兰州资源环境职业技术学院数学单招试题测试版附答案解析

1、限时：90分钟满分：122分一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1. 若集合A=（x|x|>1,xCR,B=y|y=2x2,xCR,则（？rA）nB=（）A.x|1<x<1B.x|x>0C.x|0<x<1D.?解析：选C依题意得，？rA=x|1<x<1,B=y|y>0,所以(?rA)nB=x|0<x<1.一，.人r十_兀1I2. 已知命题p：?xC0,sinx=2，则纬p为().-c兀1A. ?xC0,sinx=§_八厂八兀1B. ?xC0,sinx丰£、-一八"1C. ?xC0,2,si

2、nx丰2_-兀.1D. ?xC0,2,sinx>2、一一人、兀1解析：选B依题息碍，命题纬p应为：？xC0,sinx.3. 命题p：若a-b>0,则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(X)在(一8,0及(0,+°°)上都是减函数，贝(Jf(X)在(一8,+8)上是减函数.下列说法中正确的是()A.“p且q”是真命题B.“p或q”是假命题C.纬p为假命题D.纬q为假命题解析：选B.当ab>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，.命X+1,X<0,题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)=综上一x+2,x>0,可知，“p或q”是假命题.4.命题“?

3、xC1,2,x2-a<0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a>4B.a<4C.a>5D.a<5解析：选C命题“？xC1,2,X2-a<0”为真命题的充要条件是a>4.故其充分不必要条件是集合4,+°°)的真子集.、一>v+1，>«.tt.»>.-»5.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2在同一直角坐标系下的图像大致是()1)解析：选C函数f(x)=1+log2X的图像是把函数y=log2X的图像向上平移一个单位长度得到的，函数f(x)的图像与x轴的交点坐标为2，0,选项B、

4、C、D中的图像均符合；函数g(x)=2x+1=2x1的图像一一1v是把函数y=2x的图像向右平移一个单位长度得到的，函数g(x)的图像与y轴的交点坐标为(0,2)，选项A、C符合要求.故正确选项为C.6.已知g(x)为三次函数f(x)=|x3+ax2+cx的导函数，则它们的图3像可能是()7解析：选D由题意知g(x)=f(x)=ax2+2ax+c=a(x+1)2+c-a,则g(x)的图像关于直线x=1对称，排除B、C;对选项A,由g(x)的图像知x=0是f(x)的极小值点，与f(x)的图像不相符，所以只有D项的图像是可能的.7.已知偶函数f(x)在区间0,+°°)上单调递增

5、，则满足f/XT2)<f(x)的x的取值范围是()A.(2,+°°)B.(-1)U(2,+8)C.2,-1)U(2,+oo)D.(1,2)解析：选Cf(x)是偶函数，二f(x)=f(x).又f/x)<f(x),f(Vx)<f(|x|),f(x)在0,+8)上单调递手/*xx2>0,一，、一增，/x+2<|x|，即解得2<x<1或x>2."x+2A0,8.若a>1,设函数f(x)=ax+x4的零点为m函数g(x)=logax+x-4的零点为n,贝M+1的取值范围是()mnA.(1,+8)B.1,+8)C.(4,+

6、oo)解析：选B函数f(x)=ax+x4的零点是函数y=ax的图像与函数y=4-x的图像的交点A的横坐标，函数g(x)=logax+x4的零点是函数y=logax的图像与函数y=4-x的图像的交点B的横坐标.由于指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，其图像关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直，故直线y=4-x与直线y=x的交点（2,2）即为线段AB的中点，所以对n=4,所以，：=：（对n）-%+:=12+斗-X,当且仅当en=2时等号成立，此时只要a=寸2即可.4nm二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）)9x29函数f(x)=log2(x-1)糜乂域为解析

7、：由题意知9-x2>0,x1>0且x1头1,3<x<3,解得日故1<x<2或2<x3.x>1且x丰2,答案：(1,2)U(2,31一-10. 设偶函数f(x)对任意xCR,都有f(x+3)=Rxy,且当xC3,-2时，f(x)=2x,f(2012)=.1解析：f(x+6)=f=f(x),I(x3)f(x)是以6为周期的函数,.f(2012)=f(6X335+2)=f(2).又f(x)为偶函数，f(2)=f(2)=22=.答案：4一，.1,11. 已知x>0,y>0,xlg2+ylg8=lg2,则一+厂的最小值是x3y11一+丁-(x+

8、3y)=2+x3y3yx今+丁2+x3y解析：因为xlg2+ylg8=lg2x+lg23y=lg(2x23y)=lg2x3y=11当且仅当3y=办的最小值是4.lg2，所以x+3y='所以x+3?=-11I,11即x=2，y=g时等与成立，故x+而答案：4x-2<0,12. 已知点P(x,y)在不等式组y-1<0,表示的平面区域x+2y-2>0上运动，则z=xy的最小值是.解析：在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x-y=0,平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(0,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最小,此时z=x-y取得最小值，且最小值是一1.答案：一

9、113. 函数f(x)满足f(0)=0,其导函数f(x)的图像如图，贝f(x)在2,1上的最小值为.解析：由函数f(x)的导函数f'(x)的图像可知，函数f(x)为二次函数，且其图像的对称轴为x=1,开口方向向上.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(0)=0,.c=0,f'(x)=2ax+b,又f'(x)的图像过点(一1,0)与点(0,2),则有2ax(1)+b0,2ax0+b=2,f(x)=x2+2x,则f(x)在2,1上的最小值为f(1)=1.答案：一114. 设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xCR,都有f(x2)=f(x+2)，且当xC2,

