高三数学一轮复习专题复习《函数的单调性与最值》

1、函数的单调性与最值(45分钟100分)一、选择题(每题5分,共40分)1.(2021沈阳模拟)以下函数在(0,+8)上是增函数的是()A.y=ln(x-2)B.y=-C.y=x-xr【解析】选C.函数y=ln(x-2)在(2,+8)上为增函数,y=-,x在0,+8)上为减函1优数,y=x-x=x-X在(0,+8)上为增函数,y=在0,+8)上为减函数,故C正确.2.(2021衢州模拟)以下函数中,值域为(-8,0)的是(21I力A.y=-xB.y=3x-11C.y=%D.y=-【解析】选B.函数y=-x2的值域为(-8,0；y=3x-1I的值域为y<3x3-1=0,即yC(-8,0);y

2、=X的值域为(-oo,0)u(0,+8)；y=-'xe(-00,0.I)3 .(2021珠海模拟)假设函数y=ax与y=-*在(0,+°°)上都是减函数,那么y=ax2+bx在(0,+°°)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增b【解析】选B.由于y=ax与y=-X在(0,+8)上都是减函数,所以a<0,b<0,b所以y=ax2+bx的对称轴x=-2a<.,所以y=ax2+bx在(0,+00)上为减函数.4 .奇函数f(x)对任意的正实数xi,x2(xiwx2),恒有(xi-x2)(f(xi)-f(x2)>0

3、,那么一定正确的是()A.f(4)>f(-6)B.f(-4)<f(-6)C.f(-4)>f(-6)D.f(4)<f(-6)【解析】选C.由(xi-x2)(f(xi)-f(x2)>0知f(x)在(0,+8)上递增,所以f(4)<f(6)?f(-4)>f(-6).ox,_15 .(2021杭州模拟)设函数f(x)=1+2-2,冈表示不超过x的最大整数,那么函数y=f(x)的值域是()A.0,1B.0,-1C.-1,1D.1,1【思路点拨】先求f(x)的值域,再据冈的规定求f(x)的值域.2X【解析】选B.由于0<乙十,<1,工I所以f(x)=2

4、、+1-2e又x表示不超过x的最大整数,所以y=f(x)0,-1.f2jx-4x+6,x>0,6 .(2021天津模拟)设函数f(x)="那么不等式f(x)>f(1)的解集是()A.(-3,1)U(3,+8)B.(-3,1)U(2,+oo)C.(-1,1)U(3,+8)D.(-00,-3)U(1,3)【解析】选A.当x>0时,f(x)>f(1)=3,即x2-4x+6>3,解得0Wx<1或x>3;当x<0时,f(x)>f(1)=3,即x+6>3,解得-3<x<0.故f(x)>f的解集是(-3,1)U(3,+O

5、O).【加固练习】f(x)是定义在(0,+8)上的单调递增函数,且满足f(3x-2)<f(1),那么实数x的取值范围是(A.(-8,1)/+0°)C.、,【解析】选B.由于f(x)D.(1,+8)是定义在(0,+8)上的单调递增函数,且满足f(3x-2)<f(1),所以f3x-2>0t'2x>?xC所以实数x的取值范围是7.(2021厦门模拟)定义在R上的函数f(x)在区间(-8,2)上是增函数,且f(x+2)的图象关于x=0对称,那么()A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)【思路点拨

6、】由得到f(x)的对称性,进而作出图象大致形状,数形结合求解.【解析】选A.由于f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,又f(x)在区间(-oo,2)上是增函数,那么其在(2,+8)上为减函数,作出其图象大致形状如下图由图象知,f(-1)<f(3),应选A.8.水平挑战题2021金华模拟设函数gx=x2-2x£R,:g(x)+x+4fx<g(x),f(x)=g(x)-X,X>g(x),那么f(x)的值域是()91A.U(1,+8)B.0,+8)-9IC.L91?°D.U(2,+00)【思路点拨】明确自变量的取值范围,先求每一局部

7、的函数值范围,再取并集求值域选D.由x<g(x)=x2-2得x2-x-2>0,那么x<-1或x>2.因此由x>g(x)=x2-2得-1<x<2.iX2+x+2tx<-1或x>2、21x-x-2,-1<x<2,于是f(x)='当x<-1或x>2时,f(x)=17九.当-1WxW2时,f(x)=且f(-1)=f(2)=0,94所以-"wf(x)<0.I*9"?°由以上可得f(x)的值域是jU(2,+00).二、填空题每题5分,共20分9.2021台州模拟如果函数fx=ax2-3

