面积计算奥数题

1、六年奥数综合练习题十答案（图形面积）简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易at算.上面左图是边长为4的正方形，它的面积是4X4=16（格）；右图是3X5的长方形，它的面积是3X5=15（格）.上面左图是一个锐角三角形，它的底是5,高是4,面积是5X4+2=10（格）；右图是一个钝角三角形,底是4,高也是4,它的面积是4X4+2=8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面上底是4,上面左图是一个

2、平行四边形，底是5,高是3,它的面积是5X3=15（格）；右图是一个梯形,卜底是7,高是4,它的面积是（4+7）X4+2=22（格）.上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积=底X高+2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运

3、用例1右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4X高+2.三角形ADC面积=2X高+2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高例2右图中，BD,DE,EC的长分别是2,4,2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解：BC=2+4+2=8.三角形ABC面积=8X4+2=16.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同，而DE长是

4、4,也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.这样一来，三角形DFE的面积是三角形ABC面积的J三角形DFE面积=16+4=4.例3右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FEXBE+2,它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，

5、也就是20X12+2=120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10,因此面积=4X10+2=20.对三角形ADC来说，DC是底边，高是8,因此面积=7X8+

6、2=28.四边形ABCD面积=20+28=48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形ABE面积=3X6X2=9.三角形BCF面积=6X（6-2）+2=12.三角形DEF面积=2X（6-3）+2=3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形BEF面积=6X6-9-12-3=12.例6在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影

7、部分）的面积解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7X2+2=7.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是7+2=3.5.因为BE=8是CE=2的4倍，三角形MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是3.5X4=14.长方形ABCD面积=7X（8+2）=70.四边形ABMD面积=70-7-14=49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形

8、讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是直角边长的平方+2.当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是斜边的平方+4例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个

9、等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8X8+2=32.这一个图形的面积是32+16+8+4+2+1=63.例8如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？解：为了说明的方便，在图上标上英文字母D,E,F,G.三角形ABC的面积=2X2+2=2.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形ADE面积=ABC面积X2=4.三角形E

10、FG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积+2=1.阴影部分的总面积是4+1=5.例9如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7,BC=3,三个角的度数：角B和D是直角,角A是45。.求这个四边形的面积.於解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45°,角D是90°,角E是180°-45°-90°=45°,所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即7X7+2-3X3+2=20.这是1

11、994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角A是45。，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45。和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10在右图11X15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对）

12、，每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？15解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽=15-11=4是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-4X2=3.中间小正方形面积=3X3=9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了例11从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道长-宽=1（米）.还知道它的面积是15.75平方米

13、，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.15.7515.T515.75115.7E可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：15.75X4+1X1=64（平方米）.64是8X8,大正方形边长是8米，也就是说长方形的长+宽=8 （米）.因此长=（8+ 1） +2= 4.5 （米

14、）.宽=8-4.5 = 3.5 （米）.那么划出的长方形面积是4.5X1 = 4. 5 （平方米）.例12如右图.正方形ABCD与正方形 EFGC并放在一起.已知小正方形 EFGC的边长是6,求三角形 AEG四边形 三角形 三角形 四边形个梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）X大正方形边长+2ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG二（小正方形边长+大正方形边长），因此ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形X大正方形边长+2.AHCD是它们两者共有，因此，三角形 AEH与三角形HCG面积相等，

15、都加上三角形 EHG面积后，就有 阴影部分面积二三角形ECG面积 二小正方形面积的一半=6X6 + 2=18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13方在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图）,求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是4X4-3-5-1.5=65例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14下

16、图中ABCD是6X8的长方形，AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF,但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB,就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积=(三角形AEB面积)-(三角形AFB面积)=8X6+2-4X8+2=8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思

17、路.例15下左图是一块长方形草地，长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积(阴影部分)有多大？10解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底x高.从图上可以看出，底是2,高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10X2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成10X2的长方形，再把横竖两条都移至边上(如前页右图)，草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小，因此草地面积=(16-2)X(10-2)=112.例16右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积丁E解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它

18、的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC,是直角边AD的长减去3,高就是DC的长.因此阴影部分面积等于梯形ABCD面积=(8+8-3)X5+2=32.5.上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力例17下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的三角形ABC面积=(3+3+3)X4+2=18.三角形CDE面积=(4+4)X3+2=12.这两个直角三角形有一个重叠部分-四边形BCEG,只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为AF=FE=EC=3,所以AGF,FGE,EGC是三个面积相等的三角形.BGD是两个面积相等的