高考数学一轮复习专题：不等关系与不等式(教案与同步练习)

1、第七章不等式见习讲义§7.1不等关系与不等式根底知识自主学习H知识梳理1 .两个实数比拟大小的方法ab>O<a>b作差法4a-b=Oa=b(a,b£R)：.ab<Q<=>a<bfa<T>b(2)作商法尹=b(aCR,AO).vb2 .不等式的根本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b<b<aQ传递性a>b,b>c=>a>c=可加性a>60a+c><+cQ可乘性a>bc>oj=ac>bc注意c的符号a>bcvO,=QC<bc同向可加性C

2、>d,=a+c>b+dn同向同正可乘性a>b>Cc>d>Cn'nac>bd=可乘方性a>Z?>0=»月>b"(£N,21)a,6同为正数口J开方性a>b>0=/>/SN,22)3 .不等式的一些常用性质倒数的性质a>b,avOv6nM.心b>0.0vcvd=74®Q<a<x<b或<A<Zx<O=>1<i<.(2)有关分数的性质假设>b>0,川>0,那么b+nibb一吃,八、LF:->

3、;(1>0).aa+nia7)i.+川a一加八八、广,：广石Sf>0)-【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“J或“X)(1)两个实数.,6之间,有且只有心6,.=瓦三种关系中的一种.(V)假设$1,那么>6.(X)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.(X)(4)一个非零实数越大,那么其倒数就越小.(X)(5)a>6>0,c>d>0="!.(J)(6)假设abX,那么.9=丹(')考点自测1 .设av*o,那么以下不等式中不成立的是()1 1A表B.RzC.a>bD.db答案B解析由题设得aq

4、*0,所以有力成立,即一1T不成立.aba2 .教材改编假设a,b都是实数,那么“g一9>0是“标一按>0的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析yfayb>Q=>ya>yba>b=>a2>b2,但由一方>0分板一平>0.3 .假设,6GR,且a+|6|v0,那么以下不等式中正确的选项是A.a-b>0B.34-63>0C.a2-b2<0D.a+b<Q答案D解析由a+|b|v0知,"0,且同>瓦当6>0时,a+bv.成立,当斥0时,a+XO成立,“

5、+斥0.应选D.4 .如果a£R,且标+.<0,那么a2,-a,一病的大小关系是答案a<-a1<a1<-a解析由后+片:.得v/.a<Q且a>1,/.a2<a2<a.5 .教材改编假设Ov.vb,且a+b=l,那么将a,b,今lab,东+/从小到大排列为答案a<2ab<<a2+b2<b解析:Ovavb且+6=1,2b>l且2al,/a<2ba=2a1=2a2+2a理a<2ab<,又尔+按=g+b2_2ab=l23I-*；,即+反弓,东+拄-6=(1bA+b?b=(261)(61),又261

6、>0,Z>1<0,/.a2-1b2b<09:.a2b2<b9综上,a<2ab<<a2+b<b.题型分类深度剖析题型一比拟两个数式的大小例116,6£0,1,记M=4W2,N=ai+牝-1,那么河与N的大小关系是B.M>NA.M<NC.M=ND.不确定2假设.=竽b=竽°=警那么A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c答案(1)B(2)B解析N=41421)=1424L42+1=".21)一(.211)=(11)(21),又a】£

7、;(O,l),s£(M),l<0,1<0.丁(ai1)(.21)>0,即AfR>0.：.M>N.2方法一易知a,b,.都是正数,5=猾=logSi64<h所以a>b；b51n4c=41Z5=log<5251024>b所以b>c.即c<b<a.方法二对于函数y="x=",V=押,易知当x>e时,函数<x单调递减.由于ev3V4V5,所以<3次4次5,即c<b<a,思维升华比拟大小的常用方法作差法：一般步味：作差：变形；定号：结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解

