气体固体和液体的基本性质

1、第八章气体、固体和液体的基本性质8-2在一个容器内盛有理想气体，而容器的两侧分别与沸水和冰相接触( 热接触) 。显然，当沸水和冰的温度都保持不变时，容器内理想气体的状态也不随时间变化。问这时容器内理想气体的状态是否是平衡态？为什么？解 不是平衡态，因为平衡态的条件有二：一是系统的宏观性质不随时间变化，二是没有外界的影响和作用。题目所说的情况不满足第二条。8-3 氧气瓶的容积是 32 dm3 ，压强为130 atm，规定瓶内氧气的压强降至10 atm时，应停止使用并必须充气，以免混入其他气体。今有一病房每天需用1.0 atm 的氧气 400 dm3 ，问一瓶氧气可用几天？解 当压强为 p1 13

2、0 atm 、体积为 V32 dm 3 时，瓶内氧气的质量M 1 为M1p1V.RT当压强降至 p210 atm 、体积仍为 V 32dm3 时，瓶内氧气的质量M2 为M 2p2V.RT病房每天用压强为p3 1 atm 、体积为 V2400 dm3 的氧气质量m 为p3V2m.RT以瓶氧气可用n 天：V ( pp )nM1 M2RT12V ( p1p2 )32 (13010)d = 9.6 d .mp3V2p V1400RT328-4在一个容积为10 dm3 的容器中贮有氢气， 当温度为7时，压强为 50 atm。由于容器漏气，当温度升至17时，压强仍为50 atm，求漏掉氢气的质量。解漏气前

3、氢气的质量为M1, 压强为 p150 atm , 体积为 V110 dm3 , 温度为 T1 (273 7) K = 280 K ，于是 M1 可以表示为M1pV11 .RT1漏气后氢气的质量为 M2, 压 强为 p150atm , 体积 为 V10dm3 , 温度 为1T2(27317) K = 290 K , 于是 M2 可以表示为M 2p1V1 .RT2所以漏掉氢气的质量为m M1M 2PV11(11 )15. 10 3 kg .RT1T2计算中用到了氢气的摩尔质量2.010 3kgmol1 。8-5气缸中盛有可视为理想气体的某种气体，当温度为T1 = 200 K 时，压强和摩尔体积分别

4、为 p1 和 Vm1 。如果将气缸加热， 使系统中气体的压强和体积同时增大，在此过程中，气体的压强 p 和摩尔体积 Vm 满足关系 p = V m，其中 为常量。(1) 求常量 ；(2) 当摩尔体积增大到 2V m1 时，求系统的温度。解(1) 1 mol 理想气体的物态方程可以表示为pVmRT ,当温度为 T1 (= 200 K) 、压强为 p1 和摩尔体积为 V m1 时，上式应写为pVm1RT .(1)11升温过程满足pVm ,在温度为 T1 时，上式应写为p1Vm1 ,(2)将式 (2) 代入式 (1)，得Vm12RT1 .(3)由上式可以解得RT1或p122.VRT1m1(2)根据式

5、 (3)可以得到V 2RT ,22取VV，代入上式，得22m14 Vm12RT2 ,(4)将式 (4) 与式 (3) 联立，可以求得T4 Vm124RT1 4T 800 K .2RR18-8证明式 (8-9) 。解v 2 的平均值 v2 定义为v2v12v22NvN2.在以下的证明中用到上面的关系。下面的关系显然是成立的：v2v2v2v2,11x1 y1zv2v2v2v2,22 x2 y2zvN 2vNx2v Ny2v Nz2 .将以上 N 个式子相加并除以粒子总数N，得v2v2v212NN(v2v2v2 ) (v1y2v2 y2vNy2 ) (v2v2v2 )1x2xNx1z2 zNz,NN

6、N即v2vx2v2yvz2 .证毕。8-9容器内贮有氧气，如果压强为1.0 atm，温度为27，求：(1)单位体积内的分子数n；(2) 分子间的平均距离 r ；(3) 容器中氧气的密度 ；(4)分子的平均平动动能k 。解(1)单位体积内的分子数nnp101. 1052.41025m 3 .kT138.10 23300(2)分子间的平均距离rrn 1/ 3(2.44 1025)1/335.10 9m .(3)容器中氧气的密度p101.1053210 313. kgm 3 .RT8.31300(4)分子的平均平动动能kk3 kT3 138.10 233006.2 10 21J .228-10容器内

