平面向量经典习题-提高篇

1、平面向量：1. 已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量泊+b与向量c=(1,-2)共线，则实数入等于()1A.2B.32C.1D.3答案C解析冶+b=(入2/)+(2,0)=(2+入2如泊+b与c共线，.，一2(2+/)20,71.2. (文)已知向量a=(g1),b=(0,1),c=(k,寸3),若a+2b与c垂直，贝Uk=()A.-1B.一也C.-3D.1答案C解析a+2b=(g1)+(0,2)=(g3),.a+2b与c垂直，.(a+2b)c=V3k+3仍=0,.k=3.(理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b与a?b互相垂直，则实数入的值为()A-161C11B.一p

2、6611C.11D.6答案C解析a+b=(4,1),a-h=(1-3入2+a,.a+b与a/b垂直，(a+b)(a2b)=4(13?)+1x(2+)=6110,.3. 设非岑向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b间的夹角为()A.150B.120C.60D.30答案B解析如图，在?ABCD中，.|a|=|b|=|c|,c=a+b,.么BD为正三角形，.zBAD=60,.a,b>=120,故选B.(理)向量a,b满足|a|=1,|ab|=乎,a与b的夹角为60°,则|b|=()11A2B.§1JC4D5答案A3解析v|a-b|=2,*|a|2

3、+|b|2-2ab=,.|a|=1,a,b>=60,设|b|=x,贝U1+x2-1-2-.X4. 若屈阪+屈2=o,则abC必定是（A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析aBbC+aB2=aB（bC+aB）=aBaC=0,.aBlaC,.ab±ac,丛bc为直角三角形.5. (文)若向量a=(1,1),b=(1,1),c=(-2,4),则用a,b表示c为()A.a+3bB.a3bC.3abD.3a+b答案B解析设c=沿+也，贝!J(2,4)=(济山入一M-(1=2口1,.c=a3b,故选B.X串=43（理）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O

4、,E是线段OD的中点，AE的延长2,1B.§a+3b12D.ga+3b线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于（）A.；a+1bC.；a+4b答案B解析/E为OD的中点,.能=3ED,|AB|EB|DFAB，tdf|=|DEp.|DF|=1|AB|,.|CF|=|AB|=2|CD|,333AF=AC+CF=AC+2CD=a+|(OD-OC)111I1=a+|(|b|a)=|a+|b.6. 若/ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则ABBC的值为()A.19B.14C.-18D.-19答案D一一一一_72+516219'，一工一.工.解析据已知得cosB

5、=I*7X5=35，故ABBC=|AB|x|BC|x(cosB)=19一7X5X35=19.7. 若向量a=(x1,2),b=(4,y)相互垂直，贝U9x+3y的最小值为()A.12B.2女C.3求D.6答案D解析ab=4(x-1)+2y=0,公+y=2,.9x+3y=32x+3yA32=6,等号一1在x=2，y=1时成，.8. 若A,B,C是直线l上不同的三个点，若。不在l上，存在实数x使得x2OA+xOB+BC=0,实数x为()A.-1B.0C.-15D®答案A解析/OA+xOfe+OCofe=o,./办+(x-1)OB+OC=o,由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1xx2

6、=1,/.x=0或1,当x=0时，BC=0,与条件矛盾，-x=-1.9. (文)已知P是边长为2的正zABC边BC上的动点，则AP(AB+AC)()A.最大值为8B.最小值为2C.是定值6D.与P的位置有关答案C解析以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，贝UB(1,0),C(1,0),A(0,a/3),aB+AC=(1,寸3)+(1,a/3)=(0,2寸3),设P(x,0),-kx<1,则AP=(x,V3),AP(AB+AC)=(x,V3)(0,-2/3)=6,故选C.3B.2D2(理)在/ABC中，D为BC边中点，若/A=120°,ABAC=1,则|AD|的最小

7、值是()1A.2C.2解析.小=120,ABaC=1,/.|A§|At|cos120=1,.届|时|=2,.厢|2+咬|2»2厢|成|=4,1.D为BC边的中点，/.At)=2(Afe+At),.|局|2=打(|屈|2+|凤|2+2扇At)=|Afe|2+|At|2-2)>|(4-2)=.,.应|A乎.10. 如图所示，点P是函数y=2sin(cox+(t»)(xR,w>0)的图象的最高点，M,N是该图答案B解析.司I司=0,.PM1PN,又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与2Jt兀x轴的交点，PM=PN,yp=2,.MN=4,.丁=/=8,.3=

