkijkhihkgh(k) = g(k) 11111212121akkaaaaakkkkj (k2k1 )两个常用的两个常用的求和公式：求和公式：2)1)(121221 kkkkjkkjqqaan 111)(211naan 例：例：已知某离散系统的差分方程为已知某离散系统的差分方程为 y(k) - - y(k-1) -

25、 - 2y(k-2) = f (k)，求单位阶跃响应求单位阶跃响应g(k)。 解：解：根据根据g(k)的定义的定义 有有 g(k) g(k 1) 2g(k 2) =(k) g(1) = g(2) = 0（1）经典法求解）经典法求解 递推求初始值递推求初始值 g(0) 和和 g(1)。 g(k) = g(k 1) + 2g(k 2) +(k) g(0) = g(1) + 2g(2) +(0) = 1 g(1) = g(0) + 2g(1) +(1) = 2 系统特征方程为系统特征方程为 (+1) ( 2) = 0 则特征根为则特征根为 - -1和和 2，而系统的特解为，而系统的特解为 gp(k)

26、= - -1/2， 所以所以 g(k) = C1( 1)k + C2(2)k - -1/2 ， k 0 g(0) = C1 + C2 - -1/2 = 1 , g(1)= C1+2C2 - -1/2 = 2 解得解得 C1= 1/6，C2= 4/3得单位阶跃响应得单位阶跃响应 g(k) = (1/6)( 1)k + (4/3)(2)k- -1/2(k) （2）用单位序列响应求解）用单位序列响应求解 已经求得系统的单位序列响应为：已经求得系统的单位序列响应为： h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) kjjhkg)()()()2(32) 1(3100kkiikii )(

27、)2(32)1(31)(00kkgkiikii ) 1(1 21) 1(1) 1(1) 1(10kkkii 122121)2(110 kkkii得：得：)()12(32) 1(1 2131)(1kkgkk )(21234) 1(61kkk 3.3 卷积和卷积和一、卷积和一、卷积和1、序列的时域分解序列的时域分解012ik-1f(k)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(i) 任意离散序列任意离散序列 f (k) 可表示为可表示为 f (k) =+f (-1)(k+1) + f (0)(k) + f (1)(k-1) + f (2)(k-2) + + f(i)(k i) + iikif)()(

28、2、任意序列作用下的零状态响应、任意序列作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(k)f (k)h(k)的定义：的定义： (k) h(k) 由时不变性：由时不变性： (k -i)h(k -i)f (i)(k-i)由齐次性：由齐次性：f (i) h(k-i)由叠加性：由叠加性：f (k)yf(k)卷积和卷积和 iikif)()( iikhif)()( ifikhifky)()()(3、卷积和的定义卷积和的定义 已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数 f1(k)和和f2(k)，则定义和，则定义和 为为 f1(k)与与 f2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷

29、积卷积；记为；记为 f (k) = f1(k)*f2(k) 注意：注意：求和是在虚设的变量求和是在虚设的变量 i 下进行的，下进行的，k 为参变量。为参变量。结果为结果为k 的函数。的函数。 iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyif 例：例：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求，求 yf (k)。解：解： yf(k) = f (k) * h(k)当当i k时，时，(k- -i) = 0 iikiiikbiaikhif)()()()( )()()(00kbabkbakykiikkiikif (k)*(k) = (k+1)(k)

30、bakbbabababkkk,)1(,111二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程卷积过程-四步：四步：（1）换元：）换元： k 换为换为i 得得 f1(i)， f 2(i)（2）反转平移：）反转平移：由由f2(i)反转反转 f2(i)右移右移k f2(k i)（3）乘积：）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和：）求和： i 从从 到到对乘积项求和对乘积项求和。 注意：注意：k 为参变量。为参变量。 iikfifkf)()()(21例：例：f1(k)、 f2(k)如图所示，若如图所示，若f (k) = f1(k)* f2(k)，求，求f (2) =？解解：（1）换元）换元（2） f

31、2(i)反转得反转得 f2( i)（3） f2(i)右移右移2得得 f2(2i)（4） f1(i)乘乘 f2(2i)（5）求和，得）求和，得 f (2) = 4.5 iififf)2()()2(21012k-1f1( k )1.511.521f2( k )01233-2-2-1kiiiif2(i )f2(2i)012i-1f1( i )f2( k- - i )11.523三、不进位乘法求卷积三、不进位乘法求卷积即即 f (k) = 两序列序号之和为两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。的那些样本乘积之和。 如如 k = 2 时，时，f (2)= + f1(-1) f2(3) + f1(0)

