四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校2016届九年级数学上册 第23章 图形相似学案（无答案）（新版）华东师大版

1、成比例线段阅读P48一、线段的比：1、定义：在相同的长度单位下，两条线段长度的比值叫做两条线段的比。2、前项、后项。3、线段的比是一个正数。4、线段的比与所采用的单位无关。5、应用：比例尺。例1、（1）已知：AB=1.5m，CD=30cm。求：=？ （2）在比例尺为1100000000的中国地图上，北京、佛山两地之间的图上距离约为2.59cm，则这两地的实际距离为 。二、成比例线段。1、定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另两条线段长度之比，则这四条线段叫做成比例线段，也称这四条线段成比例。例2、判断下列线段a、b、c、d是否是比例线段？ （1） a=4，b=6，c

2、=5，d=10。 （2）a=2，b=，c=2，d=5。 （3）a=2cm，b=30m，c=6cm，d=10m。四条线段a、b、c、d成比例，则ab=cd（或=）2、组成比例的项、比例外项、比例内项、第四比例项。3、比例中项：如果作为比例内项的是两条相同的线段，则称相同的一条是另两条的比例中项。若ab=bc 则称b是a、c的比例中项。例3、（1）已知：a=3cm，b=4cm，c=6cm。求a、b、c的第四比例项？（2）已知：a=4cm，c=6cm。求a、c的比例中项？（3）已知数a=2，b=18。求a、c的比例中项？三、比例的性质：1、基本性质：=。例4、已知：3x2-7xy+4y2=0。求的值

3、。2、推论：ab=bcb2=ac。3、合比性质：=。例5、证明：（1）如果=，那么=。（2）如果=，那么=。例6、（1）若=，则= ，= 。（2）若=，则= ，= 。4、等比性质：如果=(b+d+n0)，则=例7、（1）已知=，求的值。（2）已知=，且3a-2b+c=9。求2a+4b-3c的值。（3）已知abc0，并且=k，则直线y=kx+k的图象过 象限。 （4）已知：xyz=753，且x+y=24。求x、y、z的值。四、平行线分线段成比例 P51ABCDEFaFbc1、基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 = = abc =ABCDEFaFbc =例9、如图，abc，

4、则= ，= ，= 。ABCDEFaFb例10、已知：abc，AB=3，DE=2，EF=4。c 求：BC。ABCDEFaFbc例11、已知：如图，abc，=。 求证：=ABDECABDECCABDE2、推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。DEBC =ABCDFE例12、如图，若FDAC，则= ，= 。 如果DEAB，则= ，=。ABCDE例13、如图，已知：DEAB，AB=15，AC=9，BD=4。 求：AE。ABDEC3、推论2：平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。DEBC =ABDEC例14

5、、在ABC中，DEBC，=，则= ，= ，= ，= 。五、三角形一边平行线的判定：ABDECCABDEABDEC定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 = DEBC ABCDFE例15、如图，若=，则 。若=（ ），则 。COBDA例16、如图，如果=。求证：A=C，B=D。ABCDEF例17、ABC中，AD是BC边上的中线，过B作射线BE交AC、AD于E、F。已知，AFFD=15。 求：AEEC=？CBA例18、已知：如图，AB=1，AC= 求证：AC2=AB·BC六、黄金分割点：把线段AB分成两条线段AC和BC（

6、AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割。点C叫做线段AB的黄金分割点。AC=AB0.618AB§23.2相似图形阅读教材：P57-59一、相似图形1、定义：我们把形状相同（大小可以不同）的平面图形称为相似图形。2、相似形强调图形的形状相同，与它的位置、大小、颜色无关。3、相似变换：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。4、相似与全等的关系：全等是特殊的相似。二、相似多边形的性质与判定性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等。判定：两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对

7、应相等，则这两个多边形相似。例1、在图所示的相似形中，求未知边x长度和角的大小。77077083011701812x18思考：两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？ABCA1B1C1§23.3相似三角形一、相似三角形P611、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。2、表示方法：用“”表示。如图：ABCA1B1C1注：对应点写在对应位置上。例1、（1）如果ABCDEF，则B的对应角是 ，BC的对应边是 ，C= 。ABCED（2）如图，ABCADE，ADE=B，则对应角有 ，对应边有 。3、相似三角形的对应边（角）的找法：（1）最大角对应最大