7、盛有 1.50 mol 氮气，其分子热运动动能的总和为9.63 103 J，求容器内氮气的温度。解设系统内气体的温度为T，分子热运动动能的总和，就是3 个平动、 2 个转动和 1 个振动自由度上平均动能之和，即EkiRT150.6 RT 9.63 103 J ,22所以T9.63103K=258K.150.300.8.318-11在一个容积为10.0 dm 3 的密封容器内盛有50.0 g 氩气，温度为 180 ，容器以 200 m s 1 的速率作匀速直线运动，如果容器突然停止，分子定向运动的动能全部转化为热运动动能。问当系统达到平衡态时，容器内氩气的温度和压强各增大多少？解整体作定向运动的

8、动能，就是全部氩分子共同作定向运动的动能：Ek1 Mv2150.010 3(200)2J = 1.00103 J.22全部转变为氩分子热运动动能，气体的温度将升高T，于是Eki M RT .2氩分子是单原子分子，只有3 个平动自由度，即i = 3。代入上式就可以求得TTEk100.10364.2K .3 M50.010 3R150.831.240.0103根据物态方程MRT ,pV可得V pMR T .由上式可解得系统压强的增加pMR T8.3164.266.7 103Pa .p125.100.10 3V8-12分别计算在300 K 时 1.00 mol 氢气和 1.00 mol 氦气的内能。

9、解 1.00 mol 气体的内能可以表示为U1 (is)RT .2氢气是双原子分子气体，理论上有6 个自由度 ( t = 3, r =2, s = 1)，内能为13U(61)RT8.7310J .而实验表明在室温下氢分子的振动自由度不被激发，所以内能应为13U(32)RT6.2310J .氦气分子是单原子分子， i = t = 3, r =0, s = 0,代入内能表达式，得U3 RT3.74103 J.28-13将 10 g 氧气 ( 看作理想气体 )从 20加热到50，内能增大多少？解氧气分子是双原子分子，t = 3, r = 2, s = 1,内能的增加为U1(is)MR T71010

10、38.312223210 3(50 20) J = 2.7 10 J.8-14某种三原子分子气体被看作理想气体，试写出分子平均平动动能、 平均转动动能和平均振动动能的表达式。解对于三原子分子，平动自由度t = 3，转动自由度r = 3 ，振动自由度 s = 3 。分子的平均平动动能为tt kT3 kT ,22分子的平均转动动能为r分子的平均振动动能为sr3kTkT ,22s kT3 kT .228-16 说明以下各式的物理意义：f ( v)dv ； N f (v)dv；v2 f ( v)dv；v1v2N f (v)dv ；v2v f (v)dv ；v2v2f (v)dv 。v1v1v1解(1)

11、f (v)dvdN表示在dv 范围内的分子数占分子总数N 的比率；N(2) N f (v)d v = dN 表示在 dv 范围内的分子数；(3)v2f (v)dv 表示在 v1 v2 速率间隔内的分子数占分子总数N 的比率；v1(4)v2N f (v)dv表示在 v1 v2速率间隔内的分子数；v1(5)v2v f (v)dv表示在 v1 v2速率间隔内的分子对平均速率的贡献；v1(6) v2 v2 f ( v)dv 表示在 v1 v2 速率间隔内分子对速率平方平均值的贡献。v 18-17 求温度为 300 K 时氧分子的最概然速率、 平均速率和方均根速率， 并分别阐明这三种速率的物理意义。解最

12、概然速率vp 141. RT141. 8.313003 m s 1394 m s 1 ,3210表示系统中在此值附近的速率间隔内的分子所占比率为最大。平均速率v160.RT407 m s 1 ,表示系统中分子速率的算术平均值。方均根速率v2173.RT1 ,483 m s表示系统中分子速率平方平均值的平方根。8-18求速率处于 vp 与 1.01vp 之间的气体分子数占总分子数的百分比。解速率分布函数可以具体写为f (v)dN4 ( m )3 /2 e mv2 /2 kT v2 .N dv2 kT将 vp2kT 、 xv 和 dxdv 代入上式，得mvpvpf (v) 41/ 23 / 2v2

13、 / vp2 2x24 x2x2vpevpef (x) ,vp并且f (v)dNdN1 .N dvNdx vp由上式得dNNvf (x)Nv4 x2x24N2ex2pex,dxpvp所以dNf ( x)dx42ex2(1)Nvpxdx .当 v vp 、 v dvvp 101.vp 时，x1 ,dxdv101.vp101. ,vpvp将以上两式代入式(1) ，得dN41e 1101.083%. .N8-19求在标准状态下 1.00 cm3氮气中速率在500 m s 1 到 501 m s 1 之间的分子数( 可将 dv 近似地取为 1 m s 1 ) 。解先求在 0时 1.00 cm3 中氮气