8、、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.(2)作商法：一般步骤：作两；变形；判断商与1的大小：结论.(3)函数的单调性法：将要比拟的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出大小关系.跟踪练习1(1)设d6G0,+8),4=小+般,5=后二,贝L4,8的大小关系是()A.AWBB.C.A<BD.A>B(2)假设.=18叱,=16巴那么.与6的大小关系为.答案(1)B(2)a<b解析(1).月20,B20,/"=.+2/+Z?(a+b)=2痂20,：.4B.=(新,6=(言严99守(.),q)y,V1816X)

9、J618>0,A1816<1618JPa<b.题型二不等式的性质例2(1)a,b,c满足.助?,且加<0,那么以下选项中一定成立的是()A.ab>acB.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ac(ac)>0假设3o,那么以下不等式：4V6加S2中,正确的不等式有()A.®®B.®®C.®®D.®答案(1)A(2)C解析由c<b<a且ac<0知c<Q且a>Q,由b>c得ab>ac一定成立.(2)由于K<0,所以+kO,4b>

10、0,所以瓦同v例,在b<a两边同时乘以b,由于次0,所以ak户因此正确的选项是一思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.踊踪练习2假设心0>6>,c<d<Q,那么以下结论：宗+M0:(§)ac>bdt(dc)>6(dc)中成立的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析方法一Va>O>b,c<ci<0,/ad<0,6c>0,ad<bc,故错误. /a>Q>b>a,/.a

11、>b>0, ；cdv.,；c>d>0,:'a(c)>(b)(d)9,ac+bd<Q.§+=<0,故正确.acca :cd,/.c>d,a>b,a+(c)>b+(d)9c>bd,故正确.,:a>b,dc>0,a(dc)>b(dc),故正确,应选c.方法二取特殊值.题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3心b>0,给出以下四个不等式：(l)a2>b2；2>2>与(3)>J<7b>a-yjb：/+/>2/b.其中一定成立的不等式为(

12、)C.©©4D.答案A解析方法一由心A0可得,泌2,成立；由心b>0可得心61,而函数兀.=2?在R上是赠函数,次0次I),即262b1,成立；<a>b>0,ya>yfb,*(yjab)2(g-的)2=2yab-2b=2yb(ya业)>0,Ayja-b>yayb,成立；假设a=3,6=2,贝3+=35,2.26=36,a3b3<2a2b.不成立.应选A.方法二令.=3,b=2,可以得到标>,2.>2>I卷距7逆一4均成立,而/+?3>2a2b不成立,应选A.命题点2求代数式的取值范围例4一lv,x<

13、;4,2vy<3,那么x-y的取值范围是,3x+2y的取值范围是答案(-4,2)(1,18)解析V-l<x<4,2<><3,.一3vjy2,-4<x-><2.由一1v.xv4,2vjv3,得一3<3x<12,4<2v<6,1v3x+2jy18.引申探究1 .假设将例4条件改为一1<x<jy3,求xy的取值范围.解V-l<x<3,；一3vy<1,/.4Vxv<4.又Vx<)sAxv<0,4<x><0t故xy的取值范围为(一40).2 .假设将例4条件改为

14、一lvx+)<4,2vxy<3,求3x+2y的取值范围.解设3x+2y=m(x+y)+)i(xy),卜?+=3,fw=l,那么'c.<1"7-71=2,1lz/=2-即3x+2),=|(x+y)+条-y),又/l<x+i<4,2<x><3,'«0,l<1(x-y)<|,35123<*+),)+/一),)/,323即一v3x+2y<y,323,3x+21y的取值范围为一g,7.思维升华1判断不等式是否成立的方法判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式

15、的性质.在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比方对数函数、指数函数的性质等.2求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,屡次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性不等关系的运算求得整体范围,是防止错误的有效途径.跟踪练习31假设户次0,那么以下不等式一定成立的是A.'/B.aaban>bnC叫业D同+15设心6>1,c<Q,给出以下三个结论：?余代；logb.-c>lognbc.