8、角，最小角对应最小角。（2）最大边对应最大边，最小边对应最小边。（3）对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。4、相似比：相似三角形对应边的比值k叫做这两个三角形的相似比。（或叫相似系数） 若ABCDEF，则k=注：ABC与DEF的相似比和DEF与ABC的相似比互为倒数。A例2、（1）两个相似三角形的相似比为1，则这两个三角形 。（2）ABC中，EF是ABC的中位线，则AEF ，相似比为 。DE例3、如图，若DEBC。 求证：ABCADECBCABDEABDECABDEC二、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。DEBCABCADE

9、ABCDEF例4、ABC中，DEBC，AD=4，DB=3，则ADE ，相似比为k= 。若DE=5，则BC= 。例5、已知：如图，ABC中，DEBC，DFAC，AE=3cm，EC=2 cm，BC=10 cm。求：BF和FC的长。ABCDEG例6、如图，已知ABC中，D是BC上一点，且BDDC=31，G是AD的中点，BG的延长线交AC于E。 求：BGGE=？ABCA1B1C1三、相似三角形的判定方法：P631、用定义。ABCA1B1C1=A=A1B=B1C=C1 CABDEABDECABDEC2、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。DEBCA

10、BCADEABCA1B1C1阅读教材P64命题：有两个角对应相等的两个三角形相似。已知：在ABC和A1B1C1中，A=A1，B=B1。求证：ABCA1B1C1ABCDEF3、相似三角形的判定理1：有两角对应相等的两个三角形相似。（两角对应相等的两个三角形相似）ABCDEFA=DB=E例7、已知：ABC和DEF中，。求证：ABCDEFABCDEF例8、已知：如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC延长线于F，连结DC、BE，若BDE+ACE=1800。（1）写出图中三对相似三角形（不添加字母和线段）。（2）请选取一对加以证明。例9、已知：，。求证：ABCF例10、求证

11、：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。例11、如图：ABCD是平行四边形，是上一点，的延长线交的延长线于。ABCDEF求证：例12、如图，ABC中，BC，EFAB。求证：ADECEF阅读教材P68ABCA1B1C1命题：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。已知：在ABC和A1B1C1中，A=A1，且=。求证：ABCA1B1C15、相似三角形判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）已知：如图，ABC和DEF中，A=

12、D，求证：ABCDEF例13、如图，已知：cm，4.2 cm，cm，10.6 cm。 则：，。例14、如图，A=，A=。求证：ABCDE阅读P69 做一做6、相似三角形判定定理：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。（三边对应成比例的两个三角形相似）ABCDEF例15、在ABC和A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=30cm。 求证：ABCA1B1C1例16、已知：， 求证：ABCDEF7、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例

13、，则这两个直角三角形相似。已知：如图，tABC与tDEF中，90，求证：tABCtDEF例17、如图，在ABC中，BAC90，是BC的中点，且DMBC交BA的延长线于点，交AC于点。求证：MD·ME例18、已知：、分别是AB、AC上的两点，CD与BE相交于点，且AD·ABAE·AC 求证：OD·OCOE·OB例19、已知：是正方形ABCD中，AB边的中点，是AD上一点，且AFFD，EGCF于。求证：EGCG·GF例20、已知：tABC中，CDAB。求证：（）CDAD·BD（）ACAD·AB（）BCBD·B

14、A四、射影定理：直角三角形的直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。CDAD·BDACAD·ABACB90BCBD·BACDABCABD例21、（1）已知：tABC中，AD，CD。求图中其余线段的长？ABCD（2）已知：tABC中，90，ADBC于。求证：ABACBDDC（3）已知：AD为ABC中BC边上的高，过作AB、AC的垂线，垂足分别为、。 求证：AE·ABAF·ACABCA1B1C1五、相似三角形的性质：A=A1=B=B1C=C11、基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