8、】11. 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K,其中恁=争&就=如，Ak=定，贝U入的值为（）11A-5B-411C-3D-2答案A解析如图，取CD的三等分点M、N,BC的中点Q,则EF/DG/BM/NQ,易知AK=5AC,.灯5.12. 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线，贝Um的值为().1一八AB.21C.-2D.2答案C解析ma+4b=(2m4,3m+8),a2b=(4,1),由条件知(2m-4)(-1)-(3m+8)x4=0,«m=2,故选C.13. 在ABC中，C=90,且CA=

9、CB=3,点M满足BMl=2MA,则CMCB等于()A.2B.3C.4答案b解析CMCB=（CA+AM）CB=（CA+3屈）CB=CACB+1ABCB31=日屈|CB|cos453=1x3瞻x3X¥=3.14. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3,BD=1,则ABAD=.答案15解析由条件知，|AB|=|At|=|BC|=3,屈，Ab=60°,AB,CB=60°,CD3X3Xcos6042x3X3xcos60=3.ABAD=aB（AC+CD）=ABAC+aB1515. 已知向量a=(3,4),b=(-2,1),贝Ua在b方向上的投影等于.答案-誓解析a在

10、b方向上的投影为背=芸=一誓.一，一.，一2兀一_.16. 已知向也a与b的夹角为甘，且|a|=1,|b|=4,右(2a+h)±a,则头数入=.答案1解析.a,b=争|a|=1,|b|=4,.ab=|a|b|cosa,b>=1x4XcoS=2,v(2+h)上a,.a(2a+?b)=2|a|2+?ab=2-2灯0,.灯1.17. 已知：|OA|=1,|OB|=寸3,OAOB=0,点c在aob内，且zaoc=30,设OC=mOA+nOB(m,nR+)，则，=.答案3解析设mOA=OF,nOB=OE,则OC=OF+OE,.zAOC=30,.|OC|cos30=|OF|=m|OA|=m

11、,|OC|sin30=|OE|=n|Ofe|=寸3n,*人/口m|0C|cos301仄m八两式相除得：了-=区商-V3.-=3.V3n|OC|sin30tan30n18. （文）设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA=2i+j,Ofe=4i+3j,则zOAB的面积等于.答案5解析由条件知，i2=1,j2=1,ij=0,.OAOB=(2i+j)(4i+3j)=-8+3=一5,又OAOB=|OA|OB|cosOA,Ob>=5%/5cosOA,OB,.cosOA,OB=一普，.sinOA,OB=255,1qft1275.S8AB=2|OA|O

12、B|sinOA,Ob>=Xgx5X25-=5.（理）三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是贝写序号）1sinA+cosA=1ABBC<0b=3,c=3gB=30tanA+tanB+tanC>0.5答案1解析右A为锐角，则sinA+cosA>1,.，sinA+cosA=,A为钝角，lABBC<0,5.BABC>0,出为锐角，由/B为锐角得不出zABC为锐角三角形；由正弦定理杰=s得，亮=3nC，/sinC=亭，-c=60或120:-csinB=孕，3<3乎<3根AABC有两解，故都不能得出A

13、BC为锐角二角形.由tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1tanAtanB)+tanC=tanC(1tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,及A、B、C(0,兀)A+B+C=兀知A、B、C均为锐角,zABC为锐角二角形.19. 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x).(1) 若aLb,求x的值.(2) 若a/b,求|a-b|.解析若a±b,贝Uab=(1,x)(2x+3,-x)=1X(2x+3)+x(x)=0,整理得x22x3=0,解得x=1或x=3.(2)若a/b,则有1X(-x)-x(2x+3)=0,贝!Jx(2x+4)=0,解得

14、x=0或x=2,当x=0时，a=(1,0),b=(3,0),.|ab|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|=寸-22+02=2,当x=-2时，a=(1,2),b=(1,2),.|ab|=|(1,2)(1,2)|=|(2,-4)|=寸22+-42=2柝120. 已知向也a=(sinx,1),b=(寸3cosx,2)，函数f(x)=(a+b)a2.(1) 求函数f(x)的最小正周期T;(2) 将函数f(x)的图象向左平移6个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标.解析(1)f(x)=(a+b)a2=a2+ab-

15、2=sin2x+1+V3sinxcosx+121-cos2xJ31J31=2+2sin2x2=2sin2x2cos2x=sin(2x3,向左平移M单位得，y=sin2(x+3sin(2x+6)，横坐标伸长为原来的3倍得,g(x)=sin(3x+人2兀8一、,3k兀兀令§x+6=k兀得对称中心为顷-4，0),kZ.21. (文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m=(ca,ba),n=(a+b,c),若mIIn.(1)求角B的大小;若sinA+sinC的取值范围.caba解析(1)由m/n知=一厂,a+bc即得b2=a2+c2ac,据余弦定理知_1/玉cosB