16、其中所有正确结论的序号是A.B.C.®®D.答案1C2D解析1特值法取.=-2,6=1,逐个检验,可知A,B,D项均不正确；H网|6|+1C项,蚌矗彳°1稣1.1+1灼.1例+10冏间+向同间+冏0同间, zqvo,明v|0成立,应选c.2由不等式性质及心6>1知另,又cvO,正确；构造函数=必, cvO,.,=/在0,+8上是减函数,又a>b>1,ac<bc,正确； /a>b>1,c<09,ac>bc>L,lo或.c)>lo&(ac)>log0(6c),正确.现场纠错系列7.利用不等式变形

17、求范围典例设大、)=4炉+队,假设1勺(-1)W2,2W/(1)W4,那么人一2)的取值范围是错解展示解析由得、1-一反2,2W+bW4,+得3W2aW6,6W4aW12,又由可得一2Wa+bW-l,+得0W26W3,一3W2bW0,又大-2)=4-2从,3W4-2bW12,/(-2)的取值范围是3,12.答案3,12现场纠错解析方法一由,4-1)=46,加)=.+6,决-2)=4.-2b=讥-1)+大1).又T点一1)W2,2弥1)W4,5W歹(一l)+/(l)W10,故5号(-2)W10.“一6W2,方法二由确定的平面区域如图阴影局部所示,当人-2)=4°2b过点,4(|,3时,

18、取得最小值4乂卜2乂*5,当人-2=4a2b过点83,1时,取得最大值4X32X1=10,.5点-2W10.答案5,10纠错心得在求式子的范围时,如果屡次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.课时作业1 .己知c>d,且c,d不为0,那么以下不等式成立的是A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>bdD.a+c>6+d答案D解析由不等式的同向可加性得a+c>6+d.2. 2021包头模拟假设6<K10,c=a+b,那么c的取值范围是A.9WcW18B.15y30C.9WcW30D.9y30答案D解析c=a+bW3a且c=a+62苧

19、,/9VyW3v30.3.x+y+z=0,那么以下不等式成立的是A.xyf>y'ZB.xz>yzC.xy>xzD.x>zy答案c解析x¥>z且x+j,+2=0,.x>0,z<0,又y>Zt,冷4 .设,6GR,贝lj"a-b东v0是“"b的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由m6/v0=aW0且瓦.充分性成立；由vb=a*0,当0=°v6时#gb2vO,必要性不成立.5 .设a£0,各,££0,1,那么2a一号的取值范

20、围是A.0,yB,一去yC.OrnD.一玄,兀答案D解析由题设得0<2"兀,0竦4,/.一去W一号W0,/.g<2«<n.6 .a,b,c£R,那么以下命题中正确的选项是A.假设a>b,那么acbc2B.假设贝ljccC.假设a3>b3且akO,那么abD.假设标且护>0,5!i-<|ab答案c解析当c=0时,可知A不正确；当c<Q时,可知B不正确；对于C,由a3>b3且abO,知a>Q且k0,所以4成立,c正确；au当4Vo且6Vo时,可知D不正确.7 .假设a>6>0,那么以下不等式中一定

21、成立的是1,1cbb+1A.+户6+-B->rbaa.+12a+Z?a答案A解析取a=2,b=l,排除B与D：另外,函数兀r=x-；是0,+8上的赠函数,但函数式r=x+；在0,1人人上递减,在1,+8上递增,所以,当.>b>0时,人.户/S必定成立,即但ga>gb未必成立,应选A.8 .假设心6>0,那么以下不等式一定不成立的是B.log2a>log力C.2t-a-bD.b<yjab<,答案C解析(-1)2+(61)2>0(由a>6>0,a,b不能同时为1),+按一2.26+2>0,a1+b2>2a+252,AC项

22、一定不成立.9 .假设不等式(-2)%3"r一(一2)<0对任意正整数恒成立,那么实数.的取值范围是()A.(l,|)B.&|)c(l,3D.&J)答案D解析当为奇数时,2w(l-f7)<3n】,1K；X(|卜叵成立,只需1一°<9(|)1,.悬当为偶数时,2a1)<3MLa-lv：X(,卜恒成立,只需alv；X(,)2,1.av(综上,1<i7<,应选D.10 .a,b,c,d均为实数,有以下命题假设物0,bc-ad>0,那么>沁假设物0,、为0,那么从一20：假设bcad>0,>0.贝ljab&