15、ABCA1B1C1 阅读P71-722、定理：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。例22、（）如果ABCDEF，它们的对应高的比为，且的平分ADcm，那么，的平分线为 cm。 （）顺次连结三角形三边中点所成的三角形与原三角形的对应高的比是。3、定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方。GABCDEF例23、（）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，EFBC交AD于，若AGGD，则EFBC。（）已知：ABC中，DEBC，DGAG，BFAC，且DGFG，则DEBC，ABC。4、定理：相似三角形周长的比等于相似比。ABCDEF例24、已知ABCDEF，它们的周长分别为6

16、0cm和72cm，且AB15cm，24cm。求：BC、AC、DE、DF的长。例25、已知：平行四边形ABCD中，C=1200，将三角板600的角的顶点重合于点A，角的两边分别与BC、CD相交于点E、F。 （1）当AEBC时。求证：=。（2）将三角板以图乙中虚线位置开始绕着A点转动，画出转动的过程中的种图形，并探究图形中（1）的结论依然成立，说明你的理由。ABECFDABEFCD （甲） （乙）例26、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BCmm，高ADmm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个矩形零件的边长是多少时，矩形的面积最大？最大值是多少？六、

17、相似三角形的应用1、测量高度。例27、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O1B1，比较棒子的影长A1B1与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O1B1=1m，A1B1=2m，AB=274m。求金字塔的高度OB？OBCAO1B1A1A12、测量距离。BADCE例28、如图，为估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B、C，使ABBC，然后，再选点E，使ECBC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米。求两岸间的大致距离AB？AEBDl

18、例29、如图，在公路l的一侧有A、B两个村庄，A村到公路的距离AE是300米，B村到公路的距离BD是480米，且DE为1300米，现在要在公路边建一个供水站C，将水送到A、B两个村庄去，且使供水管最短。（1）在图中找出供水站的位置C。（2）求出点C到点E的距离。例30、如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M。DCBAEFM（1）求证： EDMFBM。（2）若DB=9。求BM的长？例31、如图，ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有点E，且AD=CE，DE交AC于F。ABCDEF求证：AB·DF=BC·EF例3

19、2、在等腰ABC中，AB=AC，ADBC于D，CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F。ABCDPEF 求证：BP2=PE·PF。例33、如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，过D分别作DEBC于E，DFAC于F。CABDEF 求证：=ABCDEF例34、已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E为AC的中点。 求证：AB·AF=AC·DF。例35、如图，在ABC中，A=900，AB=AC，D是AC的中点，过A作AEBD，交BC于E，连结DE。ABCED求证：ADB=CDE例36、如图在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B

20、以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒PBQ与ABC相似？BACPQCABDEF例37、如图，已知：ACEFBD。 （1）求证：+=1。（2）求证：+=。（3）若AC=3，EF=2。求BD的值。ABCDEF§23.4中位线一、三角形的中位线：P771、定义：连接三角形各边中点的线段叫做三角形的中位线。ABCDE2、条数：三条。图中的中位线是 。例：已知：如图，ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。求证：（1）DEBC（2）DE=BCABCDE 3、三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

21、DEBCDE=BC AD=DB AE=ECABCDOE例1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为 。例2、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。ABCMN例3、如图，在ABC中，已知M是BC边的中点，AN平分BAC，BNAN，AB=10cm，AC=16cm。 求：MN的长？ABCDE例4、如图，在ABC中，已知D是BC边的中点，AE平分BAC，CEAE，AB=6cm，AC=10cm。则DE= cm。ABCEDG例5、如图，ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G。 求证：=阅读：P79 拓展。=

22、= = ABCEDGF二、三角形的重心定理：三角形三条边上的中线交于一点，这个点是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。如图：点G是ABC的重心 ABCGFDFEF例6、已知：如图，ABC中，中线BE、AD交于G，且SCGE=2，则SABC= 。ABCDEFG例7、如图，点E、F分别为矩形ABCD的边AB、BC的中点。连接AF、CB交于点G，则= 。ABCDEFA、 B、 C、 D、三、梯形的中位线。1、定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。图中的 。ABCDEF2、条数： 做一做：已知：梯形ABCD中，ADBC，AE=BE，DF=CF。 求证：（1）EFBC。ABCD

