角函数、平面向量综合题九种类型

1、三角函数与平面向量综合题的九种类型题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合例1AB、C 为三个锐角,且 A+B+C=兀.假设向量 p=(22sinA,cosA+sinA)与向量 q=(sinAcosA,1+sinA)是共线向量2_C3B,一(I)求角 A;(n)求函数 y=2sinB+cos2的取大值.题型二.三角函数与平面向量垂直的综合民tana 的值；(n)求 cos(2+于)的值.30Va3设 a=(,sinA.30情=(sin兀(2,D-5)平移后得到图象对应的解析式是C.2sin2xD. 2sin2xB.直角三角形、1,1),b=(cos,-),3B.45向量 m=(6,C.锐角

2、三角形C.60yj1+cos(),石=(1,/cos0),其中B.4),方=(0,D.D.任意三角形752-),那么一定有()C.m 与石夹角为45D.|m|=|廿2),W=6,假设 C 点在函数 y=sinx 的图象上,实数5A.27.时,两个向量OF?=(cos0,sin0),6=(2+sin0,2-cos0),那么向量端长度的8.最大值是A._：2假设向量或=(cos,sinA.a与石的夹角等于 C.t/tB.,：3C.3.-129.),石=(cos,sin向量 m=(cos25,sin25B.D.),那么情与石一定满足(t+t)(t-t),石=(sin20,cos20),假设 t 是实

3、数,且 7=胃+1 石,那么|U|的最小A.：2B.1+8),那么直线 AP 一定通过ABC 的A. 外 心二、填空题B.内心C.重心()D.垂心11.向量m=(sin,2cos15 .在ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,向量 m=(1,2sinA),n=(sinA,1+cosA),满足 m/n,b+c=43a.(I)求 A 的大小；(n)求 sin(B+不)的值.16 .4ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,m=(2bc,a),n=(cosA,-cosC),且 m,n.(I)求角 A 的大小；(n)当 y=2sin2B+sin(2B+至)取最大值时,求角

4、B 的大小.17 .W=(cosx+sinx,sinx),石=(cosxsinx,2cosx),(I)求证：向量 3 与向量方不可能平行;(n)假设 f(x)=3E,且 xe不 T 时,求函数 f(x)的最大值及最小值.r(sinx,cosx),b(sinx,3cosx),rc(cosx,sinx),xR-(I)求函数fx的最大值和最小正周期;r(n)将函数yfx的图像按向量d平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中央对称,求长度最小r的d.一一r,.,、r19 .向重a(sin,1),b(1,cos),.22rJ(i)右ab,求；,r,r(n)求ab的最大值.【参考答案】三角函数与平面向量综

5、合题的九种类型例 1解】(I)、方共线,(22sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosAsinA),那么 sin2A=,又 A 为锐角,所以 sinA=号,那么 A=.42318.设函数f(x)a(bc),其中向量a由于0所以22C-3B2(兀一至B)3B(n)y=2sinB+cos2=2sinB+cos2sin2B,312in2B2cos2B+1=sin(2B-)+1./BC(0,-y),3ymax=2.代入上式得 122(cosacos3+sinasin3)+12=7,.cos(a-3)=-55C12cos3=,13f(x)=N=m(1+sinx)+cosx,由 f(万)

6、=2,得 m(1+sin 万)+cos=2,解得 m=1.(n)由(I)得 f(x)=sinx+cosx+1=/2sin(x+)+1,当 sin(x+-)=1 时,f(x)的最小值为 1 一啦.15、【解答】I由于函数图像过点0,1,所以2sin1,即sin12=2sin2B+cos(2B)=1-cos2B+；cos2BT322B-T(-I),2、【解】I故营石=6sin2aat,/.I 甘=0.而恭=(3sin2+5sinacosa4cosa=0.由于 cosaw0,6tan2a+5tana,5sina4cosa),4=0.解之,得 tan43或 tanatanav0,故 tana舍去(n)