14、氮气的分子数N：将 mkdNNMN 0pV2.68 1019个分子 .N0RTm)3/ 2emv2 / 2kT2dN N f (v)dv 4 N (v dv .2 kTN0m,T 273 K , v500 m s1以及 dv1 m s1代入上式，得N 0kR4 N ()3/ 2 ev2 / 2 RTv2dv2 RT42 681019280.10 3)e 28.01035002/ 2 8.3127350021 个(2 831. 2734.97 1016 个 (分子 ).8-20 系统中总共有 N 个分子，分别求速率高于最概然速率和低于最概然速率的分子数占总分子数的百分数。解根据题 8-18 的结

15、果dNv f ( x)dx42ex2xdx ,Np其中xv,dxdv .vpvp分子速率低于最概然速率vp ，对应于0x1，所以，速率低于最概然速率的分子数占总分子数的比率可以表示为N1 42 x2412 x24 1xx 21x edxx edx()e( 2 xdx) .N0002为求解上式，令ux2 ,du2xdx ，代入上式，得N141xu.N02e du上式可用分部积分法求解，为此令Rx / 2,seu ,则上式变为N14xx2111ex2dx2 1ex221,e000dxeN22查表得21ex2dx0843. ,0于是得N10843.0.4150.42842.8% .N即速率低于最概然

16、速率的分子数占总分子数的比率为42.8%，而速率高于最概然速率的分子数占总分子数的比率为142.8% = 57.2%。8-21已知氧的范德瓦耳斯常量b = 31.8310 6 m3 mol 1 ，试估计氧分子的半径。解我们已经知道范德瓦耳斯常量b 大约等于1 mol 气体分子自身体积总和的4倍，所以b6023.10234r 34 .3由上式可以解得氧分子的半径，为r1(3b1023 )1/31467.1010m .226 0238-22二氧化碳和氢的范德瓦耳斯常量a分别为 3.5910 6atm m6 mol 2和0.244 10 6 atm m6 mol 2，求体积为22.4 dm3 的两种

17、气体的内压强pi。解 22.4 dm3 正好是在标准状态下的摩尔体积，气体的内压强应表示为apiVm2 .对于二氧化碳：359.10 6atm = 7.15103pi103)2(22.4对于氢：0.244106atm = 4.86104pi103)2(22.4atm .atm .8-23 已知氧的范德瓦耳斯常量a = 1.36 10 6 atm m6 mol 2， b = 31.8 10 6m3 mol 1 ，求(1) 压强为 100 atm、密度为 100 g dm 3 的氧气系统的温度；(2) 氧的临界压强 pK 和临界温度 TK 。解(1) 范德瓦尔斯方程为( pM 2aMb)MRT ,

18、)(V2V 2用体积 V 除以上式，得M 2aMM( p2V2 )(1Vb)VRT ,其中 M是气体的密度，为已知量，代入上式得V( p2a )(1b )RT .2由上式解出 T，得( p2ab2 )(1)TR398 K.(2) 范德瓦尔斯常量可以表示为a27 R2TK2,(1)64 pKbRTK .(2)8pK由式 (2) 得pRTK,(3)K8b将式 (3) 代入式 (1)，得a27 R b T8K .由上式可以解得临界温度TK8a8136.106101.105K=154 K.27Rb278.31318.10 6将 TK 的表达式代入式(3)，得a136.10 6a t m= 4 9. 8

19、a=t 5m. 0 310 6 Pa.pK27(318.10 6)227b28-24一定量的理想气体，分别在体积不变和压强不变的条件下升温，分子的碰撞频率和平均自由程将怎样变化？解当体积不变时：Z2 d 2nv2 d2 N 8RT ,V由上式可见，在N 和 V 一定的情况下，ZT ，碰撞频率随温度上升而增大。平均自由程可以表示为v1VZ2d 2n,2 d2 N可见，在N 和 V 一定的情况下，平均自由程与温度无关。当压强不变时：Z2 d 2nv2 d 2 p8RT2 d2 p 8R1 ,kTkT上式表明，在压强不变的情况下，Z1，碰撞频率随温度上升而减小。T平均自由程可以表示为v1kTZ2 d

