高中数学复合函数练习题

1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为 B,假设 AB,那么 y 关于 x 函数的 y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(一)例题剖析：(1)、f(x)的定义域,求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为 D,即xD,所以f的作用范围为 D,又 fXg(x)作用,作用范围不变,所以g(x)D,解得xE,E 为fg(x)的定义域.例 1.设函数f(u)的定义域为(0,1),那么函数f(lnx)的定义域为.解析：函数f(u)的定义域为(0,1)即u(0,1),所以f的作用范围为(0,1)又

2、f 对 lnx 作用,作用范围不变,所以01nx1解得x(1,e),故函数f(1nx)的定义域为(1,e)1例 2.假设函数f(x),那么函数ff(x)的定义域为.x1解析：先求 f 的作用范围,由f(x)-,知x1x1即 f 的作用范围为xR|x1,又 f 对 f(x)作用x1所以f(x)R且f(x)1,即ff(x)中 x 应满足x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2(2)、fg(x)的定义域,求f(x)的定义域思路： 设fg(x)的定义域为 D,即xD,由此得g(x)E,所以 f 的作用范围为 E,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以xE,E为f(x)的定义域.例 3.f(32

3、x)的定义域为x1,2,那么函数f(x)的定义域为.解析：f(32x)的定义域为1,2,即x1,2,由此得32x1,5所以 f 的作用范围为 1,5,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以即函数f(x)的定义域为1,5f(x)1,52例 4.f(x124)lgIx一,那么函数f(x)的定义域为.X2822解析：先求 f 的作用范围,由f(X24)lg2-,知Tx0 x8x8解得X244,f 的作用范围为(4,),又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以x(4,),即f(x)的定义域为(4,)(3)、fg(x)的定义域,求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D,即xD,由此得g(x)

4、E,f的作用范围为E,又 f 对h(x)作用,作用范围不变,所以h(x)E,解得xF,F 为fh(x)的定义域.例 5.假设函数f(2x)的定义域为1,1,那么f(log2x)的定义域为.1解析：f(2x)的定义域为1,1,即x1,1,由此得2x22f的作用范围为1,221又 f 对log2x作用,所以log2x,2,解得x22,42即f(log2x)的定义域为(x22x23)y2yi0即y2yi.y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(,i)上是增函数.例2、讨论函数f(x)loga(3x22xi)的单调性.解由3x22xi0得函数的定义域为ix|xi,或x-.3那么当ai时,假设xi,u3

5、x22xi为增函数,f(x)loga(3x22x函数.4i右x-,.u3x22xi为减函数.3f(x)loga(3x22xi)为减函数.当0ai时,假设xi,那么f(x)loga(3x22xi)为减函数,假设xf(x)loga(3x22xi)为增函数.例 3、.y=loga(2-ax)在0,i上是 x 的减函数,求 a 的取值范围解：a0 且 awi当 ai 时,函数 t=2-ax0 是减函数由 y=loga(2-ax)在0,i上 x 的减函数,知 y=logat 是增函数,ai由 x0,i时,2-ax2-a0,得 a2,ia2当 0a0 是增函数由 y=loga(2-ax)在0,i上 x 的

6、减函数,知 y=logat 是减函数,0a0,.-0a1综上述,0a0,解 得X4或XV1,所 以xC(8,1)u(4,+00),当XC(8,1)U(4,+8),|=x2-5x+4=R+,所以函数的值域是R+.因为函数y=l0gl(x25x+4)是由y=log1(x)与(x)=x25x+4复合而成,函335、(x)=x25x+4在(8,一)2.,一,5.上为减函数,在5,+8上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=l0gl23(x25x+4)的增区间是定义域内使y=l0gl(x)为减函数、(x)=x25x+4也3为减函数的区间,即(一00,1)；y=log1(x25x+4)的减区间

7、是定义域内使y=log133(x)为减函数、(x)=x25x+4为增函数的区间,即(4,+8).变式练习、选择题1 .函数f(x)=log1(x1)的定义域是(V2数y=log1(x)在其定义域上是单调递减的,函数3A.(1,+8)B.(2,+8)C.(8,2)解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,x10所以10gl(x1)0解得10,所以x2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.答案：D4 .假设定义在区间(一1,0)内的函数f(x)=10g2a(x+1)满足f(x)0,那么a的取值范围为(2D.(1,24y答案：选B1,、C.(,+)2解析：由于xC(1,0),所以x+1

8、C(0,1).当f(X)0时,根据图象只有0V12avi,解得0vav-(根据本节思维过程中第四条提到的性质)2答案：A一、.,2一、一5 .函数y=lg(-D的图象关于()1xA.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线y=x对称2.1+x1+x1+x斛析：y=lg(1)=lg,所以为奇函数.形如y=lg或y=lg1x1x1x1x的函数都为奇函数.答案：C二、填空题y=loga(2ax)在0,1上是x的减函数,那么a的取值范围是.解析：a0且aw1(x)=2ax是减函数,要使y=loga(2ax)是减函数,一2一,那么a1,又2ax0a-(0 x1)a0,解得0vxv2.3(x)=2xx2在

