还原问题知识讲解及练习

1、复原问题知识讲解及练习复原问题知识讲解及练习含答案一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为根底,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或复原法,这种问题就是复原问题.复原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的表达顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推.在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反.板块一、单个变量的复原问题【例1】某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问：原数是多少？【解析】分析时可以从最后的结果是1

2、0逐步倒着推.这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推,就可以推出某数.如果没减去2,此数是：10212如果没除以2,此数是：12224如果没乘以3,此数是：2438如果没加上3,此数是：835综合算式1022335【稳固】1、2021年“陈省身杯国际青少年数学邀请赛有一个数,如果用它加上6,然后乘以6,再减去6,最后除以6,所得的商还是6,那么这个数是【稳固】2、一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数.你知道这个数是几吗把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一算,【稳固】3、少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣

3、的数.共采集了多少个树种子？【例2】牛老师带着37名同学到野外春游.休息时,小强问：“牛老师您今年多少岁啦？牛老师有趣地答复：“我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数.小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗？【解析】采用倒推法,我们可以从最后的结果“参加活动的总人数即38倒着往前推.这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数.没加上8时应是：38830;没除以2时应是：30260;复原问题知识讲解及练习没减去16时应是：601676；没乘以2时应是：76238,即3882

4、16238岁.【稳固】1、小智问小康：“你今年几岁？小康答复说：“用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4.请你算一算,我今年几岁？10,应用逆推法,由结果10,根据【稳固】2、学学做了这样一道题：某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数.根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.101010100,10010110,1101011,11101解这种复原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘.列式时还要注意运

5、算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法.综合算式为：【稳固】3、学学做了这样一道题：一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数.小朋友,你知道答案吗？【解析】根据题意,一个数,经过加法、减法、乘法、除法的变化,得到结果16,应用逆推法,由结果10,根据力口、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.综合算式为:【例3】一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师：“我得了多少分？老师说：“你的得分减去6后,缩小2倍,再加上10后,扩大2倍,恰好是100分.小刚这次竞赛得了多少分？【解析】从最后一个条件“恰好是100分向前推算.扩大2倍是100分,没有扩大2倍之前应是1002

6、50分,加上10后是50分,没有加上10前应是501040分,缩小2倍是40分,那么没有缩小2倍前应是40280分,减去6后是80分,没有减去6前应是80686分.综合列式为：10021026402686分【稳固】1、在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问：小新爷爷今年多少岁数？【稳固】2、学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗？【例4】哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时

7、,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢？【解析】被减数十位上的6变成9,使被减数增加906030,差也增加了30;减数个位上的9错写成6,使减数减少了963,这样又使差增加了3,这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577,求正确差.所以列式得：577969060544.【稳固】1、小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的9看作6,十位上的6看作9,结果和是174,那么正确的结果应该是多少呢？2、淘气在做一道减法时,把减数个位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少

8、呢？【稳固】3、小新在做一道加法题,确的答案是多少？由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123.正【例5】三只猴子分一堆桃,大猴子先拿了这堆桃的一半少1个；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1个；小猴子分得余下的8个桃,桃子就被全分完了.问,这堆桃子共多少个？【分析与解】此题条件较复杂,我们可以通过画图进行分析,你能从图中发现哪个局部是大猴子拿的桃子吗？其实解决这类问题我们关键是要找到“一半所对应的数量,从最后进行推算.剩下的一半：8+1=9个；剩下多少个：9X2=18个一半是多少个：18-1=17个；一共有多少个桃子：17X2=34个算式：8+1X2-1X2说明：多

9、拿、多吃、多做、多用.在复原问题算式中表现为“+;少拿、少吃、少做、少用在复原问题算式中表现为“-【稳固】1、学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩9米,那么这根绳子原来有多少米呢？【解析】根据题意,画图倒推分析：用天15米环剌9米第三次f1f15924米JMF24米*F一半2410228米综合算式:用去一半282260米【稳固】2、一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去还剩7米.这捆电线原来有多少米？【解析】可依照题意画出右图.从线段图上可以看出：15米,最后全长的

