椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用

1、椭圆的几何性质和在物理学中的应用1 几何性质为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。定义 1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a）的点的轨迹。命题 1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。【证明】：如图 1 所示， M 是椭圆外任一点，MF1 和 MF2 分别是该点到两焦点F1 和 F2 的距离。由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在MF1 F2 内。所以总有 MF1MF2NF1NF22a 。MNF1F2图 1下面我们证明命题1 中用到的关于三角形的一个命题。命题

2、 2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。【证明】：如图， M 是ABC 中任一点，我们要证明的是AMBM CA CB。延长 AM 与BC交于 D点。在ADC 中，由于两边之和大于第三边，有CACDAMMD ；在BDM 中，由于两边之和大于第三边，有DBMDMB 。上面两式相加有 AMBM CA CB ，命题得证。CDMAB图 2命题 3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。NMF1F2图 3【证明】：如图 3 所示，我们总能够在椭圆上找一点N，使 M 位于NF1F2 内。由命题 2 可知命题正确。我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到

3、椭圆的两个焦点的距离之和大于2a；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为 2a。定义 2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。命题 4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。命题 5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。【证明】：切点在圆上，因此到两焦点距离和为2a，切线上其它点都在椭圆外，因此到两焦点的距离和大于 2a，命题得证。命题 6：直线与直线上到两定点的距离和最小的点跟该两点的连线成等角。【证明】：如图 4

4、所示，设 PQ 是任一直线，F1 和 F2 是任意的两个点（在直线的同一侧） 。我们总可以在直线上找一点M ，使此点到两点F1 和 F2 的距离的和最小。方法如下MQF 3M 1QPMPF 1F 2F 1F 2图 4图 5如图 3 所示，做 F1 关于 PQ 的对称点 F3 ，连结 F2 F3 与 PQ 交于 M 点，则 M 点为所求点。原因是简单的，如图5 所示，任意在 PQ 上取另一点 M 1 ，则此点到两定点F1 、 F2 的距离和大于 M 到这两定点的距离和。 由对称可知， 角 PMF1 =角 PMF3 ，而角 PMF3 与角 QMF2互为对顶角。所以角PMF1 =角 QMF2 ，命题

5、得证。命题 7：椭圆的切线跟切点和焦点的两条连线成等角。【证明】：因为切点是切线上所有点到两点的距离之和最小的点，由命题 6 知切线跟切点和焦点的两条连线成等角。命题 8：切线的垂线平分两焦点与切点连线所成的角。【证明】：如图6 所示， F1 与 F2 是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，PQ是过 M点的切线， MN 是的F1 MF2 的平分线。则有， MNPQ 。MQPF1F2N图 62 几何性质的解析证明如图 7 建立直角坐标系，则椭圆的标准方程是x2y2a2b2 1yMF1F2c,0Oc,0x图 7其中 a 和 b 分别表示椭圆的半长轴和半短轴，参数方程为x a cos y b sin

6、过椭圆上任一点M a cos,b sin 的切线斜率dydyd1b coskddxb cosa sindxa sin焦点坐标：c,0 、c,0。其中 ca2b2。切点与两焦点连线的斜率b sink1ca cosb sink2ca cos我们把三个斜率所决定的直线规定上方向（如图7 所示），则可用三个二维向量表示其方向。k： asin , b cos， k1 ： acosc,b sin， k2 ： a cos c, bsink 与 k1 所成角的余弦cos1a sin a coscb2 cossin2 sin2b2 cos2a cos c 2b sin2aa2 sincosacsinb2 sin

7、cosa2sin2b2 cos2a2cos2c2b2 sin22ac cosc2 sincosac sina2sin2b2 cos2a2cos2b2 sin2c22ac cos用 a、 c 替换 b 有cosc sina c cos1cosa c cosa c cos a2（ 1）csinac cosac cos同理可计算k 与 k2 所成角的余弦cos 2c sin（ 2）ac cos a csin比较（ 1）（ 2）两式可得：cos 1cos 2结合图 7 可知，上面的结论说明焦点与椭圆上点M 的两条连线与切线成等角。3 物理上的应用3.1 光线从焦点F1 射出，经椭圆上任一点反射后，反射

8、光线经过另一焦点F2 。3.2 如图 8 所示，系于F1 、 F2 的不可伸长的绳子子上有一滑轮。人用此装置由左端荡至右端的过程中，绳子拉力的合力沿角F1MF 2 的平分线。而人的运动方向沿椭圆的切线。由此得合力垂直于速度，因而绳子拉力对人不做功。运动过程中忽略摩擦的情况下机械能是守恒的。F 合F1F2v图 82012 年 12 月 16 日星期日整理rongnal 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以

9、塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。“能 ”，是以众议举宠为督：亲贤臣， 远小人， 此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣， 此后汉所以倾颓也。 先帝在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。 侍中、尚书、 长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