1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

1、1.1.2 弧度制弧度制 在平面几何中研究角的度量，当时是用在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，度做单位来度量角，1的角是如何定义的？的角是如何定义的？ 规定周角的规定周角的1360为为 1 度的角度的角 .这种用度做单位来度量角的制度叫做这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制角度制 .在数学和其他科学研究中还经常用到另一种在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度度量角的制度 弧度制弧度制，它是如何定义呢？，它是如何定义呢？ 一、复习角度制一、复习角度制二、弧度制定义二、弧度制定义 我们我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做做 1弧

2、度的角弧度的角，若弧若弧 AB 的长等于半径的长等于半径 r ,则则AOB= 1 rad.若弧若弧 AB 的长等于的长等于 2r ,则则AOB= 2 rad. 即用弧度制度量时，这样的即用弧度制度量时，这样的圆心角等于圆心角等于1 rad.问题问题1：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？少？若弧是一个整圆呢？答：答：若弧是一个半圆，则弧长若弧是一个半圆，则弧长,lr 所以圆心角的弧度数是所以圆心角的弧度数是.lrrr 若弧是一个整圆，则弧长若弧是一个整圆，则弧长2,lr所以圆心角的弧度数是所以圆心角的弧度数是22.lrrr 由此可知

3、，任一由此可知，任一0360 的角的弧度数的角的弧度数弧弧概念也随之推广，任一概念也随之推广，任一正角正角的弧度数都是的弧度数都是一个一个正数正数；任一；任一负角负角的弧度数都是一个的弧度数都是一个负数负数；零角零角的弧度数是的弧度数是 0 .lxr 必然适合不等式必然适合不等式 0 x2.例如，若圆心角例如，若圆心角AOB表示一个负角，且它表示一个负角，且它所对的弧长为所对的弧长为4r，则，则44.rAOBr 角的概念推广后，角的概念推广后， 一般地，正角的弧度数是一个正数，负一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.|.l

4、r 这种以弧度为单位来度量角的单位制叫这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做做弧度制弧度制. .那么角那么角的弧度数的绝对值是的弧度数的绝对值是如果半径为如果半径为r的的圆的圆心角圆的圆心角所对弧的长为所对弧的长为l，这里这里的正负由的正负由终边旋转方向决定终边旋转方向决定. .弧长公式：弧长公式：|.lr (:)180n rl 采采用用角角度度制制的的弧弧长长公公式式 注意注意: 用角度制和弧度制来度量零角，用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是单位不同，但量数相同（都是0）；）； 用用角度制和弧度制度量任一非零角，角度制和弧度制度量任一非零角， 单位不同，量数也不同单位不同，

5、量数也不同. 问题问题2：一定大小的圆心角一定大小的圆心角 所对应的弧长与所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？提示：提示：初中所学的弧长公式初中所学的弧长公式180rnl 180 nrl 上式表明，以角上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关与角的大小有关三、三、 角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算 用用“弧度弧度”与与“度度”去度量每一个角时，除了零角以去度量每一个角时，除了零角以外

6、，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算一个角的结果，二者就可以相互换算 我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是其弧度数是2，而在角度制里它是，而在角度制里它是360， 因此因此 3602rad ，180rad ，1rad180 0.01745 rad . 2 rad360 ，rad180 1801rad() 57.3057 18 . （1） 把把 6730化成弧度化成弧度.（2） 把把 弧度化成度弧度化成度.53例例11(1)67 30(67)2解

7、：解：167 30671802rad 3.8rad33(2)18055rad108 .（1）用弧度为单位表示角的大小时，）用弧度为单位表示角的大小时， “弧度弧度”二字或二字或“rad”通常省略不写，而只写这个角所通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数对应的弧度数 .但用但用“度度”或或“”为单位不能为单位不能省省.（2）用弧度为单位表示角时，通常写成）用弧度为单位表示角时，通常写成 “多少多少”的形式的形式.注注 意：意：角角度度弧弧度度060 1201352704265230例例2. 写出下列特殊角的度数或弧度数：写出下列特殊角的度数或弧度数： 645 39032431501802336

8、002=180:360n rln rS 角角度度制制的的扇扇形形弧弧长长公公式式： 面面积积公公式式扇形周长、面积公式扇形周长、面积公式=;:1.(0)2lRSlRlR 利利用用弧弧度度制制证证明明扇扇形形弧弧长长公公式式：面面积积公公式式，其其中中 是是扇扇形形的的弧弧长长， 是是圆圆的的半半径径3.例例证证明明：1rad 圆圆心心角角为为的的扇扇形形面面积积为为212R l又又 弧弧长长为为 的的扇扇形形的的圆圆心心角角是是lradR 扇扇形形的的面面积积212lSRR 1.2lR 说明：说明：扇形面积公式还可以表示为扇形面积公式还可以表示为21|2SR 例例4. （1）已知扇形）已知扇形

9、OAB的圆心角的圆心角为为120，半径为，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积，求扇形弧长及所含弓形的面积.（2）已知扇形周长为）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？时，它有最大面积？最大面积是多少？lr解：解： 1201 ）（,32 6 ,r 2|63lr 4. OAB26sin60AB 又又6 3 , HAB边上的高边上的高6cos60OH 3 . 116 3322AOBSABOH 9 3 . 114622Slr 扇扇形形12,AOBSSS弓弓形形扇扇形形129 3. lr解解：rlS 设设扇扇形形的的半半径径为为 ， 圆

10、圆心心角角为为 ，弧弧长长为为 ， 扇扇形形面面积积为为， 则则202lr，12Slr 1(202 )2rr210rr 2(5)25r 2max525rcmScm当当时时，102 .5lr 此此时时，例例4. （1）已知扇形）已知扇形OAB的圆心角的圆心角为为120，半径为，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积，求扇形弧长及所含弓形的面积.（2）已知扇形周长为）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？时，它有最大面积？最大面积是多少？课后作业课后作业1. 习题习题1.1 6 10及及B组组132.乐学乐学1.1.2练习练习1. 如

11、图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）集合（不包括边界）分析：分析：首先找出阴影图形的边界表示的角，然后再选择适当的角首先找出阴影图形的边界表示的角，然后再选择适当的角的形式表示阴影部分若两部分阴影区域能合并尽量合并的形式表示阴影部分若两部分阴影区域能合并尽量合并ZkkkS，）（6123221ZkkkS，）（242ZkkkkkS，或）（23223223练习练习2. 已知扇形的面积是已知扇形的面积是4cm2，它的周长是，它的周长是8cm，求它的中心角和弦的长求它的中心角和弦的长解：解：设扇形的弧长为设扇形的弧长为 l，半径为，半径

12、为 r，则，则42182lrrl. 2, 4rl所以中心角为所以中心角为 .224rl2sin2rAB 弦长为弦长为 .1sin4lrABO练习练习3. 已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数。形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数。a.Oal BAa22解：角所以这段弧所对的圆心则，长为设此圆内接正方形的边a，此段弧，圆的半径为ala22aaAOB222.22的弧度数为故这段弧所对的圆周角练习练习4. 已知已知是第二象限角是第二象限角.（1）指出）指出 所在的象限，并用图形表示其变化范围所在的象限，并用图形表示其变化范围.2 （2）若）若同时满足条件同时满足条件|+2|4,求求的取值区间的取值区间.解：解：由题意得，由题意得，（1）()422kkkZ，是第一象限或第三象限的角是第一象限或第三象限的角.2 （2） |+2|4 ,62 ,又又是第二象限角，是第二象限角，22()2kkkZ， 22 6 , 2 ()2kkkZ （，）， 故故的取值区间的取值区间3(, 2.22（-