椭圆大题中的向量问题—基础篇

1、椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系 & 角度判断、椭圆内的平行四 边形问题1向量的数量积问题记点 P t ,0 是 x 轴上的一点， Ax , y、 Bx, y是直线 l ： ykxm （ l 不经过椭圆11222y21 ab0uuuruuur的顶点） 和椭圆 x的两个交点，则PAPB 计算过程可分为以下三步：a2b2uuuruuurI 写出向量的坐标（末初），并将 PAPB 表示成 fx1 x2 , x1x2的形式uuur uuurPA PBx1t , y1x2t, y2x1t , kx1m x2t, kx2mk21 x1 x2km tx1x2m2t 2&#

2、183;·····II 联立直线 l 和椭圆，得出 x1 x2f1k, m， x1x2f 2k,m；联立y kxm，得 a 2k 2b 2x22kma2 x a2 m2b20 ，b2 x2a 2 y2a2 b20则 x1x22kma2， x1 x2a2m2b 2，a2 k 2b2a2 k2b2uuuruuuruuuruuurIII 将 x1x2 ， x1 x2 代入式中，得到PAPBg k, m，将 PAPB 转化为含 k, m 的式子uuuruuura2m2b22kma2k 2m2t21kmt PAPBa 2k 2b2b2a2 k222222

3、22t2abma bk12kmtaa 2k 2b 2a2 k2b2其中 I 、II 两步可以互换顺序uuur uuur2a 2b2m2a2 b2 k 212mtb2同理，若点 P 0,t ，则 PA PBta 2k2b2a2 k2b2特殊情况：当uuuruuura2b 2m2a 2b 2k 21P为原点 O时， OA OBa2 k2b2基础练习：请按照以下条件作答2x21已知斜率为k 的直线 l 经过点1,0 与椭圆y1 交于 A、B 两点，uuuruuur（1）若点 O 为原点，请写出OA OB 关于斜率 k 的关系式；uuuruuur（2）已知点 P 2,0 ，请写出 PA PB 关于斜率

4、 k 的关系式；2若斜率为 k 的直线 l 经过点0,2 与椭圆 x2y21 交于 A、B 两点（注意0 ），32uuur uuur（1）若点 O 为原点，请写出 OA OB 关于斜率 k 的关系式；（2）若点 P 1,0uuuruuur，请写出 PAPB 关于斜率 k 的关系式；（3）若点 P 2,0uuuruuur，请写出 PA PB 关于斜率 k 的关系式；1.1 求向量数量积的问题（给出点P 的坐标）例 1：已知椭圆 C ： x2y21 ，直线 l 经过 C 的右焦点 F 与椭圆交于 A、 B 两点，点43P3,0uuuruuuruuuruuur7k215 ）（1）写出 PAPB 关于

5、直线 l 的斜率 k 的关系式； （ PAPB4 k23uuuruuur22 ，求直线 l 的方程； （ yx1 ）（2）若 PAPB7uuuruuuruuuruuuruuuruuur29 ）（3）若 OAOB2 ，求 PA PB 的值； （ k22，PAPBuuuruuuruuuruuur117 ,5（4）求 PAPB 的取值范围； （ PAPB）4uuuruuuruuuruuuruuuruuur5,22 ）（5）若 APPB 24，求PAPB 的取值范围； （ k 2 1， PAPB747（6）记 D、 E 分别为椭圆 C 的左右顶点，uuuruuuruuuruuurx1 ）若 ADEBA

6、EDB 90 ，求直线 l 的方程； （ y7uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur21求 ADEBAEDB 的取值范围 （ ADEBAEDB2,16 ）练习 1.1x2y21 的离心率 e3 ，若直线 l ： y kx2 与椭圆恒有两个不同的交1已知椭圆42uuuruuur2 ，求 k 的取值范围点 A、B且OA OB222已知椭圆 xy1 的左焦点为 F ，设 A、 B 分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为32k 的直线与椭圆交于uuur uuuruuur uuurC、 D 两点 .，若 AC·DBAD·CB 8 ，求 k 的值1.2 动点分

