2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题Word版含答案

1、2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试）第I卷（共60分）一、选择题，本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数弓，弓在复平面内的对应点关于实轴对称，4=1+'，则4弓=<）A.2B.2C.1D.1+z4567X9心1/伽烦,/ZL结束图二B.m=26=122. 设全集U=R,函数/（x）=lg（lx+ll-l）的定义域为A,集合B=xlsinv=O,则的子集个数为（）A.7B.3C.8D.93. 函数f（x）=sin（cox+（p）（刃>0,0<（p<7r）的图象中相邻对称轴的距离为三

2、,若角0的终边经过点2（3,、厅），则/（壬）的值为（）4A.B.C.2D.2/T24. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的川，分别是（）36780123368900134466788901224566678899002445690168图一A.”7=38，=12D.=24,n=10尤，5. 设不等式组3y>x,表示的平而区域为不等式（x+2）2+（y-2）2<2表示的平面区域为，对a+y<4于Q】中的任意一点A/和。2中的任意一点N,MN的最小值为（）2C.y/2E+mA.B(-1.2)C.(

3、0,2)6. 若函数/（、）=一的图象如图所示，则的范国为（7. 某多而体的三视图如图所示，则该多而体各面的而积中最大的是（俯视图A.118设等差数列%的前项和为S，且满足S20I4>0,S2O15<0,对任意正整数，都有则#的值为（）A.1006B.1007D.10099.已知非零向量儿b,:满足修一片IT为=4,（方一8=0,若对每个确定的片，1由的最大值和最小值分别为m,n,则m-n的值（）随I为增大而减小A.随修I增大而增大C.是2D,是410.已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球。的球而上，AABC和所在的平面互相垂直，AB=3,=BC=CD=BD=2&

4、，则球。的表而积为（）A.4万B.12”C.16/rD.36勿2211.已知双曲线C：4-4=1（">0,0>0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲crb-线C的某渐近线交于两点F，。，若ZPAQ=60°,且OQ=3OP,则双曲线C的离心率为（）A.B,C.D.>/743212. 己知e为自然对数的底数，若对任意的xe0,l,总存在唯一的ye-1,1,使得x+y2e>-a=0成立,则实数“的取值范围是（）A.l，eB（1,eC.（1,6*D.1，eeL。.第II卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.

5、已知>0，（十X）。展开式的常数项为15,£（x2+x+a/4-x2）dx=.14. 设“，bwR,关于x,y的不等式Ixl+lylvl和or+4/?28无公共解，则沥的取值范用是.15. 正项数列%的前项和为S“，且2S“=q+%（"*）,设。”=（一1）"*兰，则数列&的2S前2016项的和为16. 已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A(2,l),当M所周长最小时，其而积20为.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 如图，在AABC中，已知点。在边BC上，且印5花=0,sinNBAC=

6、¥，AB=3&BD邓.(1) 求AO的长；(2) 求cosCEF=AD=-AB.18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为梯形，AWE,MC尸均为等边三角形，EF/AB,A8(1) 过8D作截而与线段FC交于点N,使得AF平面试确定点N的位置，并予以证明；(2) 在(1)的条件下，求直线与平面ABF所成角的正弦值.19. 2015年7月9日21时15分，台风"莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰巾222千米的梅州也受到了台风

7、的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0,2000,(2000,4000,(4000,6000,(6000,8000,(8000J0000五组，并作出如图频率分布直方图:（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）：（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为g户，求&的分布列和数学期望：（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分

8、别求人，c,a+h,c+d,a+c,b+c,c/+O+c+的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元“=30b捐款不超过500元Cd=6合计P(K'Nk)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：K2=|',n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知抛物线。的顶点在原点，其焦点F（O,c）（c>0）到直线

9、/：x-y-2=0的距离为半，设"为直线/上的点，过点F作抛物线C的两条切线必，PB,其中A,B为切点、.（1）求抛物线C的方程：（2）当点P（x°,光）为直线/上的定点时，求直线的方程：（3）当点P在直线/上移动时，求AF-BF的最小值.ax21. 已知函数/(x)=+点M(O,1)在曲线y=/(x)±,且曲线在点M处的切线与直线。+12工一)，=0垂直.(1) 求。，Z?的值；V(2) 如果当时，都有/(x)>-+求A的取值范围.e-1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程x=2cos(

10、p,己知曲线Q的参数方程是*(°为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标y=3sin。系，曲线q的极坐标方程是q=2,正方形ABCD的顶点都在G上，且A,B,C.。依逆时针次序排列，点人的极坐标为(2,生).3(1) 求点A,B,C,。的直角坐标；(2) 设P为G上任意一点，求ipaF+ipbF+ipcF+ipdF的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲设/(x)=IaI-I2a-1I,记f(x)>-1的解集为M.(1) 求集合M:(2) 已知a&M,比较a2-a+与的大小.2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题参考答案一、选择题1-5:

11、BCABC6-10:DCCDC11、12：CB二、填空题13.+-+a/314.16,16115.16.433LJ2017三、解答题17. 解:(1)因为而京=0,则ADLAC,所以sinABAC=sin(:+/BAD)=cos匕BAD,即cosABAD=在ABD中，由余弦定理，可知BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosZBAD.即AO28AO+15=0,解得AD=5,或AD=3.因为所以AO=3.(2)在A4BD中，由正弦定理，可知一一=一一，sinZBADsinZADB22i又由cosABAD=,可知sinZBAD=-,33-ABsinZBAD扼所以sinZADB=.BD3因为ZAD