10、一半图2【稳固】3、甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又剩下25个没有加工,问：这批零件有多少个？【解析】如右图所示,根据图与题目的条件,?Ljl、零件谕=5ThVu下的二半打方25不图310个,还列综合算式:【例6】货场原有煤假设干吨.第一次运出原有煤的一半,第二次运进450吨,第三次又运出现有煤的一半又50吨,结果剩余煤的2倍是1200吨.货场原有煤多少吨？原有煤？吨Q7第一次用去原有煤的一半第二次运进450吨结合上面的线段图,用倒推法进行分析,题中的数量关系就可以跃然纸上,使学生们一目了然.根据“剩余煤的2倍是1200吨,就可以求剩余煤的吨数；

11、根据“第三次运出现有煤的一半又50吨和剩余煤的吨数,就可以求出现有煤的一半是多少吨,进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨,就可以求出原有煤的一半是多少,最后再求出原有煤多少吨.(1)剩余煤的吨数是：12002600(吨)(2)现有煤的一半是：60050650(吨)(3)现有煤的吨数是：65021300(吨)(4)原有煤的一半是：1300450850(吨)(5)原有煤的吨数是：85021700(吨)算式：(600+50)X2-450X2【稳固】1、食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少28千克,第二天吃了余下的一半少8千克,最后剩下122千克.这批大米共有多少千克？2

12、个,第二天又偷吃了剩下的一半【稳固】2、山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多多2个,这时还剩1个,问：树上原来有多少个桃子？【稳固】3、修建一条下水道,第一周修了全长的一半多12米,第二周修了剩下的一半少12米,第三周修了30米,最后还剩18米,这条下水道长多少米？【解析】如以下图,从图中可知30181236是第一周修后余下的一半,3621284米是下水道全长的一半.第一型的多比米第二周魄的第三展修的的米【例7】小丽用4元买了一本?童话大王?,又用剩下的钱的一半买了一本?儿童时代?下的钱的一半多1元,最后还剩4元,问：小丽原有多少钱？,买钢笔又用去第二次剩【解析】用倒推法

13、,第二次剩下的一半是415元,第二次剩下5210元,第一次剩下10220元,原来有20424元.列综合算式：4122424【稳固】1、有一筐苹果,甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果.这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱？人一、一再余下的一手人一半1个余下的一半1个1个1个_一一-A-_.,丁_-*_、jL.匚_甲取任T的乙取出的WWW【例8】2021年“陈省身杯国际青少年数学邀请赛工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多6米,第二天修了余下的一半少20米,第三天修了30米,此时还剩下14米没有修,那么这条小路长米.【分析】如图1

14、所示,先根据线段图理清数量关系,可得全长为：143020262108米.1千米,问：公园马路全长【稳固】1、一个人沿着公园马路走了全长的一半后,又走了剩下路程的一半,还剩下多少千米？【解析】如图,?全长的一半1剩下的一半1【例9】思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下8米,你知道这段五彩布原来长多少米吗？【解析】根据题意,画出线段图,倒推分析.第,次.,8216米剪考-剌16米第一次.个一个16232米算式：8X2X2【稳固】1、一群蚂蚁搬家,原存一堆食物.第一天运出总数的一半少12克.第二天运出剩下的一半少12克,结果窝里还剩下43克.问蚂蚁家原

15、有食物多少克？【解析】采用倒推法,教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克,就是剩下的一半,所以第一天运出后,剩下的一半重量是431231克；这样,第一天运出后剩下的重31262克.那么同理,一半的重量是621250克,原有食物502100克.即【稳固】2、一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?【稳固】3、修建一条下水道,第一周修了全长的一半多12米,第二周修了剩下的一半少12米,第三周修了30米,最后还剩18米,这条下水道长多少米？【解析】如以下图,从图中可知30181236是第一周修后余下的一半,

