状态空间平均法建模总结

1、7.1 状态空间平均法151109,状态空间平均法是平均法的一阶近似， 其实质为：根据线性RLC元 件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，以电容电压、电感电流为状态变量， 按照功率开关器件的“ ON和“OFF两种状态，利用时间平均技术，得到一个 周期内平均状态变量，将一个非线性电路转变为一个等效的线性电路，建立状态空间平均模型。对于不考虑寄生参数的理想 PWM变换器，在连续工作模式(CCM)下一 个开关周期有两个开关状态相对应的状态方程为：= Ax B1vi0 _ t _ dT(7-1)X = Ax B2vidT mt eT(7-2)式中d为功率开关管导通占空比，d=t°n/T,

2、ton为导通时间，T为开关周 期；x -叮vC 1， x是状态变量，X是状态变量的导数，iL是电感电流vC是电容 电压，V是开关变换器的输入电压； A, A2 ,B1,B2是系数矩阵与电路的结构参数 有关。(7-3)对式(7.1)和(7.2)进行平均得到状态平均方程为x 二 Ax Bv式中，A = dA, (1-d)A2，B二dB1 (1-d)B2，这就是著名的状态空间平均法。可此式可见，时变电路变成了非时变电路，若d为常数，则这个方程描述的系统是线性系统，所以状态空间平均法的贡献是把一个开关电路用一个线性电路 来替代。对状态平均方程进行小扰动线性化，令瞬时值d=D，(?、D D'=1

3、、vg 二 Vg Vg、x二X ?。其中 d、Vg、:?是相应 D、vg、X 的扰动 量，将之代入到式(7-3)为：X" ? = A(X?)B Vi? )(7-4)A(X )?)ByV?) =Ax> B?：；t(D - d)A(D'-c?)A2X ：；(D(d)B(D'_d)B2V (7_5)将其中的扰动参数变量分离就得到了动态的小信号模型式。x> = Ax>(A -AJX Q -B2)Vj(?(7-6)将(7-6)进行拉式变换，得到s域小信号模型，其中等号左边的x>拉式变换后的结果为S?(s)(7-7)sX(s) =AX(s) B?(s) (

4、A -AJX (B, -B2)Vic?(s)可通过此式求出对应拓扑的传递函数。7.2 简单boost电拓扑状态空间平均法建模151110, Boost直流变换器拓扑如图7-1所示，其主电路由储能电感 L、滤 波电容C、功率开关Q、二极管VD和负载R组成。在0空t空dT期间，功率开关Q导通，二极管D截止，电源电压Vg全部加 到电感L上，为电感L储存能量，电容C给负载R供电。此时，电路的状态方 程如下：I dil(t),+、(7-8)L - Vg(t)dtduo(t) Uo(t) CL dtR在dT <r<T期间，功率开关Q关断，二极管D承受正压并导通，电感L 放电，电源和电感共同为负

5、载 R供电，并为电容C充电。其状态方程如下：L 呼=Vg(t)-u°(t)(7-9)dtc沁凹dtR由式(7-8)和式(7-9)取平均得式(7-10)boost电路的状态空间模型如下:d 5片dt1 _dT ?<iT1 匕 Uo >T -RC:：Vg(t) t(7-10)根据式（7-6）得到boost电路的动态小信号模型为:diL dT IdUO0-dC1 -d:讣RC1L Vg十£I L d(t)II:c(7-11)将式（7-11）等号两边进行拉普拉斯变换得到式（7-12）sIl(s)sUo-罟 Uo(S)普 d(S)警 罟Il(s)绘碁S)(7-12)化简式

6、（7-12）得到输入到输出的传递函数为：(7-13)UO（s）=V-dVg（s） d?（s） =0LCs2 亠 L s （1 - d ）2R由控制到输出的传递函数为：UO(S)d(S) U(s)=0(1 d)u°(1LsR(1-d)22 L2LCS RS d(7-14)7.3 Boost直流变换器建模的验证不考虑纹波时，所得到平均化的 Boost电路状态方程如式（7-10）所示，再 将其简化，从而得到基于状态空间的数学模型：PlI-dtduo.dt 一01 'dCIl1URCI + L Vg(7-14)假设图7-1电路中的参数为 Vg=30V, R=4, C=470尸 丄=4

7、00凶，d=0.5。 根据状态平均法公式（7-14）的数学模型，使用Simulink进行仿真建模得出 图 7-2:图7-2基于状态空间法boost仿真模型对图7-2的两路输出进行观察的到图7-3和图7-4的电压、电流输出波形图。图7-3电压、电流输出波形图7-4放大后的输出波形由图7-3和图7-4可以看出，给定输入电压 30V，占空比0.5，输出电压为 60V和理论值接近。输出负载为4"，则输出端电流为15A,由此可知输入侧电 流为30A与理论值接近。另外，通过图7-4的短时间内输出波形可以看出，利用 状态空间平均法不能产生电压和电流的纹波，这是因为在建模过程中使用了纹波近似，忽略了

8、纹波的影响。F面将考虑纹波对输出的影响，需要修改状态方程，修改后的状态方程如(7-15)所示:电10dt|duom药CRCUo1L Vg(7-15)其中，定义变量m作为开关器件通断的标志。m=1时表示关断，m=0时表 示开通，其他参数均未改变，另设功率管开关频率为10K，由以上状态方程构造 Boost电路的模型如图7-5所示，仿真结果如图7-6所示。图7-5开关频率为10K，输出带纹波的电压、电流波形利用simulink中的电力电子模块搭建Boost升压电路模型，在相同参数下的 波形图如下所示：9080706050403020100-10严. jr、iLUof JI1NJT.h'r卜/

9、0.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02t/s图7-6电力电子模块仿真输出波形0二者波形几乎吻合，由此可证明状态空间平均法建模的正确性。纹波的产生原因，是功率开关器件的动作引起的，当开关频率发生变化时， 其产生的纹波也不同。由状态空间平均法可知，当开关器件的动作频率增大时， 对应的纹波在减小，当频率增大到一定程度后，纹波可以忽略不计。图7-7为开关频率为50K时，电压、电流的波形图90807060504030201000.0020.0040.0060.0080.0120.0140.0180.020.01 t/siLUo一1 .一-/ sir _0.016图7-7开关频