求数列前N项和的七种方法精编版

1、求数列前N项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。1.公式法等差数列前n项和：nlnl*n(d22特别的，当前n项的个数为奇数时，S+i=(2k+1)Lak+i,即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，Sn=naa11一qnr心一人q#1,Sn=,特别要汪意对公比的讨论。n1-q其他公式：1、Sn=£k(n+1)2、Sn=£k2=1n(n+1)(2n

2、+1)22“63、Sn=k3=ln(n-1)2k42例1已知log3x=，求x+x2+x3+xn+，的前n项和.log23解：由log3x11log3x一-log32=x=log232由等比数列求和公式得Sn=xx2x3匚*xn(利用常用公式)11x(1xn)1-x2=1_!12n1-2例2设Sn=1+2+3+-+n,SnnCN*,求f(n)=(n32)Sn1白11，(利解：由等差数列求和公式得Snn(n1),Sn-(n1)(n2)用常用公式)f(n)=n(n32)&.1n2n34n64-,6482n34(n)50n.n1<50_8当7n=，即n=8时，f(n)maxn502.错

3、位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例3求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n_1)xn解：由题可知，(2n1)xn。的通项是等差数列2n-1的通项与等比数列xn的通项之积设xSn=1x+3x2+5x3+7x4+(2n1)xn-得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+2xn*_(2nT)xn(错位相减)1-xnn再利用等比数列的求和公式得：(1-x)Sn=12x(2n-1)x1xSn=(2n-1)xn1-(2n1)xn(1x)(1-x)2246例4求数列一，一7,-T22

4、2232n2n前n项的和.解：由题可知，|的通项是等差数列（2n的通项与等比数列?的通项之积设Sn|Sn（设制错位）2462n=一+2_222232n462n+-+-+.+23242n12|322+T+242n2n212n（错位相减）_2-2n-2“1Snn2=442“练习：3. 求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)x"2n-1解：S=1+5x+9x+(4n-3)x两边同乘以x,得nn+x)-(4n-3)xxSn=x+5x2+9x3+(4n-3)xn(Z-得，(1-x)S=1+4(x+x2+x3+当x=1时，S=1+5+9+(4n-3)=2n-n+1-(4n-3)xn当x丰1时，

5、Sn=十l-x4x(1-xn)1-x反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（arHan）.22222例5求sin1+sin2+sin3+sin88+sin89的值2225-22解：设S=sin1+sin2+sin3+sin88+sin89将式右边反序得-22n卜222S=sin89+sin88+sin3+sin2+sin1(反序)又因为sinx=cos(90x),sin2xcos2x=1+得4. (反序相加)2S=(sin1十cos1)+(sin2十cos2)十，十(sin89+cos89)=89sinco

6、ssin乙cossincos<S=44.5分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1,11例6求数列的刖n项和：1十1,十4,十7,；一+3n-2,aaa11.1-解：设Sn=(11)(4)(27)，(一n3n-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得Sn=（11a（分组）当a=1时,组求和）当a#1时,1 1、2 -j)(147-3n_2)aa(3n-1)n(3n1)nSn=n十=221-4S小1工,C八a(3n-1)na-a(3n-1)nsn=+=+112a-12I-一a例7求数列n(n+1

7、)(2n+1)的前n项和.解：设ak=k(k1)(2k1)=2k33k2kSn=£k(k十1)(2k十1)=Z(2k3+3k2+k)kdkT将其每一项拆开再重新组合得Sn=2Lk3+3k2+<kkWkWkT(分组)=2(1323，n3)3(12,22，n2)(12“，n)_n2(n1)2n(n1)(2n1).n(n1)2221 (分组求和)n(n1)2(n2)11,1、练习：求数列12,24,38,（n+另）,的前n项和。1 111解：Si=123-,*,(n)482n1111=(1“2，3n)犬一,了3)1=n(n1)1-12n5.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具

8、体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(3)(5)(6)ananan=f(n1)n(n-1)-f(n)(2)sin1cosncos(n1)tan(n1)-tannn(n-1)(n2)ann(n1)例9求数列(2n)2an(2n-1)(2n1)2n(n1)(n1)(n2)12(n1)-n2nn(n1)2nn2n(n1)2n1 11=1()2n-12n11,则Sn=1(n1)2n,L/，一的前n项和.nVn1an一一n1-.n.n51（裂项）Sn（裂项求和）=(.2-1)(.3-2)(n1-、n)例10在数列an中

9、,an12+1n1，又b12一，求数列bn的前anan1解:anbn2n（裂项）数列bn的前n项和-1111Sn=8(1)()(一223311)，(4土)（裂项求和）1、8n=8(1)=n1n1例11求证:cos1解：设S（裂项）cos0cos1cos1cos2cos0cos1cos1cos2+*+cos88cos89cos88cos89sin1cosncos(n1)S=cos0cos1cos1cos2.2sin1=tan(n1)Tanncos88cos89（裂项求和）1-，-一、，一一一、.一一(tan1-tan0)(tan2-tan1)(tan3-tan2)tan89-tan88sin11

10、1"cos1(tan89-tan0)=:cot1=2""sin1sin1sin1原等式成立练习：求13,115,135163之和。初11111111解：-=153563133557795727111111111=(1_)(-_)(_)-232352-"12111)(一一)77911111一_)-(_一_)(-6. 3551=(1)9合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cos1°+cos2°+cos3°+cos178

11、6;+cos179°的值.解：设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+-+cos178°+cos179°cosn°=-cos(180n)(找特殊性质项)Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)=0例13数列an:a1=1,a2=3,a3=2,an=an*an,求S2002.解：设S2002=aa2'a3a20

12、02由a=1,a?=3,a3=2,an42=an*a”可得a4-T,a5=-3,a&=-2,a7=1,a8=3,a9=2,ao=T,a=一3,a2=一2,.a6k1=1，a6k2-3,a6k3-2,a6k4=一1，a6k5=一3,a6k6=一2'a6k*a6k庞*a6k乜*a6k也*a6k书*a6k书=0(找特殊性质项)S2002=务*a2*a3*''a2002（合并求和）(aia2,a3a6),(a?,a8.812)=.;：(a6ki-a6k2:;：a6k-6)卜"(ai993'ai994'"ai998),1999'

13、a2000a200ia2002=ai999a2000'a200l'a2002=a6k1'a6k2a6k3a6k4例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求log3a+log3a2+log3a0的值.解：设Sn=log381log3a2Tog3810由等比数列的性质m+n=p+qnaman=apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logaM+logaN=logaMN得Sn=(log3a1log3a0)(log3a?log3a)，(log3a5log3a&)7. (合并求和)=(log3aam)(log3a2a。)(log3a5a&)=log39l

14、og39匚-log39=10利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15求1+11+111+U二1之和.11，-解：由于111二1=一区迎.二9=一(10k1)(找通k个19©9项及特征)-111111""11111n个1=1(1011)1(102-1)】(103一1)1(10n-1)9999(分组求和)1123n1(101010，T0)(111，”1)99寻1=110(10n1)n910-191(10n1_10_9n)81例16已知数列（an:8二an=（n+1）（n+3），求匕（巾腥*的值-解：(ng")*1)(n.1)(n.3)一(n2)(n4)（找通项及特征）8(n2)(n4)(n3)(n4)（设制分组）4(n148(E上）（裂项）一二一二1-(n1)(an-an)=4、(（分组、QO)8(n2n4ndn3n4裂项求和）111=4(