16、3621284米是下水道全长的一半.第二周SrHjI多17米少12米剌下1?米【例10】桃园里来了第一群猴子,吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃？【解析】第三群猴没吃,相应有桃1000.52201个第二群猴没吃,相应有桃2010.52403个第一群猴没吃,相应有桃即桃园中原有桃4030.52807个算式：100+0.5X2+0.5X2+0.5X2【稳固】1、山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半他第一口就喝了整瓶水的一半,第

17、二口又喝多2个,这时还剩1个,问：树上原来有多少个桃子？1.此时瓶子里还剩0.56【例11】刚打完篮球,冬冬觉得非常渴,就拿起一大瓶矿泉水狂喝了剩下的工,第三口那么喝了剩下的1,第四口再喝剩下的1,第五口喝了剩下的345升矿泉水,那么最开始瓶子里有几升矿泉水？0.5+(1-1)+(1-1)65最开始瓶子里有矿泉水：+(1-1)+(1-1)+(1-1/2)43r1即0.51211111-1-1-1-3(升).3456【稳固】1、有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚,每份一枚.问：原来至少有多少枚棋子？【详解】棋子最少的

18、情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推,得到第三次分之前有1415枚,第二次分之前有54+121枚,第一次分之前有214+1=85枚.2、有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚,每份两枚.问：原来至少有多少枚棋子？板块二、多个变量的复原问题【例12】三人有不等的存款,只知如果甲给乙40元,乙再给丙30元,丙再给甲20元,给乙70元,这样三人各有240元,三人原来各有存款多少元？【解析】甲：2404020260元；乙：240403070160元；丙：240302070300.【稳固】1、小巧、小亚、小红共有90个玻璃

19、球,小巧给小亚6个,小亚给小红5个,小红给小巧8个,他们的玻璃球个数正好相等.小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？【稳固】2、三棵树上共有36只鸟,有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上,有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上,有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上,这时,三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟【稳固】3、三棵树上共有27只鸟,从第一棵飞到第二棵2只,从第二棵飞到第三棵3只,从第三棵飞到第一棵4只,这时,三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟？【稳固】4、三个笼子里共养了78只鹦鹉,如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里,再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里,那么3个笼

20、子里的鹦鹉一样多.求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？【稳固】5、解放军某部参加抗震救灾,从第一队抽调一半人支援第二队,抽调35人支援第三队,又抽调剩下的一半支援第四队,后来又调进8人,这时第一队还有30人,求第一队原有多少人？【例13】甲、乙两班各要种假设干棵树,如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班,乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班,这时两班恰好都有28棵树,问甲、乙两班原来各有树多少棵？【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树,甲班应有树28214棵,乙班有281442棵,如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树,乙班原有树42221棵,甲班原有树142135棵.列表倒推如下:甲班乙

21、班原来3521A次后35-21=1421+14=42第二次后14+14=2842-14=28【稳固】1、一班、二班、三班各有不同数目的图书.如果一班拿出本班的一局部图书分给二班、三班,使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一局部图书分给一班、三班,使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一局部图书分给一班、二班,使这两个班的图书各增加一倍.这时,三个班的图书数目都是48本.求三个班原来各有图书多少本？【解析】我们可采用倒推法,再结合列举法进行分析推理.在每一次重新变化后,三个班的图书总数目是一个不变的数,由此,可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推,求每一次重新变化以前三个班各自

22、的图书数目,逐步倒推出原有的图书数目.依据题意可知,一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本,因此增加前各应有24本,所以一班、二班的图书数目各应减半,还给三班.其余各次,以此类推,把倒推解答的过程用下表表示：一班二班三班结果484848第三次第二次凑L次【稳固】2、甲、乙、丙3人共有192张邮票.从甲的邮票中取出乙那么多给乙后,再从乙的邮票中取出丙那么多给丙,最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲,这时甲、乙、丙3人邮票数相同,甲、乙、丙原来各有多少张？【解析】甲、乙、丙原共有192张邮票,经过三次交换后,甲乙丙三人仍有邮票192张,而且三人邮票数相同,即3人各有邮票：192364张.第三次交换从