23、gt;0.其中正确的命题是.答案解析V>0,bc-ad>Q,cdbead 二.正确； ：ab>0,又£：>°,即./">0,abao,bead>0,正确；tcdbcad "c-a冷0,又1声0,即工>0,/>0,正确.故(都正确.11 .a=log23+logn的,b=log：9logr/3»c=log32,那么a,b,c的大小关系是.答案a-b>c解析:a=logz3+logr/§=log23,§,第七章不等式第1讲不等关东与不等式一、选择题1 .a=log23.6,b

24、=Iog43.2,c=Iog43.6,那么()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b解析由于.>1,4c都小于1且大于0,故排除C,D;乂由于4c都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以应选B.答案B2 .设0<伙水1,那么以下不等式成立的是()A.a伙31B. log1伙log】a<0C.22J<2解析取a=；,验证可得.答案C3 .以下四个条件：6>0>,0>心6,>0泌,®a>b>Q,能推出3上成立的有().A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒

25、数性质,由心6,ab>0可得/,、正确.又正数大于负数,正确,错误,应选C.答案C4 .如果a,b,.满足且那么以下选项中不一定成立的是().A.ab>acB.c(ba)>QC.cb1<ab1Dac(gc)<Q解析由题意知c<0,a>0,那么A一定正确；B一定正确；D一定正确；当6=0时C不正确.答案C5 .假设a>0,6>0,那么不等式一6V；Va等价于().X1fl11A-T<x<0或0VxV-B.<x<vbaabC. xV-,或x>；D.xV；或abba解析由题意知a>0,6>0,xWO,(1

26、) "1x>0时、-6V-VaOx>一；xa(2)当xVO时,b<-<a<=>x<7.xb综上所述,不等式一6V1Va=xV-J或x>土xba答案D6 .假设a、6均为不等于零的实数,给出以下两个条件.条件甲：对于区间上的一切x值,x+b>0恒成立；条件乙：26一心0,那么甲是乙的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当工£一1,0时,恒有ax+6>0成立,当.>0时,ax+626a>0,当a<0时,a>0,b>0,.,.2ba>0,3

27、,甲今乙,乙推不出甲,例如：a=g,b>0时,那么2ba=b>09一31但是,当x=1时,(一l)+b=»+b=一弓斥0,甲是乙的充分不必要条件.答案A二、填空题7 .假设aKa：,&<儿那么ag+a以与a：A：+a：A的大小关系是.解析aiA+a?a心+a：&=3一生6l幻>0.答案aibi+azb>aibz+azbi8 .现给出三个不等式：+1>2；/+/>2卜一6一|；、+,值后+出其中恒成立的不等式共有个.解析由于/2+1=-1220,所以不恒成立；对于,次+/一2a+2b+3=一12+6+12+1>0,所以恒成

28、立；对于,由于S+回2/+亚2=2闻2回>0,且小+回>0,g+招>0,所以6+回他+护,即恒成立.答案29 .一l<x+Z4,且2WxyW3,那么z=2x3y的取值范围是用区间表示.15解析Vz=-Cv+y+-Cyy,乙乙15,3W5x+v+jxVW8,乙乙,z£3,8.答案3,810.给出以下四个命题：假设心6>0,那么:/；假设a>b>Q,那么t：ClD假设心6>0,那么三当理；4十U设.,6是互不相等的正数,那么Hbl+TvNZ.ab其中正确命题的序号是把你认为正确命题的序号都填上.解析作差可得»与六而a>b>.,那么黑<0,此式错误.>6>0,那么另,进而,11小11,尸.2a+bab2a+Z?aa+2btra1可付一7一所以可传.一%/一9正确.;包一尸b-=讲砺=色三纵抖0,错误.当.一Z0时此式不成立,错误.答案三、解做题11.a£R试比拟上与1+a的大小.解析1-a(1+a)=1-aQ当a=0时,;=0,/;=l+a.1a1aa,1当aVl且aWO时,->0,A->l+a1a1a/当a>l时,-<0,A-<l+a.1a1a综上所述,当a=0时,4=l+a；1a当aVl且aWO时,7>l+a；