10、0时，f(x)=2J1.若在区间(一2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根，贝a的取值范围是.解析：函数f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称.根据f(x2)=f(x+2)，可得f(x)=f(x+4),即函数f(x)是周期为4的函数.当xC-2,0时，1¥f(x)=2、一1,在同一个坐标系中分别画出函数f(x)(x£2,6)和函数y=loga(x+2)的图像，如图.若方程f(x)-loga(x+2)=0在区间(一2,6内恰有3个不同的实数根，则函数y=f(x)的图像与函数y=loga(x+2)的图像在区间(一2,6内恰有三个不

11、同的交点，再结合图像可得实数1a应满足不等式loga(6+2)>3且loga(2+2)<3，即log2a<1且log4a>3,即3：4<a<2.答案：(落，2)三、解答题(共4个小题，每/、题13分，共52分)15.已知函数f(x)=ex(x2+axa),其中a是常数.(1) 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2) 求f(x)在区间0,+00)上的最小值.解：(1)由f(x)=ex(x2+axa)可得f'(x)=exx2+(a+2)x.当a=1时，f(1)=e,f'(1)=4e.所以曲线y=f(x)在点(1,f(

12、1)处的切线方程为ye=4e(x1),即y=4ex-3e.(2)令f'(x)=exx2+(a+2)x=0,解得x=-(a+2)或x=0.当一(a+2)<0,即a>-2时，在区间0,+°°)上，f'(x)>0,所以f(x)在0,+°°)上单调递增，所以f(x)在区间0,+°°)上的最小值为f(0)=a；当一（a+2）>0,即a<2时，f（x）,f（x）随x的变化情况如下表:x0(0,(a+2)一(a+2)(a+2),+oo)f'(x)0一0+f(x)f(0)f(a+2)由上表可知函数

13、f(x)在区间0,+°°)上的最小值为a+4f(a+2)=1+2.e综上可知，当a>-2时，f(x)在0,+°°)上的最小值为一a；当a<-2时f(X)在0,+°°)上的最小值为a+4a+2.e16. 已知函数f(x)=2ax33ax2+1,g(x)=jx+,aCR.当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a<0时，若对于任意给定的x°C0,2，在0,2上总存在两个不同的xi(i=1,2)，使得f(xi)=g(x°)成立，求a的取值范围.2解：(1)当a=1时，f(x)=6x6x=6x(x-

14、1).由f'(x)>0，得x>1或x<0；由f'(x)<0，得0<x<1.故函数f(x)的单调递增区间是(一8,0)和(1,+OO)；单调递减区间是(0,1).3当a=0时，f(x)=1,g(x)=2，显然不满足题息；当a<0时，f(x)=6ax26ax=6ax(x1).x变化时，f(x),f'(x)的变化如下表：x0(0,1)1(1,2)2f'(x)0+0一f(x)1极大值1-a1+4aa3.又因为当a<0时，g(x)=4X+分在0,2上是增函数，对于任怠3a3xe0,2,g(x)e-2+2，一一*a3.由题息可

15、碍一2+2<1-a,解得a<-1.综上，a的取值范围为(一8,-1).17. 已知函数f(x)=sinx(x>0),g(x)=ax(x>0).(1)若f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围；当a取中最小值时，求证：g(x)-f(x)十解：(1)令h(x)=sinx-ax(x>0),贝，h(x)=cosxa.若a»1,h'(x)=cosxa<0,h(x)=sinxax(x>0)单调递减，h(x)<h(0)=0,贝，sinx<ax(x>0)成立；有0<a<1,存在x°C0,万，使得cos

16、x°=a,当xC(0,x°)时，h'(x)=cosxa>0,h(x)=sinx-ax(xC(0,x。)单调递增，h(x)>h(0)=0,不合题意：结合f(x)与g(x)的图像可知a<0显然不合题意.综上可知，a的取值范围是1,+8).(2)证明：当a取(1)中的最小值1时，g(x)f(x)=xsinx.设H(x)=xsinxx3(x>0),则H，(x)=1cosx£x2.令Gx)62=1cosx；x2，贝，G(x)=sinxx<0(x>0),所以G(x)=1cos12,12x空在0,+°°)上单调递减

17、，此时G(x)=1cosxx<G(0)=0,即H(x)=1cosx：x2<0,所以H(x)=xsinx£x3(x>0)单调递261313减，所以1-(x)=xsinxgx<1-(0)=0,即xsinxgx<0(x>0),即xsinx<x3(x>0).6所以，当a取中的最小值时，g(x)-f(x)<x3.6>、亿.1+x18. 已知函数f(x)=rInx.a(1x)(1)设a=1,讨论f(x)的单调性；(2)若对任意xC(0,1),f(x)<2,求实数a的取值范围.一,_,一一.1+x解：(1)因为a=1,所以f(x)=

18、-InIxx,则函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+8).,2lnx1+xf(x)=2+-(1x)(1x)x12lnx+x(1x)22一1xI,设g(x)=2lnx,贝(Jx因为x>0,g(x)<0,所以g(x)在(0,+°°)上是减函数，又g(1)=0,于是当xe(0,1)时，g(x)>0,f'(x)>0；当xe(1,+8)时，g(x)<0,f，(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+°°).(2)由题可知a头0,因为xe(0,1)1+x，所以mlnx<0.当a<0时,xC(0,1)，f(x)>0,不合题意;当a>0时,xC(0,1)，由f(x)<-2,可得lnx+羹"<0.设h(x)=lnx+2a11-x)，则当xe(0,1),a>0时，h(x)<0,h(x)xxx(1+x)+(24a)x+1设m(x)=x2+(24a)x+1,方