23、丙的邮票中取出甲那么多给甲,说明这次交换前甲有邮票64232张,丙有邮票：643296张,依此类推,就可以推出答案了.最后相等时各有192364张,列表倒推如下：甲张乙张丙张最后646464前次再前次原来【稳固】3、有甲、乙两堆棋子,其中甲堆棋子多于乙堆.现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆.照此移法,移动三次后,甲、乙两堆棋子数恰好都是32个.问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？结果第二次交换前第一次交换前第,次交换前1倍；丙把自己的铜板拿出一局部给【稳固】4、甲、

24、乙、丙三人各有铜板假设干枚,开始甲把自己的铜板拿出一局部给乙、丙,使乙、丙的铜板数各增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一局部给甲、丙,使甲、丙的铜板数各增加了乙、甲,使乙、甲的铜板数各增加了1倍,这时三人铜板数都是8枚,原来每人各有几枚?甲乙丙结果第二次交换前第一次交换前第,次交换前【例14】3个探险家结伴去原始森林探险,路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌.第一局,甲输给了乙和丙,使他们每人的钱数都翻了一番.第二局,甲和乙一起赢了,这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍.第三局,甲和丙又赢了,这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍.结果,这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局,最后3人手中的钱是完全一样的.细心的甲

25、数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元.你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？【解析】假设最后每个人手中的钱是8份,三人总共24份,利用倒推法.甲乙丙第三局后888第二局后4164第局后2814开始1347从开始到最后甲的份数少了138份,说明每份是10013820元.所以刚开始时,甲有1320260元,乙有42080元,丙有720140元.【稳固】1、甲乙丙三人各有糖豆假设干粒,甲从乙处取来一些,使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些,使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些,也使自己的糖豆增加了一倍.现在三人的糖豆一样多.如果开始时甲有51粒糖豆,那么乙最开始有多少粒

26、糖豆？【解析】先假设后来三个人都是4份甲乙丙内取后444乙取后甲取后开始【例15】有甲、乙、丙三个油桶,各盛油假设干千克.先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶.这时,各桶复原问题知识讲解及练习油都是16千克.问：各桶原有油多少千克？【解析】列表逆推如下：甲桶乙桶丙桶初始状态414826282141628A次变化82484162832216第二次变化16281628168832第三次变化161616原来甲、乙、丙桶分别有油26,14,8千克.逆推时注意,每次变化时,有两桶各增加了一倍,逆推时应分

27、别除以2;另一桶减少了上述两桶增加的数,逆推时应使用加法.【稳固】1、第四届?小数报?数学竞赛决赛试题A、B、C三个油桶各盛油假设干千克.第一次把A桶的一局部油倒入B、C两桶,使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶,使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶,使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍,这样,各桶的油都为16千克.问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？【解析】用“倒推法列出下表ABC结果第三次倒之前第二次倒之前1第一次倒之前【稳固】2、三个容器各放一些水,第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器

28、,使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍,第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中,使它们的水分别增加到3倍与2倍,第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中,使它们的水都增加到2倍,这时三个容器中的水都为96毫升,原来三个容器中各有多少毫升水？【解析】可以列一个表,使每一步之间的关系一目了然,以下的表是从后面向前倒推的,具体的填法见下面的解答.容器1容器2容器3最终结果第三次倒之前第二次倒之前原来答案1、(666)6612、3672416244.3、(2525)5250(个)例245678101、2、(101010)1010(10010)1010110101011101316645396453245329326例31、(100106)415792、(2000+10+15X5-75例41、174(96)10(96)1743301472、16