7、兀.由tany=1a2,tan八.民=2舍去.sin3、【解】cos(万十)=cos-cos-3-sin-sin班 J 的乂 g2乖+屏_入二一_入_=一一10,.-.l2-2t-t+t2=4,将向量：=(cosa5,sina),=(cos3,sin3)(Il)：108cos1&3J2.8.D【解析】噌+石=(cos+cos,sin+sin),b=(cos+cos,sinsin),.(-a+石)(方一名)=cos2cos2+sin2sin2=0,.(a+b)(ab).9.C【解析】11|2=|N|2+t2|?|2+2tm1=1+t2+2t(sin20cos25+cos20sin25)=

8、t2+也 t+1=(t+乎)2+,=2,|T|min=*.10. C【解析】设BC的中点为D,那么 Afe+Ab=2AD,又由OP=OA+(Afe+Ab),AP=2AP 与直线 AD 重合,即直线 AP 一定通过ABC 的重心.14. 【解】(I)由题意得苴H=/3sinAcosA=1,2sin(A)=1,sin(A)=g,121.23(n)由(I)知 cosA=2,所以 f(x)=cos2x+2sinx=12sinx+2sinx=2(sinx2)+2,一.一,一.1,一,3由于 xCR,所以 sinxe1,1,因此,当 sinx=万时,f(x)有取大值2.一一3当 sinx=1 时,f(x)

9、有取小值一 3,所以所求函数 f(x)的值域是3,2.15. 【解】(1)由/有,得 2sin2A1cosA=0,即 2cos2A+cosA1=0,cosA=：或 cosA=1.即有直线二、填空题12.8.349一一一一一 1.【解析】由 m/n,得一 2sin=2/3cos,tan=43,sin22sincossincos2tan2-tan5,328.349,【解析】OA-OB=510coscos+10sinsin=-510cos()=5cos(；,sin/AOB=手,又|OA|=2,|OB|=5,1135,3-SAAOE-X2X5X-；=.22213. (-1,0)或(0,1)【解析】设

10、n=(x,y),由 mn=1,有 x+y=1,由 m 与 n 夹角为n=m|cos一22x=-1|n|=1,那么x+y=1,由解得 y=0 或(-1,、解做题0)或 n=(0,-1).AD,所以前 At 共线,由A为锐角得A-A=5A 是ABC 内角,cosA=1 舍去,A=-3-.3(n).1b+c=-J3a,由正弦TE理,sinB+sinC=-3sinA=-,B+C=,sinB+sln(B)=,332：3-3-33.2-cosB+sinB=2,即 sin(B+)=-16.【解】(I)由书,二,得司3=0,从而(2bc)cosAacosC=0,由正弦定理得 2sinBcosAsinCcosA

11、sinAcosC=01-2sinBcosAsin(A+C)=0,2sinBcosAsinB=0,1,.A、BC(0,),.sinBw0,cosA=故 A=.23(n)y=2sin2B+2sin(2B+)=(1cos2B)+sin2Bcos+cos2Bsin=1+in2B-2cos2B=1+sin(2B-).当 2B=,即 B=w 时,y 取最大值 2.62317. m(1)假设 1/t,贝 U2cosx(cosx+sinx)sinx(cosxsinx)=0,.2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,21+必+gsin2x+1-：必=0,即sin2x+cos2x=3,2(sin2x+7)

12、=3,与|42(sin2x+)|v版矛盾,故向量力与向量方不可能平行.(n)-.1f(x)=K-4=(cosx+sinx)=cos2xsin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=啦(乎 cos2x+*sin2x)=啦(sin2x+),了2+力/,.当2x+7=y,即x=不时,忖有最大值小;当 2x+了=了,即 x=-时,f(x)有最小值1.18.解：(I)由题意得,f(x),22sinx2sinxcosx3cos最大值为2.2,最小正周期是,3(n)由sin(2x)0得2x4r丁r、a(bc)(sinx,cosx)(sinx2cos2xsin2x2、2sin(2x2.2-k,即xk3,kZ,428cosx,sinx3cosx),所以,f(x)的4,_2由(I)得,0vBv 一72B66(cosxsinx)+sinx-2cosxrr由于k为整