20、 2n,2 d2 p所以，在压强不变时，T ，平均自由程随温度上升而增大。8-25 设氮分子的有效直径为3.8 10 10 m，求：(1) 在标准状态下的碰撞频率和平均自由程；(2) 在温度不变而压强降为 2.0 10 4 Pa 时，碰撞频率和平均自由程。解(1)标准状态 p0101.105Pa 、T0273 K ，代入碰撞频率和平均自由程的表达式，分别得到Z2 d2p8R191,k7.810 sTkT58. 10 8m .2d2 p(2)将 p 2.010 4 Pa 、 T273K 代入以上两式，可以分别求得0Z 16 s 1 ,29 m .也可以这样来处理：ZpZ0,p0即Z p Z0 .

21、 p0将已知各量代入上式，可以求得Z 。对于平均自由程也可以作同样的处理，即p0 ,0 p所以p0p0 .8-26当温度为27时， 电子管内的真空度为1.0 10 5 mmHg ，残余气体分子的有效直径为 3.0 10 10 m，求：(1)单位体积中的分子数；(2)平均自由程和碰撞频率。解(1)单位体积中的分子数np32. 1017 m 3 .kT(2)平均自由程127.8 m .d 2n碰撞频率为8RTZv60 s 1 .8-28由实验测得在标准状态下氦气的黏度为= 1.89 10 5 Pa s，求：(1) 平均自由程度；(2) 氦原子的有效直径。解(1) 根据公式1,v3只要求出其中的和

22、v ，代入上式就可以算出平均自由程。v8RT103 m s1 ,120.4.0010Vm22.410所以3k gm 3179. 10 1k gm 3 .33 2.64 10 7 m .v(2) 氦原子的有效直径：根据kT,2 d 2 p可以求得氦原子的有效直径为kT10 m .d178. 102p8-29已知氦和氩的原子量分别为4.00 和 39.95，它们在标准状态下的黏度分别为 He =1.89 10 5 Pa s 和 Ar =2.1010 5 Pa s，求：(1)氦和氩的热导率之比(He)/(Ar) ；(2)氦和氩的扩散系数之比D(He) /D(Ar) 。解(1)因为1 v ,3所以1v

23、 ccCV .3VV式中 c是比热，C是摩尔热容，是摩尔质量，它们之间有如下关系VVCVcV .He 和 Ar 都是单原子气体，所以CV (A r )= CV (H e ).故有( H e )( H e) ( A r )39.95 10( A r )(A r ) ( H e )4.00 1033189. 10210. 1055 9.00 .(2)扩散系数可以表示为D1 vVRT .3Mp于是有D (H e )(H e ) ( A r ) 9.00 .D (A r )(A r ) ( H e )8-33组成晶体的原子之间的相互作用势能u(r ) 可以用式 (8-66) 表示，并可以描绘成图 8-

24、24 所示的图线，试证明此式中m > n，并说明此结果的物理涵义。解题目要求证明在下式u(r )AB(1)r mr n中， mn 。由书中图 8-24(a)可以看到， u(r )存在极小值，此极小值对应于r r0 。也就是说在 r r0处满足下面两个关系：( du )r r00 ,(2)dr(d2u)r r0 .(3)dr 20将式 (1) 代入式 (2)，得mArm 1nBrn20 ,00由此解得r0( mA )1/( m1) .(4)nB由式 (3) 得m(m 1) Ar0m 2n(n1) Br0n 20,可化为m(m1) Ar m n .n(n1) B0将式 (4) 代入上式，得m

25、(m1) A( mA)1/( m n ) m n mA ,n(n1) BnBnB即mA(mn)0 .nB( n1)要求上式左边大于零，就必须有mn.这表明，随原子间距的增大，斥力势要比引力势衰减的更快，也就是说斥力作用与引力作用相比更具有短程性。8-36在深为 h = 2.0 m 的水池底部有一个直径为d = 5.010 5 m 的气泡， 当它等温上升到接近水面时 ,直径变为多大？已知水的表面张力系数= 7.3 10 2 N m 1 。解设水泡到达水面时的半径为R1，在等温的情况下，应满足pVC ,或pVp V .1 122式中 p1 、V1 分别是气泡在池底时的内部的压强和体积，p2 、V 2 分别是气泡接近水面时的内部的压强和体积。于是可以列出下面的方程式( p0 gh2)4R3( p02 )4 R13,R3R1 3简化为( p0gh2 )R3( p02 )R13.RR1由上式可以解出气泡接近水面时的直径，为d2R53