9、(0,1)上单调递增,那么f(x)在(0,1)上单调递减；(x)=2xx2在(1,2)上单调递减,那么f(x)在1,2)上单调递增.所以f(2xx2)的单调递减区间为(0,1).答案：(0,1)8.定义域为R的偶函数f(x)在0,+上是增函数,且f(1)=0,2那么不等式f(log4x)的解集是.D.(0,+8)解析：由于f(x)是偶函数,所以f(1)=f(1)=0.又(的在0,+8221八上是增函数,所以f(x)在(0)上是减函数.所以 f(lOg4X)0log4x_或 log4x21V一.2一八1解得 x2 或0vxv.2一八1答案：x2或0vxv2三、解做题9.求函数y=l0gl(x25

10、x+4)的定义域、值域和单调区间.3解：由(x)=x2-5x+40,解得x4或xvl,所以xC(巴1)U(4,+),当xC(8,1)U(4,+),|=x2-5x+4=R+,所以函数的值域是R十.由于函数y=10gl(x25x+4)是由y=10gl(x)与(x)=x25x+4复合而成,335(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)=x25x+4在(8,一)2,一一,5上为减函数,在5,+8上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,2(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y=10gl(x)为减函数、(x)=x25x+4也3为减函数的区间,即(一00,1);y=10gl(x25x+4)的减区

11、间是定义域内使y=10gl33(x)为减函数、(x)=x25x+4为增函数的区间,即(4,+8).232x10.设函数f(x)=+1g3-2,3x+53+2x(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证实；(3)函数f(x)的反函数P1(x),问函数y=f1(x)的图象与x轴有交点吗？假设有,求出交点坐标；假设无交点,说明理由.一3-2x,一5一33一八一3解：(1)由3x+5W0且0,解得xw3且一x.取交集得一3Vx函数y=log13y=iog133一.2那么f(x1)f(x2)axx12X1x2ax22x21ax2x12x22x11x21c为ex2aa(2)令(

12、x)=3x+5,随着 X 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;3-2x632X=-1+6随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.3+2x3+2x32x一又 y=lgx在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y=lg3_J2是减函数,所以f3+2x232x_(x)=+lg324 是减函数.3x+53+2x(3)由于直接求 f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.设函数 f(x)的反函数 f1(x)与工轴的交点为(xo,0).根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,xo),将(0,xo)代入f(x),解得x

13、o2一.所以函数y=f1(x)的图象与x轴有交点,交点为(5-.指数函数与对数函数.同底的指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数；(二)主要方法：1 .解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2 .指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论;3 .比拟几个数的大小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差.(三)例题分析：2b例 1.(1)右aba1,那么10gb,10gba,logab从小到大依次为axyz(2)右235,且x,y,z都是正数,那么2x,3y,5z从小到大依次为xx(3)设x0,且ab1(a0,b0),那么a与b的大小

14、关系是()(A)ba1(B)ab1(C)1ba(D)1ab2.b.b.斛：(1)由aba1得一a,故logblogba1logab.aa(2)令2x3y5zt,那么t1,x巫,y巫,z星,lg2lg3lg5.2x3y致1皿lgt-9响 0,.,2x3y;lg2lg3lg2lg3同理可得：2x5z0,2x5z,3y2x5z.(3)取x1,知选(B).x2例 2.函数f(x)ax(a1),x1求证：(1)函数f(x)在(1,)上为增函数;证实：(1)设1x,x2,(2)方程f(x)0没有负数根.,函数f(X)图象上任意两点连线的斜率都大于0.21、函数f(x)f(x)的定义域为0,0,1,求函数f

15、(xf(x)的定义域.答案:112、函数f(32x)f(32x)的定义域为3,33,3,求f(x)f(x)的定义域.1XiX2,Xi10,X210,XiX20,3(X!X2)0.(Xi1)(X21)XXXX1X1X2,且a1,aa,.aa0,f(X1)f(X2)0,即f(X1)f(X2),函数f(x)在(1,)上为增函数;假设X0是方程f(x)0的负数根,且X01,那么a上一20,X01即ax02X03(X01)3X01X01X01当1X00时,0,式不成立；当X01时,1,式不成立.综上所述,方程f(X)X011,33,312,而由aX01X01-3_3一X-0,0,11,而a0,X01X010没有负数根.1知a为例3.函数f(x)loga(aX1)(a0且a1).(?高考A方案?考点15,例4).求证:(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.证实：(1)由aX10得：aX1,当a1时,X0,即函数f(x)的定义域为(0,),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；当0a1时,X0,即函数f(x)的定义域为(,