特殊行列式与行列式计算方法总结

1、特殊行列式及行列式计算方法总结几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材 P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式a11a12La1na21a22L0MMMMann000n(n 1)(1) 2弘&2丄ani00L0a1n00La2,n 1a2nMMMMM0an 1,2Lan 1, n 1an 1,nan1an2Lan ,n 1ann0L0a1n0La2,n 100N00an1L003. 分块行列式（教材P14例10）般化结果:°m n°n mBm0n mAnCn mAiBmCm nBm0m nBmm n(1)mn AnBm4.范德蒙行列式（教材P

2、18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ !！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式一一对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1）利用行列式定义直接计算特殊行列式；2）利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式;3）利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；4）递推法或数学归纳法;5）升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1（ 2001年考研题）00L01000L200M

3、MMMMM01999L00020000 L 00000 L 0 0 2001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素,因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算解法一：定义法(1)(n 1，n 2，-，2,1，n)2001!z 八0 1 2 . 1999 0(1)2001!2001!解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1, n-2,2,1行交换（这里n=2001）,即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。(1)2001 102000000M19990L 0 0 2001L010L200MMMML000L0002001 (2001 1)(1 )2001 1( 1 )

4、 22001! 2001!解法三：分块法00L01000L200M M M M M M01999L00020000L00000L002001利用分块行列式的结果可以得到00L0100L202000(2000-1)D=2001MMMMM1=2001 (-1)22000!=2001！01999L0020000L00解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式例2分析：该行列式的特点是1 a11111b1111b很多,可以通过口r2 和 r3来将行列式中的很多1化成0.解:aa0011001100 I11 a1111 a11

5、20a11abab00bb0011400111111 b1111 b0011 JD1ab10000110011b2b23 a3 a23a3afa afb2 afbs a：b4病a2b2Os tba4bfb3b：0)分析：该类行列式特点是每行特点与范德蒙行列a的次数递减，b的次数增加。式相似，因此可以利用行列式的性质将 D化成范德蒙行列式解:1(P)a1(与a1(当a11(蜀a2（蜀2a2(蜀a21隹)a3(与a3世)a31(虫)a4凸2a4凸a433 3 3a a? a3 a43333V(b,2 ,b3,bi)a a2a3a433 3 3a a?a3a4练习:33 3 3a a?a3a4p)（

6、11-12年IT专业期末考试题）1 1 1若实数x, y,z各不相等，则矩阵Mx y z 的行列式|m| 2 2 2x y z3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算Dn分析：该行列式特点是a处于主对角线,b在a后的一个位置，最后一行中b是第一个元素，a是最后一个元素解：按第一列展开：ab0L00b0abL00z ,、11aba ( 1)LL(1)n 1 bOO000Laba b000L0aa (1)n 1b bn1n a(1)n 1bnaDn练习：（11-12年期中考试题）Dn4. 行（列）和相等的行列式Dna b M bLLML分析：该行列式的特点是主对角线

7、上元素为其余位置上都是b。可将第2,3，n列加到第1列上（类似题型:教材P12例 8, P27 8(2)解:LLLLL分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0,其余位置都为1bLb1bLb1aLb1a bL0MMMMq a (n 1)bMMMM1bLa10La bDn a (n 1)ba （n 1）b（a b）n 0L05. 箭头形（爪行）行列式0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。2,3,n列分别乘解：分别从第2,3,n列提出因子2,3，n,然后将第 以-1，再加到第1列上。111n 11110LL23ni 2 i23n110L0010L0n 1D n!n!n!(

8、-)101L0001L0i 2iLLLL100L1000L1注：爪形行列式非常重要，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算！练习：1) 教材习题P28: 8(6)2）（ 11-12年期末考试题）(n 1) n0000La00aa 23 L2 a0L3 0aLLn 100Ln00L3）（ 11-12年IT期末考试题）xa1a2x10x02X1a1a2X2a3a3LLDqa2X3LLLa1a2a3LXnan分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同 解:X1a2a3Lana1x1X2a?0L0Da1x10X3 a3L0LLa1x100LXna(Xi

9、aj(X2 a2)L (x.an)XiX1aix2a2X3a3Xnan100 L 1aia2i 1 XiaiX2a?Xn an(Xi ai)(X2 a2)L (Xnan)01LMMM00Lnn(Xi ai)1i 1i 1 Xiai6. 递推法或数学归纳法该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材P15例11就是递推法的经典例题。利用同样的方法可以计算教材 P27 87. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法， 是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行 列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算 例 8 (教材 P28 8(6)1+a1111+a2LL11Dn =MMMM11

10、L1+a(a 0)分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多1,因此可以增加一行1,使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是 方形的，因此在增加一行以后还要增加一列， 以保持行列式的形状。为了使行列 式的值不改变，因此增加的列为1,0,0,0.111L1111L1定理301+a11L1ri-口-1a10L0n 1= a1a2.an(1+)Dn =011+a2L1=-10a2L0MMMMMMMMMMi=1 ai011L1+an-100Lan例9 （教材P27 6）1111D=a2 a4 abb2b4c d2,2cd4,4cd分析：此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙 行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计 算。解法114 a2$ a。0baD2 a10b(ba)0,2,22、b (ba )按第一列=开（b11cadac(ca)d(da)2 / 22、,2,22、c (ca )d (da )a)(c a)(d1 1a) bc2 2 b (b a) c (c a)d 2(d a)(b a)(c a)(dc3°la) bb2(b a)2 2 2c (c a) b (b a) d (dd b2a) b (b a)按第一行展开(b a)(c a)(d a)c2(cc ba) b2(ba)d2