8、x+4在区间-8,6上单调递减,那么实数a的取值范围是.【解析】(1)当a=0时,f(x)=-3x+4,函数在定义域R上单调递减,故在区间(-00,6)上单调递减.3(2)当aw0时,二次函数f(x)的对称轴为直线x=2a.由于f(x)在区间(-8,6)上单调递减,3所以a>0,且2a>6,解得0<aw41综上所述,0<a<.-1答案：L【误区警示】此题易无视a=0的情况而失误.1JX<-1,XLx+a,x二一110.函数f(x)=在R上是减函数,那么实数a的取值范围是.【思路点拨】由于f(x)为R上的减函数,所以当x<-1时,恒有f(x)>f(

9、-1),由此可求得a的取值范围.1【解析】由于f(x)为R上的减函数,所以必有f(-1)&、即1+aW-1,所以a<-2.答案：aw-2rx+ax,x<1,'2Tax+x,x>1【加固练习】(2021保定模拟)函数f(x)='在R上单调递减,那么实数a的取值范围是.(2,1x+aXjX<L12ax+XjX>'I【解析】由于函数f(x)=1在R上单调递减,所以g(x)=x2+ax在(-8,1上单调递减,且h(x)=ax2+x在(1,+00)上单调递减,且g(1)>h(1),a一>li2-'a<011 1<

10、;L2a-J+a工a+L所以解得a<-2.+a+b,a,b是答案：aw-211.(2021宁波模拟)规定符号表示一种两个正实数之间的运算,即a正实数,1k=3,那么函数f(x)=kx的值域是.【解析】由题意知1k='k+1+k=3,解得k=1,r所以f(x)=kx=1x=X+1+x答案：(1,+8)12 .函数f(x)的定义域为A,假设x1,x26A且f(x1)=f(x2)时总有xx2,那么称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(xR)是单函数,以下命题：函数f(x)=x2(xRR)是单函数；指数函数f(x)=2x(xCR)是单函数；假设f(x)为单函数,x1,x2CA

11、且x1wx2,那么f(x1)wf(x2);在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是(写出所有真命题的编号).【解析】对于,x1=2,x2=-2时,f(x1)=f(x2),而xxx2,故函数f(x)=x2不为单函数,故错；对于,由于y=2x在定义域内为单调增函数,故正确；对于,假设f(x1)=f(x2),由f(x)为单函数,故x1=x2,这与x1Wx2矛盾,故原命题成立,故正确；对于,因函数在定义域上具有单调性,即满足f(x)为单函数的定义,故正确.答案：、解做题(13题12分,1415题各14分)13 .(2021温州模拟)函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0&

12、lt;a<1).求函数f(x)的定义域.(2)假设函数f(x)的最小值为-4,求实数a的值.-x>0【解析】(1)要使函数有意义:那么有1X+3>.,解之得-3<x<1.2+4.所以函数的定义域为x|-3<x<1.(2)函数可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)由于-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4<4.由于0<a<1,所以loga-(x+1)2+4>loga4,即f(x)min=loga4._£v124由loga4=-4,得a-4=4,

13、所以a=4=2.故实数a的值为2.114.函数f(x)=a-|x|.(1)求证：函数y=f(x)在(0,+°°)上是增函数.(2)假设f(x)<2x在(1,+8)上恒成立,求实数a的取值范围.【解析】当xC(0,+8)时,1“、xf(x)=a-,设0<Xi<X2,那么XiX2>0,X2-x1>0,f(x2)-f(x11X2-X1X-X?=-=1>0,所以f(x)在(0,+8)上是增函数(2)由题意a-X<2x在(1,+8)上恒成立,设h(x)=2x+那么a<h(x)在(1,+8)上恒成立.任取xi,x2c(1,+0°)且xi<x2,h(xi)-h(x2)=(xi-x2)由于1<xi<x2,所以xi-x2<0,xix2>1,1所以2-12>0,所以h(x1)<h(x2),所以h(x)在(1,+8)上单调递增.故a<h(1)即a<3,所以a的取值范围是(-oo,3.15.(水平挑战题)(2021绍兴模拟)函数f(x)的定义域是(0,+8),且满足ffff3女果对于都有一f(xy)=f(x)+f(y),f=1,如果又于0<x<y,都有f(x)>f(y).求f(1).(2)解不等式f(-x)+f(3-x)