7、析问题（直线l过椭圆顶点的问题）以 l 经过椭圆 x2y21 ab 0 的左顶点 Aa,0为例a2b2设 l ： ykxa且 l 过点 A 与椭圆交于点Bx2 , y2，ykxa，得 a 2k 2b 2 x22k2 a4 x a 4 k2a2 b20 ，联立a 2 y2a2 b20b2 x2 x1 x2ax2a 4k 2a2 b2，得 x2 ab2a3k 2， y22ab2 k，a 2k 2b 2a 2k 2b2a2 k2b2即点 Bab2a3k 22ab2 k2 a2k2b2, 2k2ba动点分析问题的过程如下：I 分析问题中涉及的动点；II 按难易程度，通过联立的方法用直线斜率k 表示出问

8、题中所涉及的动点坐标；III 按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率k 表示出来；IV 将向量的数量积运用含k 的式子表示出来例 2：如图，椭圆E ：2xy21 ，记A、 B 为椭圆的左右顶点，点C 为椭圆的上顶点，直4线 l 经过点 C 与椭圆交于另一点 D ，并与 x 轴交于点 P ，直线 AC 与 BD 相交于点 Q当点 P异于点 B 时（ 1）记 k 为直线 l 的斜率，用 k 表示点 P、 D 的坐标；（ P1,0 、D8k1, 14k 2）k4k24k21（2）用 k 表示出 lBD 的斜率； （ kBD2k1）4k2（3）用 k 表示出点 Q 的坐标； （ Q4k,2 k

9、1 ）uuuruuuruuuruuuruuur1uuur4k,2 k 1 ，（4）用 k 表示出 OP 、 OQ 的坐标，并求 OPOQ （ OP,0， OQkuuuruuurOP OQ 4）练习 1.2：1已知椭圆 C : x2y21 ，若 F 为椭圆 C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线 l 与椭圆2uuur uuur另一个交点为 A ，且满足 BA BF =2（1）用直线 l 的斜率 k 表示点 A 的坐标；uuuruuur（2）用含 k 的式子表示 BA 的坐标，同时表示出BF 的坐标；uuur uuur2 ；（3）用含 k 的式子表示 BA BF ，构建方程 f k（4）解出 k

10、 的值，写出直线l 的方程 .2已知椭圆 x2y21 若 C、D 分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MDCD ，连2uuuuruuur接 CM 交椭圆于点 P ，证明： OMOP 为定值（1）记直线 lCM的斜率为 k ，用含 k 的式子表示出点M 的坐标；（2）用含 k 的式子表示出点P 的坐标；（3）用含 k 的式子分别表示出uuuruuuurOP 、 OM 的坐标；uuuuruuur（4）证明 OMOP 为定值3已知椭圆 x2y21，点 A2,0，设直线 l 过点 A 与椭圆交于另一点B ，点 Q(0, y0 ) 在4uuuruuur线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB 4 ，求

11、y0 的值（1）设直线 l 的斜率为 k ，用含 k 的式子表示点B 的坐标；（2）用含 k 的式子表示出AB 的中点坐标，并写出AB 的中垂线方程；（3）用含 k 的式子表示出点Q 的坐标；（4）用含 k 的式子分别表示出uuuruuurQA， QB ；uuur uuurf k4 ，求直线 l 的方程，并求出点 Q 的坐标（5）运用 QA QB2数量积问题的延伸 垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题记点 Pt ,0是 x 轴上的一点， A x , y、 B x, y是直线 l ： ykx m 和椭圆1122x2y21 ab 0的两个交点，由之前的讨论

12、可知，a2b 2uuur uuura2b2m22b2k21a2kmta2t 2PA PBa2 k2b2，a 2k 2b 2若 PAuuuruuur0 PB ，则 PA PB例 3：如图，记 A 为椭圆 x2y21 a b 0 的上顶点，a 2b2F1、 F2 为椭圆的两焦点，B1、 B2 分别为 OF1、 OF2 的中点， AB1 B2 是面积为 4 的直角三角形（ 1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点1 作直线l与椭圆相交于P、Q 两点，若22 ，求直线l的方程BPBQB练习 2.11已知椭圆 C ： x2y21 ， F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，若过点F2 的直线 l 与椭圆2u

