《数学模型第三版》学习笔记

1、数学模型（第三版）学习笔记写在开始一小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：（1） “实际一模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析还，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；（2） 模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，

2、要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；（3） 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。从上周六继续自学数学模型开始一周，

3、比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流毕竟自己领会很有限。也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考TonySunJuly2012,TJU（目前已更新：全12章）第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变

4、模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事物、现象一一往往增添了说服力。第2章初等模型关键词：初等数学简化技巧思想这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想确实十分重要的。如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。2.1节公平席位分配，通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出Q值法。有意思的是，在考虑是否存在一个

5、理论上公平的分配方法时，根据所提出的4个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。这给我们什么启示呢？有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗？答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的

6、分析，求解后的解释很重要一一它们是整个模型的关键，阐述现象。2.7实物交换一一是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的一一这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。2.10量纲分析与无量纲化一一是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知

7、，即只能得出表达式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。关键：恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍克哪些次要因素。物理知识和经验是关键。第2章小结：本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。第3章简单的优化模型关键词：简单优化微分法建模思想本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题，可以看成一类问题一一内容上也是由简单到复杂。在第3章中，主要是

8、几个简单的优化模型，可以归结到函数极题问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句一一建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。3.1 存贮模型分不允许、允许缺货两种讨论，中间推出一个最小费用的结果一一经济订货批量公式EOQ对存贮量函数q(t)作图，观察规律，对结果解释。3.2 生猪出售时机小键点在于敏感性分析和强健性分析一一这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。3.3 森林救火亮点是对火势莫延程度dB/dt的形式作出的数条假设，以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。3.4 最优价格主要是引出边际收入、编辑支出，

9、以及经济学一条著名定律一一最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。3.5 血管分支是很有趣的一节，用数学模型研究生理问题，我们还是只关注建模、数学的层面，而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。3.6 消费者的选择一个消费者买两种产品时，钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。3.7 冰山运输也是很有趣的问题，考虑各种因素，基于一些假设，这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。第4章数学规划模型关键词：数学规划方法

10、lingo/lindo软件结果深入分析变量个数约束条件、可行域、目标函数，构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质，和它与传统优化数学问题的区别：常理优化模型属于函数极值问题的范畴，但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大，且最优解往往在边界上取得的问题，因此不能用传统的“微分法”求解一一因此要引入“数学规划”方法。这一章内容不少，但都是一类问题，主要点有几个：1 .lingo、lindo求解的使用运行结果中还有一些平时未留意的信息，可以作为结果分析来用，前两节叙述较多；2 .一些细节之处：把一句话用数学公式表达，它往往作为约束条件，如p102的式（19）;3 .多目标规划的处理

11、，p109的“选课策略”一一基本思想是通过加权组合形成一个新的目标，从而化为单目标规划；4 .同前面章节一样地，对一个问题解出结果后，问题虽然解决了，但分析并没有结束一一我们要学习这种furtherdiscussion的精神，发现这个结果“恰与相同之类的，不妨多问自己一句：”这是偶然的吗？”然后继续分析，得出一般的结论，这样往往能看到更多的风景，得出的结论更有含金量/启发性，而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。5 .减少变量个数，简化模型、式子（简化起见，同时lingo对变量个数有限制），p115销售的例子。6 .求最优解时，为了减少搜索范围，加快速度，可以先去一个特殊情况求出

12、一个可行解，然后让最优解至少优于它。第5章微分方程模型关键词：动态模型合理假设分析预测控制这一章是非常经典的一章，对微分方程模型作了很好的诠释、介绍，每一个模型都有富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态，当我们要1）分析变化规律；2）预测；3）研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。自然地，这样的模型功能非常强大，也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋一一如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程，有时就表示着一件事，这件事有可能还持续几十年多么有趣而强大。5.1 传染病模型本节是解决“传播”、“莫延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI（只分为易感

13、染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）o可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，这一节有很详细的介绍。模型改进、建模目的性、方法三者配合,是本节5.2 经济增长模型通过建立产值与1）资金；2）劳动力之间的关系，来研究1）资金与劳动力的最佳分配，使效益最大;2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模Douglas生产函数。本节给出的模型

14、推导稍繁，但结果简明，有合理解释。5.3 正规战与游击战这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型，有传统正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。重点在于建模过程：如何描述战争双方的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。5.4 药物在体内的分布与排除本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程，为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1）模型的假设：尽管是简化，但由临床试验证明是正确的，可以接受；2）对参数的估计。先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。5.5 香烟过滤嘴的作用看起来不易下手的一个问题，用恰当的假设，引入两个基本函数q,

