线性代数：第1章 行列式.docx

1、第一章行列式行列式是线性代数的基础知识，是线性代数的一个基本工具，讨论很多问题时都用到它。在数学的其他分支中行列式也有着很重要的应用。§1行列式的定义一、引例我们先看线性方程组%内+。12工2=,a2xx+a22x2=b2。当aua22-a2a2y*0时的解。由消元法易得:在中学数学中，定义二阶行列式%a2|。21“22=aua22-a2a2i,则上述线性方程组的解(1)可写为:如«12%bb2a22%h2aa2Ci2a22可以发现解(2)的形式比解(1)的形式更便于记忆。对于三元线性方程组也有类似的结论。更一般的，结论可以推广到元线性方程组%内+，2易+.+%/=4%+%

2、2工2+.+%.=%石+%2工2+%=的情形，为此我们先做一些准备。二、排列定义1：由数组成的一个有序数组称为一个级排列。级排列通常记为扪2力，易知级不同排列的个数为!。例如：45321是一个5级排列，5级不同排列的个数为5!=120o=n（勺f。l<»<j<n上述行列式称为范德蒙(Vandermonde,735-1796,法)行列式，这个结果以后可以直接利用。(克莱姆(Cramer,1704-1752,瑞士)法则)方程组(3)的系数行列式。=ai2ana22壬0,则(3)有唯一解Xj=DJD2,，其中有了按行(列)展开定理，下面介绍元线性方程组(3)解。定理3：是

3、将。中第，列换成常数列后得到的行列式。证明：将方程组(3)中的个方程依次两边乘以人n，A，.,A汩，再把它们左右两边分别相加可得:（印AI+。2片1+SAnH+（%2A1+。22A22+）工2+（,&+.+SAQ"=44+如心+W由定理2,即有Dx.=D,从而%=DJD。同理可得Xj=DD仃=2,.,)。易验证x.=D,/D(J=l,2,是(3)的解。关于解的唯一性在第三章再给予说明。事实上用克莱姆法则求解线性方程组比较麻烦，而且当系数行列式不等于零时，法则失效。关于更一般的线性方程组求解，第三章再作进一步讨论。习题一1. 计算下列排列的逆序数1) 9级排列134782695

4、；2) 级排列(一1)21。2. 选择，和如使得：1) 1274/56*9成奇排列;2) 112544897为偶排列。3. 由定义计算行列式4.计算行列式:。12000000%。32000。42。43。44«51%2%“545.计算阶行列式:1464162a(。+1)2(。+2)20+3)24)13279；5)b20+1)2(8+2)20+3)212842(C+l)2(c+2)2(c+3)21-5-12525d2(d+l)2(d+2)2(d+3)2Xy0.00123n-ln0Xy.001-100000X.0002-200t;2)000Xy0002-n0)'00.0X000n-

5、1-n122.21+。11222.211+4.1(H0);4)223.2111+a.«tl222n1)3)提高题1. 已知级排列的逆序数为知求排列的逆序数。41)-120-231；2-4-112)1-1111-1111-13)105242()72. 由行列式定义计算fW=2xX11X132X111X2-119x中尸与营的系数，并说明理由。3.设P(_r)=xnl.顽1)说明P(x)是一个1次多项式;2)求P(x)=0的根。,其中互不相同。定义2：在一个排列中，如果某两个位置上的数前大后小，称这两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。排列Z72九的逆序数通常记为丁(

6、，岳九)。记。表示排列扪2九中数字&前面比*大的数的个数,则有/0/)=弓+丁2+以其中&=0。例如丁(45321)=4+3+2+0+0=9,丁(12)=0。定义3：逆序数为奇(偶)数的排列，称为奇(偶)排列。由定义可知排列45321为奇排列；排列12.为偶排列。如果把排列中某两个位置上的数进行交换得到另一排列，这样一个变换称为对换。关于对换，有下面主要定理：定理1：对换改变排列的奇偶性。证明：分两种情形来讨论。1) 对换的两个数相邻，设排列为当时，记)(jk)=+)/+孔+)，则丁(好)=+()+1)rA+=r+1；当，A时，同理可得丁(加.)=丁(*)一1。从而定理成立。2

7、) 对换为一般情形，设排列为:先将/依次与4,&.,对换变为仍，,水.，经过s次对换，再将&依次与对换变为原/，经过了s+1次对换。故排列的对换共经过了s+(s+l)=2s+l次的相邻对换，从而定理成立。三、行列式定义定义4：设与是/个数(也称为元素)，定义阶行列式%a2a22*a2nVz=X(T)S%a虻an2其中Z表示对所有的级排列求和。说明：1.阶行列式是一个数，由!项的代数和所构成。2.除符号外，每项为个数的乘积，这个数取自于不同的行和列。3. 乘积色月的个数（元素）（从左到右）行数按自然顺序由小到大进行排列，元素的列数构成的排列为J"；九，排列逆序数丁（./