16、=2，得B=3.(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+7)3=sinA+；sinA+%osA=2sinA+乎cosA项=3sin(A+6)，_2八2.B=3,.A+C=3,(0,3),A+*(咨胃柘泌+郭(21,.sinA+sinC的取值范围为(写，媚.(理)在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且mIIn.(1) 求角A的大小；(2) 求函数y=2sin2B+cosfc2B)的值域.3解析(1)由m/n得(2bc)cosAacosC=0,由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAs

17、inAcosC=0,.sin(A+C)=sinB,.2sinBcosAsinB=0,.B、AC(0,兀、一一"兀).sinB乒0,.A=3.13.(2)y=1cos2B+cos2B+2sin2B=1cos2B+3sin2B=sin(2B1,项_2<B<兀当角B为钝角时，角C为锐角，则兀2兀Du?2<B亏°<gB<2春2B-事$-sin(2B-(-12),13、ye(2,2)-当角B为锐角时，角C为钝角，则c-兀?0<b<$0<b<22夺B<u,一6<2B一事客.sin(2B-部(-；,；),.3、弈(2，2)

18、，一13综上，所求函数的值域为(2，2).22. 设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,V3sin2x),xR.(1) 若f(x)=1-“且x$2,求x；(2) 若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<2)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.解析(1)依题设，f(x)=2coS2x+V3sin2x=1+2sin(2x+g).由1+2sin(2x+g)=1一/3，得sin(2x+g)=一,3<x；W2x+gv普兀兀iTt-2x+6=3,即x=4(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2si

19、n2(xm)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由得f(x)=2sin2(x+方)+1.一一.项一，.|m|<2，m=12，n=1.23. 已知向量OP=(2cosx+1,cos2xsinx+1),OQ=(cosx,1),f(x)=OPoQ.(1)求函数f(x)的最小正周期；当xC0,项时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值.解析(1).OP=(2cosx+1,cos2xsinx+1),OQ=(cosx,1),f(x)=OPOQ=(2cosx+1)cosx(cos2xsinx+1)=2cos2x+cosxcos2x+sinx1=cosx+sinx=>/2sin(x+4),

20、.函数f(x)最小正周期T=2兀.-x0,3，.x+；e4，4,二当x+4=2，即x=W,f(x)=V2sin(x+4)取到最大值艘.24. ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,3一sinBsinC2),且m±n.(1) 求A的大小；(2) 现在给出下列三个条件：a=1;2c(V3+1)b=0;B=45°,试从中选择两个条件以确定ABC，求出所确定的ABC的面积.(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分).解析(1)因为m±n,所以一cosBcosC+sinBsinC=0,m3

21、.3即cosBcosCsinBsinC=2，所以cos(B+C)=2,因为A+B+C=兀，所以cos(B+C)=cosA,所以cosA=2,A=30.（2）方案一：选择，可确定ABC,因为A=30,a=1,2c(伯+1)b=0,V3+1a/3+1y3由余弦定理得，12=b2+(-2b)22b=2b-2W'6+.'2解得b=皿，所以c=2一，11厂媚+也1V3+1所以S今bc=2bcsinA=方寸222=4,方案二：选择，可确定ABC,因为A=30,a=1,B=45,C=105；6+y2又sin105=sin(45+60)=sin45cOs60-Fcos45sin60=4,工十a

22、sinC1sin105V6+匝由正弦正理c=麻=顽k=一亏，11媚+睡成V3+1所以S今bc=2acsinB=1"一22=一厂（注意：选择不能确定三角形）（理）如图，。方程为x2+y2=4,点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，OO交y轴于点N,DP/ON,且DM=3dP.求点M的轨迹C的方程；(2)设Fi(0,g)、F2(0,g),若过Fi的直线交(1)中曲线C于A、B两点，求FAFB的取值范围.2y0=3X0=X解析(1)设P(x0,y。)，M(x,y),3r30y=2y。.DM=2DP,x=X0X2y2代入X0+y0=4得，4+9=1.当直线AB的斜率不存在时，显然或旋=一4,当直线AB的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y=kx+寸5,y=kx+V5由x2y2得，(9+4k2)x2+8*kx16=0,4+9=1不妨设A(X1,y),B(X2,y2),则8WkX1+X2=r9+4k2一16xg=:9+4k2FAFfe=(X1,y+V5)(X2,y2+V5)=(如kx"2*)(X2,kx2+2诉)=(1+k2)x1X2+2gk(x1+X2)+20161+k280k296k216=9+9+20=+209+4k29+4k29+4k2200=-4+9+