15、w,及物理学常用的守恒定律，建立出微分方程模型，从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。5.6 人口的预测和控制本节模型与之前的区别在于：考虑年龄的分布，即除了时间外，年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标，不仅帮助建模，而且该指标本身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。5.8万有引力定律的发现十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推与出的，这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们：正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造

16、性地运用数学方法，来提升我们解决实际问题的能力。第6章稳定性模型关键词：稳定性理论建而不解平衡状态趋势相轨线本章是建立在上一章的基础上，在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念，那就是一一对于某些问题，我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态，而是研究稳定状态的特征，特别是时间充分长以后的状态/趋势，从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程（组），即“建而不解”；而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。*6.6微分方程稳定性理论简介这一节应为优先阅读的一节，介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂（对于未接触过的同学），重要在于了解一些概念、结

17、论，在模型实例中来进一步理解。6.1 捕鱼业的持续收获研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题，如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了，但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。6.2 军备竞赛这个问题在第二章初等模型中就出现过，这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说，军备竞赛因素很多，无法圆满描述，只是想告诉我们：一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度，得到的结果又怎样解释实际现象。6.3 种群的相互竞争6.4种群的相互依存6.5食饵捕食者模型这三节作为一个系列，用种群竞争、依存、

18、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中，相轨线分析法再次成为主角，它的意义在于：从图中曲线上直观地看出发展趋势，且特殊点对应的意义作出解释。第7章差分方程模型关键词：差分方程稳定性离散时段差分阻滞增长混沌将时间离散化后，就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续，又可以用离散，要看目的而定。离散的一个优势在于，便于计算机求解。7.5差分方程简介：介绍差分方程稳定性的知识，判别稳定的条件。本章要用到的知识。7.1 市场经济中的蛛网模型先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件，再用差分方程建模，解释结果。本节开头

19、的“问题前瞻、介绍”部分很经典，可作为建模论文写作的参考。本节最后对结果的解释也非常值得学习：启示我们，一些数学结果如参数前后的变大/变小，可能意味着什么，我们不要轻易放过，而是要时刻不忘解释相对应的原因。7.2 减肥计划一一节食与运动这是一个很生活的问题，主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内（均以WT颁布的体重指数BMI衡量）。我认为这个模型的两点仍然在建模本身：及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化，用数学的语言可以表达，写出差分方程。其中p208的“基本方程”式（1）是整个模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其实是一个“建而不解”的方程。但正如节

20、末评注中所述，实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异，所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。7.3 差分形式的阻滞增长模型此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时，用离散化的时间研究比较方便，本节是很好的参考。（按：本人曾经做过用差分方程加修正，描述人数传播问题，个人认为很多情况用差分方程更好，也更“诚实”些，因为我们也只是想要每个时段的数量）要注意的是：若用离散描述，需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式（6）后，这个一阶分线性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此处“不解”是指不需求通项公式，但各项的值仍

21、要计算一一用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时，y/x收敛情况，即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。P212中，通过深入讨论和213页的数据表发现，不同的参数b下收敛情况不一，然后发现了“倍周期收敛”的规律，即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时，不在存在任何倍周期收敛，出现混沌现象（Chaos）。混沌的特点为对初值极度敏感，这一点在物理课中老师也提到过，许多非线性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效应。7.4 按年龄分组的种群增长这个模型的主要区别在于：将种群分成n个年龄组，分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。第8章离

22、散模型关键词：层次分析排名次冲量过程“分赃”群体决（本章是确定性离散模型的应用、方法）8.1 层次分析模型社会经济系统分析工具。排名、评分评价，排等级都可以用层次分析模型解决，数学知识虽然不深，但是思想十分巧妙且合理，可扩展性也很好。关键在于1）“成对比较矩阵”的确定及修正，2）特征根法求权向量的原理（重要），3）1-9比较尺度（Satty等人提出），4）一致性检验。8.2 循环比赛的名次这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法：邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&寸应特征向量so按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量，若比不出则停滞了；但若将i级

23、乘回邻接矩阵，可以“发展”到i+1级得分向量一一这个思想是本模型的关键，而且简单易用易理解。对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据，或实际意义，是此思想的关键，我觉得可以接受,看上去很有道理，但未想出具体的解释，这里欢迎指教、讨论。（p246）8.3 社会经济系统的冲量过程区别于机理分析、统计分析，冲量过程与层次分析属于“系统分析”，是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。这节模型研究能源系统中，各个因素的趋势、预测问题。主要工具有：带符号加权的有向图，冲量过程（类比物理“冲量”概念）。其目的无非是研究系统的“稳定性”，以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。8.4 效益的合理分

