《数与形》教材说明和教学建议

1、数与形教材说明和教学建议数与形教材说明和教学建议（一）教学目标1.使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。2 .使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。3 .使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。（二）内容安排及其特点1.教学内容和作用。数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中比比皆是。有的时候，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。有的时候，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让

2、人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等（如下图）。还有的时候，数与形密不可分，可用数来解决形的问题，也可用形来解决数的问题。例如，解析几何及微积分中，曲线与方程、方程组及函数与图象互为工具，互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。本单元中，教材以1+3+5+7+(2n1)=n，和为例，引导学生认识利用数与形的结合，可以解决一些有趣的数学问题。具体编排结构如下。从上表可

3、以看出，本单元的教学内容分为两个层次。一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1中，从图形的角度直观地理解正方形数或平方数的特点。二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2中，解决的求和问题，教材利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解无限的抽象概念；再如，练习二十二第6题，通过画示意图的方式可以比较便捷地解决比较抽象的问题。2.教材编排特点。本单元教材在编排上有下面几个特点。(1)突出探索规律、应用规律的编排意图。不管是数还是形，都突出对其规律的探索。例如，通过观察和计算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+既能发现加数的规律（从1

4、开始的连续奇数相加），又能发现和的规律（都是连续的正方形数）；通过观察和计算、，同样，既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。（2）在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。例如，在例2中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1,感受什么叫无限接近。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行无穷无尽的类推，使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。（三）教学建议1.引导学生数形结合，相互印证。形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形

5、的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力。例如，在例1中可以先让学生计算1+3+5+的得数，使学生发现得到的和都是平方数，再通过图形的规律理解平方数和正方形数的含义。也就是说，如果用1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形可以共同拼出一些大小不一的大正方形图。也可以有规律地呈现由小正方形拼成的大小不一的大正方形图，让学生看看前后两个大正方形图相差多少个小正方形，例如，边长是2的大正方形和边长是1的大正方形，相差的是3个小正方形；边长是3的大正方形和边长是2的大正方形，

6、相差的是5个小正方形相差的小正方形数正好是1形中的小正方形数。因此，每个大正方形图中都隐藏着一个算式，即1+3+5+722n1)=n02 .使学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。图形的直观、形象的特点，决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的。例如，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加的结果为1。但是如果用圆或线段的图形加以说明，学生则比较容易理解当一个数无限趋近于1时，其结果就是1。一个极其抽象的极限问题，由于用图形来解决，就变得十分直观和便捷了。3 .引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。例如，第109页第1题，根据例1的结论，很容易得到第n个图形中最外围的小正方形数为：(2n+l)(2nl),也可以从结果看到第一个图最外圈有8个小正方形，第二个图最外圈有82个小正方形，第三个图最外圈有83个小正方形通过推理，可知第行个图