23、EFH （2）EF=（AD+BC）3、性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。4、梯形的面积计算：如图：（1）S梯形ABCD= （2）S梯形ABCD=ABCDFE例8、如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BEAC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点。 （1）求证：DF=FE。（2）若AC=2CF，ADC=600，ACDC。求BE的长。（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积。例9、如图，在ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，ACBABCDEF的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF。（1）求证：EFBC。（2）若四边形BDEF的面

24、积为6，求ABD的面积。ABCDOGEF例10、已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF交BE的延长线于点G，连接OG。 （1）求证：BCEDCF。（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论。（3）若GE·GB=4-2。求正方形ABCD的面积。§23.5位似图形阅读P80试一试：已知：多边形ABCDE 求作：多边形A1B1C1D1E1，使多边形A1B1C1D1E1是多边形ABCDE的1.5倍ABCDE想一想：多边形ABCDE与多边形A1B1C1D1E1是否相似？为什么？一、位似图形：1、定义：如果两个多边形

25、不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。2、位似中心：对应点连线的交点叫做位似中心。ABCA1B1C13、位似比：位似图形的对应边的比叫做位似图形的位似比。例1、如图，ABC与A1B1C1是位似图形，且位比是12，若AB=2cm，则AB= cm。并在图中画出位似中心O。ABCA1B1C1O二、位似图形的性质：1、位似图形上的任意一对对应点和位似中心的距离之比等于位似比。ABCA1B1C1O如右图所示。=2、位似图形的对应点的连线或延长线交于一点。3、位似图形的对应线段平行。如图：ABA1B1、BCB1C1、ACA1C14、位似图形的对应角相等。三、画位似图形的步聚：（利用

26、作位似的方法可以把一个图形放大或缩小）1、确定位似中心。2、连接图形各顶点与位似中心的连线段。ABCA1B1C1OABCA1B1C1O3、按位似比进行取点。4、顺次连接各点，所得的图形就是所求的位似图形。四、位似中心的位置的选取：1、可在两图形的同侧。如图所示。2、可在两图形之间。如图所示。3、可在多边形的内部。如图所示。4、可取在多边形的一条边上。5、可取在多边形的某一点上。例2、已知：ABC （1）把ABC放大为原来的1.5倍。ABC （2）把ABC缩小为原来的0.5倍。ABC例3、正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是21。ABCDO例

27、4、如图在ABC中，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2） （1）将ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的A1B1C1；（2）画出ABC关于x轴对称的A2B2C2；（3）将ABC绕原点O旋转1800，画出旋转后的A3B3C3；（4）在A1B1C1、A2B2C2、A3B3C3中， 与 成轴对称，对称轴是 ； 与 成中心对称，对称中心是 。yOxOACBO§23.6图形与坐标岳阳汨罗长沙湘潭韶山一、平面内点的位置的表示方法：阅读：P841、用平面坐标描述点的位置。例1、2008年奥运火矩于6月3日至5日在湖南省传递路线为：岳阳汨罗长沙湘潭韶山。如图，学生小华在地图上设定汨罗市位

28、置点的坐标为（0，-2），长沙市点的坐标为（0，-4），请帮助小华确定韶山市位置点的坐标为 。2、用极坐标表示。角度和距离。（距离，角度）0030060090012001500180021002400270030003300ABCDE165432例2、如图是一台雷达控测器测得的结果，图中显示，在A、B、C、D、E处有目标出现。试用适当的方式分别表示出每个目标的位置。3、用经度与纬度来表示。（纬度，经度）例3、某市大约位于北纬400，东经1130，用一对有序实数表示其位置为 。例4、如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标第，使“将”位于点（1，-2），“象”位于点（3，-2），则炮位于 。将炮象xy0121-1-1P1PP2二、图形变换与坐标：P881、图形变换有： 。2、平移变换与坐标变化。（1）点的平移。在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或向左）平移a(a>0)个单位长度，平移后点的