8、”2九）的奇偶性决定这一项的符号。例1:按定义计算解:解:=£(-i)g)gJ1J2=(1)WUs+C1)'l2a2aa22a2a2结果与中学里的直接定义结果一致。三阶行列式亦是如此。%2%3例2：计算0a22a23o00"33ai"13解：0a22%=Z(T)W/S%力00%同=纺="22。33。类似地,同理“11a2”0a22a2n00%缶0.0a222.0。2s%0.00a22.000ann可求得=避220”。该行列式称为上三角行列式。=%。22为。该行列式称为下三角行列式。=%外2加。该行列式称为对角线行列式。行列式中从左上角到右下角这条

9、对角线称为行列式的主对角线。从定义可知一个阶行列式共有!项，计算量很大，但从例2来看，上（下）三角行列式计算比较简单。下面就介绍行列式的一些性质，以便利用这些性质化一般行列式为三角行列式，从而简化行列式的计算。§2行列式的性质性质1：行列互换，行列式不变，即注：左边行列式称为右边行列式的转置行列式。句知如%a,A“21a22=“12。22.，an2编%2anna2n褊证明从略。性质1表明行列式中行与列的地位是对称的，因此后面有关行的性质，对列也能成立。性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。即.%久2.cy%a,2命%a.l.atn%.证明：记右边行列式，行，列的元素为外,则左边

10、=Z（T）EF"jsjt右边=_Z=Z（T）d"勾缶=左边。人劣推论1：两行（列）元素相同，行列式等于0。证明:，交换元素相同的两行，行列式不变；另由%”性质2可知行列式变号，从而D=D,即£）=0。性质3：某行（列）的各元素如有公因数则可把R提出行列式符号外,即gkai2kciin=kai2ain证明：左边=Z小£（-i）W"）句=右边。推论2：某行（列）元素全为0,则行列式为0。推论3：两行（列）元素成比例，则行列式为0。性质4：（“加法”规则）%如届+环bi2+ci2.b.+cin命%a2Cl2%如b,2bm+GiCi2Cin%外2证明：

11、左边=X(-1)55)缶.(+%)JJr-Jn.虹5右边。性质5：某一行（列）元素的*倍加到另一行（列）对应元素上，行列式不证明：由性质4和性质3的推论立即得证。在计算行列式时，可利用性质2和性质5把行列式化为上（下）三角行列式。通常用记号矿jS，j（Cj。勺）表示互换行列式的第i行（列）和第，行（列）；用+kr-表示第i行元素的k倍加到第顶行对应的元素上。类似地，q+kc,表示第i列元素的R倍加到第，列对应的元素上（建议初学者计算时使用这些记号，便于检查）。例3：1234234134124123计算解:abbhbabbbbabbbba例4：计算阶行列式a+(n-)bbb.ba+(n-)bah

12、.b解：原式=。+(一1)Z?ba.bq+lq-a+(n-)bbbab（即：其余各列都加到第一列上）=160o1234123412340-1-2-7<1-2z20-1-2-7七+心0-1-2-70-2-8-10%-7弓00-4400-440-7-10-130043600040弓一2/j原式=与一3气4-4/j=。+(一1)/?=a+(n+)b(a-b)''-11bbbabbhr0a-b00h-r=a+(n-)b00a-b0r-r.000a-b例5：当为奇数时，证明:0%2al0-ana2nD=0_20证明：。二（一1）”=D，从而£)=0o这个结果也常说成:奇数

13、阶反对称行列式等于零。§3按行（列）展开定理先介绍余子式和代数余子式的概念。定义5：划去行列式中元素所在行的和列，剩下的（-顶个元素按原来的顺序构成的1级行列式，称为元素与的余子式，记为M厂称岛为勾的代数余子式。123122019=2352512例如行列式1=（-1严an定理2（按行列展开定理）：设。=1)%A,+aj2AJ2+.+ainAJn=2)j+%/&/+anii2)j+%/&/+anii证明：仅证1）,由性质1,2）.",)=1,2,)E式亦得证。先看，=/的情形，不妨设i=j=由行列式的定义容易得到=缶九0又由性质4可得再看，力的情形,考察行列式

14、an=知九+%2&+%&。句°00.00°D=a2a22a2n4-a2%a2n+a2a22a2n,侦%编弓2%ClnCln2annai24是将n的第，行元素换成第，行的元素，其他行的元素不变，这样Q与G的第/行的代数余子式完全相同，按第，行展开有:£>2=+%=0o该定理理论上有重要的价值，后面有些地方会用到。另外，它也可以结合前面的性质简化行列式的计算。例6：计算510037-22-12350200解：原式=(-1)2+450()=-160(按第4列展开)00.0100.200n-.o0n0.00=10例7：计算行列式35135-22-3-

15、22(+4)(一I)=(-1)2！事实上，此题还可以利用定义或者性质2来求解，读者自行练习。408374300000.032()解：原式=(-1),+".0,7-1.0()n0.00(+4)(一I)=(-1)2！事实上，此题还可以利用定义或者性质2来求解，读者自行练习。40837430例8：设。=12-12562求：1)勺+2总3-人33+3A3；2)3人3+7人3-5人33+5义3o解：1)代数余子式是第3列的，它们的系数是第1列的，从而，%+2人23-&3+3A<3=。2)因为3%+7人23+5心+54»3(1+2)A”+(2+5)X73+(1+6)人3+(3+