24、配几方（大于3方）合作，已知不同子组合可获得不同收益，那么一起合作后，谁的功劳最大？也就是说，干完活后，如何“分赃”一一这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。本节介绍了3类方法：Shapley值，协商解等，Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。8.5 存在公正的选举规则吗这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。首先是简单的选举规则。接着介绍ArrowK的工作：提出一组公理，却证明不存在满足这组公理的选举规则，但很具有启发性。然后是联合尺度选举规则，它是一个简单易行的规则（但是对投票情况限制了

25、，才可能满足Arrow公理）。最后是一种与Arrow公理无关的规则一一最小距离，这是一种类比思想，很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。第9章概率模型关键词：随机模型基础概率生灭过程数值解分析相对“确定性”模型来说，当随机因素的影响不可忽略时，就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型，这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。关键点有：1 .如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题，做好定义是开始工作的根本。2 .随机概率模型一般从离散角度（一个个时段）下手，但求解中为了需要可能会转化为连续（如p274的求和转化为积分）。3 .要灵活根据实际

26、问题，决定哪些参数应设为定值，哪些参数会变（如9.4轧钢问题，重量服从正态分布中，均方差应认为是已知的定值，而均值是可以调整的）。4 .一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型一一相比之前的人口模型，这个更加一般，考虑的因素更多，更接近实际。5 .有些模型无法解析求解，然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要（9.6预订票策略）。第10章统计回归模型关键词：数据拟合MATLAB统计残差分析自相关逐步回归对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据，用统计方法建立模型一一统计回归模型。关键点有:1 .做散点图，大致判断函数趋势（比如有明显的线

27、性增长），确定方程形式，待定系数。2 .用MATLAB统计工具箱regress拟合，得出结果；重点：如何由MATLAB输出结果下结论（如置信区间不要包含零点，RA2>F）。3 .（考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题，如10.1中引入价格差（p297最后一段说明）。4 .利用好回归变量的预测（置信）区间。5 .改进回归模型：逐渐考虑回归变量之间的交互作用一一在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进，则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型（p300）。6 .残差分析（p305,但这页我未看懂具体做法，待交流），及分析得出的结论，我们应该怎样改进模型。7 .

28、p307评注内容：0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。8 .线性化（p309）,及非线性MATLAB求解（p310）;p315最后两段。9 .自相关的考虑（10.4节）：若存在自相关性（具有滞后性，即前期对后期有影响的时间序列），普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关（D-W佥验、广义差分法），同时注意若高阶自相关，则必须改进直至不存在自相关为止。10 .逐步回归：因素较多时，排除次要因素，用来选择影响因素显著的变量。第11章马氏链模型关键词：离散随机过程无后效性转移概率状态选取基本概念这章介绍了处理离散随机过程的重要工具一一马氏链模型，及若干个应用。总体从浅到深，阐述了马氏

29、链的主要思想。1 .无后效性/Markov性：系统在每个时期所处的状态时随机的，这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移，且下个时期状态只取决于1）这个时期状态2）转移概率，与以前各时期状态无关。2 .马氏链（MarkovChain）模型通常描述：已知现在,将来与历史无关，具有无后效性的，时间状态均离散的随即转移过程。3 .一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。一、健康与疾病主要介绍马氏链基本概念、要素：系统的状态,状态概率，转移概率，马氏链基本方程，状态概率向量，转移概率矩阵。本章讨论时齐的（转移概率与时段无关）马氏链。同时介绍2种主要类型1）正则链：从任意状态出发，经过有限次转移

30、都能达到另外的任意状态（如何判断是正则链、相应定理）；2）吸收链：首先引入吸收状态，顾名思义吧，就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了，被“吸收”掉。吸收链是（至少）存在一个吸收状态，使马氏链从每个费吸收状态出发，能有限次到某个吸收状态。二、钢琴销售的存贮策略动态随机存贮。一个简化的存贮模型，关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。判断转移矩阵P为正则链后，用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况，然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。这个模型虽然简单，但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子，其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。三、基因遗传用马氏链模型研究遗传过程，关键是建模的过程即选取系统的状态，这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。随机交配过程推导的结果是（pA2,2pq,qA2）分布将保持下去，即遗传学中的Hardy-W