13、uuruuurC 相交于 P、Q 两点，且 F1 PF1Q ，求直线 l 的方程2已知椭圆 G ： x2y21 ，短轴上、下顶点分别为A、 B ，若 C、D 是椭圆 G 上关于2y 轴对称的两个不同点，直线BC 与 x 轴交于点 M ，判断以线段 MD 为直径的圆是否过点 A ，并说明理由x2y21 ，设点 P、Q 分别是椭圆和圆3如图，已知椭圆24O 上位于 y 轴两侧的动点，若直线PQ 与 x 轴平行，直线AP、 BP 与 y 轴的交点记为M、N ，试证明MQN 为直角 .2.2 角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系若 APB 90o ，则 cos APBuuur u

14、uuruuuruuur0，即 PA PBPAPB cos APB 0点 P 在以 AB 为直径的圆外APB90o ，则 cosAPBuuuruuuruuuruuurAPB0若0，即 PA PBPAPB cos点 P 在以 AB 为直径的圆上APB90o ，则 cosAPBuuuruuuruuuruuurAPB0若0，即 PA PBPAPB cos点P在以角度判断AB 为直径的圆内例 4：记F1、 F2分别是椭圆x2y21的左、右焦点，设过定点M0,2的直线l 与椭圆交4于同的两点A、B ，且AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围练习 2.2.11已知点x2y2F ，斜率为 k 的直线

15、l 交F 是椭圆1 的右焦点， O 为坐标原点，设过点43222椭圆于 A、 B 两点，若 OAOBAB ，求 k 的取值范围2设 A、B 分别为椭圆 x2y21 的左、右顶点，设 P 为直线 x 4 上不同于点 4,0的任4意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于 A 的点 M ，证明： MBP 为钝角三角形2.2.2 点与圆的位置关系问题例 5：已知椭圆 E ： x2+ y2= 1 ，设直线 x = my - 1, (m? R) 交椭圆 E 于 A、B 两点，判断点429与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由G(- ,0)4练习 2.2.21已知椭圆 x2y21 ，直线 l 经过椭圆

16、右焦点F 与椭圆相交于A、B 两点，试判断点32M (2,0) 与以 AB 为直径的圆的位置关系22已知椭圆C ： xy21 ， A、 B 为 C 的左右顶点，直线l 经过点4B 且 lx 轴，点 P 是 C 上异于 A、 B 的任意一点，直线AP 交直线 l 于点 Q （1）记 k1、 k2 分别为直线 OQ、 BP 的斜率，证明k1 k2 为定值；（2）当点 P 运动时，判断点Q 与以 BP 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论3向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型 椭圆内的平行四边形问题记点 A x1 , y1 、 B x2 , y2是直线

17、l ： ykx m 与椭圆 x2y21 a b0 的两交点，a2b2点 P x3 , y3 在椭圆上，且四边形OAPB 为平行四边形，如下图yBOxQPA联立y kxm，得 a2 k2b2 x22kma2 xa 2m2b21 ，b2 x2a 2 y21 x x2kma2， y y2k x2x2m2b2 m，12a2 k 2b212a2 k2b 2uuuruuuruuur再由平行四边形的性质可得OPOAOB ， xxx， yyy ，则点 P2kma2,2b2m,312312a 2 k2b 2 a 2k 2b2将点 P 代入椭圆中可得14k2 m2 a414b 4m21，a 2a2 k2b 22b

18、2a2 k2b2 2即4m21 ，得 4m 2a 2k 2b 2 a2 k2b2在椭圆方程已知的情况下（1）当直线 l 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；（2）若直线 l 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到k,m 的关系，结合0 ，我们可以求出OP 、 AB 、点 O 到直线 l 的距离 d ， AOB 或平行四边形OAPB 的面积等几何量的取值范围（3）若点 P 在以 OA、OB 为邻边的平行四边形的对角线上，则uuuruuuruuurOPOAOB ，可以得出x31xx2， y31yy ，进而得到4m 22 ，这也是一个很有用的结112a2 k 2b2论例 6：已知椭圆 C： x2y21 ，直线 l 经过点 P 0,1交椭圆于 A、 B 两点，以 OA、 OB 为32邻边做平行四边形OAPB ，其