12、B=ZDAC+C=-+C,所以cosC=.2318. 解：(1)当N为线段NC的中点时，使得AF/平而BDN.证法如下：连接AC,BD,设AC=.四边形ABCD为矩形，.0为AC的中点，又：N为FC的中点，：.ON为NCF的中位线，AF/ON,AF(Z平而BDN,ONu平平BDN,AAF/平而BDN,故N为FC的中点时，使得AF平而(2)过。作PQ/AB分别与A。，BC交于P,Q,因为。为AC的中点，所以P,。分别为AO,BC的中点,V与勇仁尸均为等边三角形，且AD=BC,MDE三ABCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ,.:EF/AB,AB"PQ,EF=)AB,=2:.EF/PQ,

13、EF=?PQ,.四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MOLPQ.又9：AD±EP.AD±PQ,EPC)PQ=P，:.ADL平面EPQF,过。点作OG±AB于G,则OG/AD.OG±OM,OG1OQ.分别以况，O。，成的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系OA)，z,不妨设AB=4,i 3则由条件可得：0(0,0,0),A(l,2,0),B(l,2,0),F(0,l,JJ),。(_1,一2,0),设/；=(x,y,z)是平面ABF的法向量,AB=0,则即，nAF=0,4y=0,-x+3y+=0,所以可取3=(、R,0,l),可得

14、ICOS<丽3>1=I丽云II伽|，;|直线&V与平而ABF所成角的正弦值为V2319. 解:(1)记每户居民的平均损失为三元,则x=(1000x0.00015+3000x0.00020+5000x0.0009+7000x0.00003+9000x0.00003)x2000=3360.(2)由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有(0.00009+0.00003+0.00003)x2000x50=15户,损失超过8000元的居民共有0.00003x2000x50=3户,因此g的可能值为0,1,2,萱=土此35S的分布列为:0P2235121235135221212E(

15、4)=0x+lx+2x=一3535355(3) 解得/?=9,c=5,a+h=39»c+d=11»”+c=35,b+d=15,a+b+c+d=50,=4.046>3.841,犬2=50x(30x6-9x5)239x11x35x15所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.20.解：（1）依题意，设抛物线C的方程为疽=4力，由（）_二2七龙,结合c>o,解得c=1V22所以抛物线C的方程为r=4），.（2）抛物线C的方程为子=舒，即y=-x求导得y'=-x,21?xv-设>4（%!,y）,B（x2,y2&

16、#39;）（其中»y2=则切线仅4，的斜率分别为!玉，|x2,2所以切线必的方程为），一凹=（x-x1）,即），=?工_£；+），|,222即xlx-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x/-2y-2y2=0,因为切线04,所均过点P3o，y（）,所以为与一2乂）一2）、=0,x2x（）-2y0-2y2=0,所以（珀，凹），（巧，）'2）为方程X/-2%-2y=0的两组解,所以直线AB的方程为一2），一2%=0.（3）由抛物线定义可知IAFI=）+1,18/1=力+1,所以1人尸118尸1=（凹+1）（力+1）=凹力+（凹+力）+1，xnx-2y-2yn=0,

17、.联立方程；消去尤整理得y2+(2%-V)y+=0.N=4y,由一元二次方程根与系数的关系可得凹+）3=易2-2）h，乂巧=y02,所以IAFIIBF1=凹力+()'+)2)+1=)+*(/2光+1，又点2（易,光）在直线/上，所以入0=）%+2,io所以>?（）2+V一2），0+1=2）子+2y°+5=2（y0+-）2+-,1 9所以当y0=-时，IAFIIBFI取得最小值，且最小值为2 2-X.y,、(1(CX+1)C1XX.21. 解：(1)fx)=-be(e+1)-依题意/(O)=1,y(O)=!-,解得a=b=.2rx(2)由(1)可知/(%)=-+代入/&#

18、171;>-+得e+1e-1工+广>_L_+*x，即ex+bl虻一广因为当x>0时，一。7>0,xvO时，WeTvO,所以*>0,ex广所以1k>0,即I们(寸-广-兰)>0,W-广lk2令=t»设g(x)一W-次，贝ijr>0»-k又gx)=ex+e-x-t. 当0<t32,即k<0时，g'(x)=ex+e-x-t>2-t>0恒成立，所以g(x)=ex-ex-tx在R上单调递增，所以(i) 当x>0时，g(x)>g(O)=O,又因为此时ex-e-x>0,-k>0,所以"F(/一广一兰)>o,即f(x)>y_+u成立：e-elke-1(ii) 当xvO时，g(x)vg(O)=O,又因为此时ex-ex<0,-k>0,(1R)9rY所以一(疽一广一一)>0,即+炫T成立.e-elke-1x因此当k<0时，当x#0时，都有/«)>乙一+如t成立，符合题意.e-1tJt24t+lt 当/>2,即Ovkvl时，由g'(x)=b+。-"一，=0,得x=In,x2=In22因为，>2,所以x2>0>xx=-x2<0,当xe(0,x2)