32、f2(2) + f1(1) f2(1)+ f1(2) f2(0) + 例：例：f1(k) = 0, f1(1) , f1(2) , f1(3), 0 f2(k) = 0, f2(0), f2(1), 0 =+ f1(-1) f2(k+1) + f1(0) f2(k) + f1(1) f2(k-1)+ f1(2) f2(k-2) + + f1(i) f2(k i) + iikfifkf)()()(21f1(1) ， f1(2) ， f1(3)f2(0) ， f2(1)f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0) f1(1) f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f

33、1(3) f2(1) + f1(3) f2(1) f1(2) f2(1)+ f1(3) f2(0) f1(1) f2(1)+ f1(2) f2(0) f1(1) f2(0) f (k)= 0，f1(1) f2(0)，f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2) f2(1)+ f1(3) f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 排成乘法：排成乘法：例：例： f1(k) = 0, 2 , 1 , 5, 0 k=1 f2(k) = 0, 3, 4, 0, 6, 0 k=03 ， 4， 0， 62 ， 1 ， 5解：解：15 ，20， 0， 303 ， 4， 0， 66 ，8， 0，

34、 12+ 6 ，11，19，32，6，30求求 f (k) = f1(k)* f2(k) f (k) = 0, 6 , 11, 19, 32, 6, 30, 0 k=1和列表法，本质是一样的。和列表法，本质是一样的。四、卷积和的性质四、卷积和的性质1. 满足乘法的三律满足乘法的三律（1）交换律（）交换律（2）分配律）分配律 （3）结合律）结合律2. f (k)*(k) = f (k) ， f (k)*(k k0) = f (k k0) 3. f (k)*(k) = kiif)(4. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) = f( k- - k1- -

35、k2)5. f 1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 求卷积和是本章的重点。求卷积和是本章的重点。例例1：如图复合系统由三个如图复合系统由三个子系统组成，其中子系统组成，其中h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求求系统的单位序列响应系统的单位序列响应h (k) 。 解：解：根据根据h(k)的定义，有的定义，有h1(k)h2(k)h1(k)f(k)f(k)y(k)y(k)h(k)= (k)* h1(k) (k)* h2(k) * h1(k) = h1(k) h2(k) * h1(k) = h1(k) * h1(k) h2(k) *

36、h1(k) = (k)* (k) (k 5) *(k) = (k+1)(k) (k+1 5)(k 5) = (k+1)(k) (k 4)(k 5)例例2：如图复合系统由两个子系统级联组成，其中如图复合系统由两个子系统级联组成，其中 h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = ak(k)，激励激励 f (k)= (k) a(k-1)，求求复合系统的零状态响应响应复合系统的零状态响应响应 yf (k) 。 h1(k)h2(k)f(k)f(k)y(k)y(k)解：解：yf (k) = f (k)* h1(k) * h2(k) = 2cos(k)*ak(k)*(k) a(k-1) = 2cos(

37、k)*ak(k) - - ak(k -1) = 2cos(k)* (k) = 2cos(k)DDy(k)f (k) + + + +21y(k-1)y(k-2)例例3：已知如图所示离散系统，初始状态已知如图所示离散系统，初始状态 y(-1)=0，y(-2)=1/6，激励激励 f (k) = cos(k)(k) = (- -1)k(k)，求系统的全响应。求系统的全响应。 系统的差分方程为系统的差分方程为y(k) - - y(k-1) - - 2y(k-2) = f (k)解：解：（1）求零输入响应）求零输入响应yx (k) yx(k-1) - - 2yx(k-2) = 0, 即即 yx (k) =

38、 = yx(k-1) + + 2yx(k-2) yx(-1)= y(-1) = 0，yx (-2) = y(-2) = 1/6递推得初始条件：递推得初始条件： yx (0) = = yx(-1) + + 2yx(-2) = 1/3 yx (1) = = yx(0) + + 2yx(-1) = 1/3而特征根而特征根 1= - -1，2= 2， yx ( k) = = Cx1(- -1)k + + Cx2( 2)k 代入初始条件有代入初始条件有 yx (0) = = Cx1 + + Cx2 = 1/3 yx (1) = - = - Cx1 + 2+ 2Cx2 = 1/3解得解得 Cx1 =1/9

39、，Cx2 = 2/9零输入响应为零输入响应为 yx ( k) = = 1/9(- -1)k + + 2/9( 2)k ， k0 （2）求零状态响应）求零状态响应单位序列响应单位序列响应h(k)满足满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2) =(k) h(1) = h(2) = 0递推求初始值递推求初始值 h(0) 和和 h(1) h(0) = h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1) = h(0) + 2h(1) + (1) = 1 对于对于k 0，h(k)满足齐次方程满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 特征方程为特征方程为 (+1) ( 2) = 0 所以所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k 0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1) = C1+2C2 = 1 解得解得 C1= 1/3，C2=2/3得单位序列响应得单位序列响应 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) 则则 yf (k) = h(k)* f (k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k